1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Переходя кбесконечно малым порциям газа, получаем уравнениеdmdv=- .mu0(29.2)В процессе ускорения масса ракеты меняется от m 0 до m , а скорость – от 0 до v . Интегрируя обе части уравнения в указанных пределах, получаемmòm0dm1=mu0vmò dv ln m00=-vu0(29.3)и окончательноm = m 0 exp(- v u 0 ) .70(29.4)Это знаменитая формула Мещерского – Циолковского, дающаясвязь между оставшейся массой ракеты и набранной скоростью.В табл. 1 приведено отношение m 0 m в зависимости от скорости истечения газов при достижении ракетой первой космической скоростиv = 8 км/с.Таблица 1Зависимость m 0 m от u 0 при скорости ракеты 8 км/сu 0, км/с1234m0 m298054.614.57.4Скорость истечения газов u0 определяется жаропрочностью двигателя(u0)~ T ,приT = 30000молекулыH2O(кислородно-водородный двигатель) имеют скорость 2 км/с.
Видно, что для достижения высоких скоростей и уменьшения начальной массы ракетынужно увеличивать скорость истечения газа. Метод сжигания газа достиг предела, дальнейшее продвижение связано с созданием ионныхдвигателей, где молекулы газа получают большую скорость за счетразгона в электрическом поле.Из (29.3) легко найти зависимость скорости от времени. Если двигательвыбрасываетежесекундноодинаковуюмассугазаdm г = -dm = a dt , где a = const , то масса ракеты зависит от временикак m = m 0 - at . Подставляя эту массу в (29.4), получаемv = u 0 lnm0m 0 - at71.(29.5)§ 30.
Работа и кинетическая энергияРассмотрим перемещение материальной точки (частицы) из точки 1в 2 вдоль некоторого пути l под действием силы F , которая в общемслучае может зависеть от координаты, скорости и времени. На каждомучастке силу можно разложить на продольную (тангенциальную) иперпендикулярную (нормальную) составляющую по отношению к линии движения. Нормальная составляющая силы вызывает ускорение,перпендикулярное траектории, которое меняет только направлениескорости, а продольная сила вызывает изменение модуля скорости.Назовем работой величину2A=ò Fd l ,(30.1)1где d l – вектор малого перемещения, Fd l = Fdl= F cos a dl , a –угол между силой и скоростью.dpdvПодставляя в (30.1) F == m , d l = vdt , получаемdtdtdA = mæ mv 2 ö÷dvd (v 2 )d (v 2 )÷.=m= d çççvdt = mçè 2 ÷÷ødt22Назовем кинетической энергией величинуmv 2.K =2ТогдаdA = dK ,2A=ò Fdl = K2- K1 =1mv222(30.2)(30.3)(30.4)-mv122,(30.5)т.
е. изменение кинетической энергии равно работе сил.Пример. Если трактор тянет сани, а они стоят на месте, то работа несовершается. Кинетическая энергия саней не меняется, никакой энергии (горючего) при этом не требуется. В этом случае трактор можнозаменить натянутым канатом. Другое дело, если сани движутся, тогдасовершается работа, тратится энергия.72Рассмотрим, как кинетическая энергия зависит от системы отсчета.Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета имеются частицы смассами m i , движущиеся со скоростями v i .
В этой системе отсчета ихкинетическая энергия равна сумме их кинетических энергийK0 = åmivi2,(30.6)P0 = å mi vi .(30.7)iимпульс2iНайдем теперь кинетическую энергию этих частиц в системе отсчета, вкоторой исходная система движется со скоростью V . В этой системескорость частицы равна vi + V , откуда энергия всех частицK =åmi2(vi + V) = å2m i v 2i2+ V å mi vi +åm Vi22. (30.8)С учетом (30.6), (30.7)K = K 0 + P0 V +mV 2,2(30.9)где m = å mi .
Если в исходной системе суммарный импульс частицiравен нулю (система ц. м.), то второй член в (30.9) равен нулю, потомуK = K ц.м.mV 2+.2(30.10)Таким образом, кинетическая энергия равна кинетической энергиив системе ц. м. плюс кинетической энергии системы как одного тела ссуммарной массой.Единицы измерений работы и энергииВ системе СИ единицей энергии является Джоуль (Дж) = Н·м.В системе СГСЭ единицей энергии является эрг (эрг) = дин·см.Единица энергии «Джоуль» названа так в честь английского физика, а«эрг» происходит от греческого ergon – работа.Поскольку 1 Н = 105 дин, а 1 м = 102 см, то1Дж = 107 эрг.73§ 31.
Консервативные (потенциальные) и неконсервативные силы2Пусть в пространстве задана сила F(r) такая, что работаò Fdlза-1висит не от траектории, а только от конечных координат. Такие силыназывают консервативными (или потенциальными). Как нетрудно сообразить, в этом случае работа по замкнутому контуру равна нулю:ò Fdl = 0 .
Для таких сил удобно ввести понятие потенциальной энер-гии между точками 1 и 2:2U (r2 ) -U (r1 ) = -ò F(r)dl ,(31.1)1т. е.dU = -dA = -Fdl .(31.2)Потенциальная энергия является скаляром (не имеет направления) иявляется функцией координат.ПосколькуdU = U (x + dx , y + dy, z + dz ) -U (x , y, z ) =¶U¶U¶Udx +dy +dz¶x¶y¶z(31.3)иdU = -dA = -Fdl = -Fxdx - Fydy - Fzdz ,то отсюдаFx = -¶U,¶xFy = -¶U,¶yFz = -¶U¶z(31.4)(31.5)или, поскольку по определению F = iFx + jFy + kFz , тоF = -i¶¶¶¶UU - j U - k U º -U º -grad U º ,¶x¶y¶z¶r(31.6)где оператор (набла)¶¶¶==i+j+k,¶x¶y¶z(31.7)который, действуя на скалярную функцию, превращает ее в вектор.74В общем случае U является некоторой скалярной функцией координат x , y, z и для нахождения силы нужно использовать (31.6). Если жеU зависит только от расстояния от начала координат, U = U (r ) , тоdUможно привести к более простому выражению. В этом случаеdrdU (r )¶r=i¶U (r )¶x+j¶U (r )¶y+k¶U (r )¶zПоскольку r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , то¶U (r )¶r==¶U (r ) æç ¶r¶r¶r ö+j+ k ÷÷÷ .
(31.8)çi¶r çè ¶x¶y¶z ÷ø¶rx ¶ry ¶rz= ,= ,= . Отсюда¶xr ¶yr ¶zr¶U (r ) æç xyz ö ¶U (r ) r.ççi + j + k ÷÷÷÷ =¶r è r¶r rrrø(31.9)Следовательно, потенциал U (r ) соответствует силе, направленной порадиусу, и для ее вычисления достаточно взять простую производнуюпо радиусу.Заметим, что поскольку потенциальная энергия является интеграломот силы, то она определена с точностью до константы. Для нахожденияпотенциальной энергии во всем пространстве нужно выбрать начало отсчета и задать в этой точке некоторую потенциальную энергию.Рассмотрим несколько примеров консервативных (потенциальных)и неконсервативных (непотенциальных) сил.Однородное поле тяжестиВыбираем направление: X – вверх, g – вниз, тогда сила тяжестиf (x ) = mg ,(31.10)работа и потенциальная энергияdA = mgdl = -mg dx ,dU = -dA = mg dx ,U (x ) -U (a ) = mg(x - a ) ,(31.11)(31.12)где a – точка отсчета потенциальной энергии. Поскольку явным образом найдено выражение для потенциальной энергии как функции координаты, то поле потенциально.Осциллятор (тело на пружинке)f (x ) = -kx ,75(31.13)dA = -kx dx , dU = -dA = kx dx ,1U (x ) -U (a ) = k (x 2 - a 2 )2(31.14)– поле потенциально.Центральное полеrf (r) = f (r ) ,rrdA = f (r ) dl = f (r ) dr ,r(31.15)dU = -dA = -f (r ) dr ,здесь было учтено, что rdl = rdr ,rU = -ò f (r ) dr + U (r0 ) .(31.16)r0Поле потенциально, так как работа по замкнутому контуруr maxò dA =ò f (r ) dr = òr minf (r ) dr +r minòf (r ) dr = 0 .r maxКулоновское поле (частный случай центрального поля)r(31.17)f (r) = a 3 ,rdrdrrdA = a 3 dl = a 2 , dU = -dA = -a 2 ,rrraU (r ) = + const ,(31.18)rполе потенциально.
Обычно полагают U (¥) = 0 , т. е. const = 0 . Еслисила отталкивающая, то a > 0 и U (r ) > 0 , а для сил притяженияa < 0 и U (r ) < 0 .Сила тренияv,(31.19)vгде a(v ) > 0, т. е. сила направлена против скорости. Работа сил позамкнутой траекторииò f dl = ò f v dt = -ò a(v)v dt < 0 ¹ 0 – сила непотенциальная.f (r, v) = -a(v )76§ 32. Закон сохранения энергииДля тела в потенциальном полеdU + dK = 0 ,(32.1)тогда полная (механическая) энергия материальной точкиE = K + U = const ,(32.2)K1 + U 1 = K 2 + U 2 .(32.3)Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих посредством потенциальных сил.
Кинетическая энергия системы равнаK =åmi v 2 i2i.(32.4)Найдем потенциальную энергию. Сила взаимодействия частиц i и jFij = -¶U ij (ri - rj )¶ri=-¶U ij (ri j )¶ri.(32.5)Сила, действующая на i -ую частицу,Fi = å Fij ,(32.6)j ¹iтогда потенциальную энергию системы можно записать в видеö1æ-dU = dA = å dri å Fij = çççå dri å Fij + å drj å Fj i ÷÷÷ . (32.7)÷ø2 çè iij ¹ij ¹iji¹jУчитывая, что Fij = -Fj i и drij = dri - drj , получаемdU = å dU i = i1å å dr F .2 i j ij ijЗдесь i может равняться j , так как при этом dri j = 0 .77(32.8)Пусть Fi jdri j º -dU i j по определению, назовем U i = åU i j потенj ¹iциальной энергия частицы i в поле остальных частиц, тогда в соответствие с (32.8) полная потенциальная энергия11U = å åU ij = åU i .(32.9)2 i j2 iЗдесь ½ возникает, потому что при суммировании U i jдваждыучитываем взаимодействие частиц i и j .
Таким образом, полнаяпотенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий парчастиц.Рассмотрим, например, два заряда. Потенциальная энерия первогоqqзаряда в поле второго равна U 1 = 1 2 , потенциальная энерия второгоrзаряда в поле первого равна U 2 = U 1 , и общая потенциальная энергия –qq1U = (U 1 + U 2 ) = 1 2 .r2Для нахождения потенциальной энергии пары можно первую частицузакрепить,авторуюперемещать,таккакdU = -F1dr1 - F2dr2 = -F2dr21, dr21 = dr2 - dr1. Итак,dK + dU = 0 ,(32.10)E = K + U = const ,(32.11)здесь E – полная механическая энергия частиц, K – это кинетическаяэнергия частиц в системе, U – потенциальная энергия частиц.Примеры.1. Тело, летящее в однородном гравитационном поле Земли:mv 2+ mgh = const .2(32.12)2. Равновестие качелей с массами m1 и m2 и плечами l1 и l2 .Для равновесия качелей требуется, чтобы потенциальная энергия неизменялась при наклоне качелей (тогда не возникает движения).
Поскольку потенциальная энергияU = m1gh1 + m2gh278(32.13)dU = m1g dh1 + m2g dh2 = g(m1l1 - m2l2 )d a = 0 ,(32.14)где da – угол наклона качелей. Система находится в равновесии приm1 l 1 = m2 l 2 .(32.15)Получили правило рычага. В такой системе можно поднимать однотело за счет опускания другого. Здесь кинетическая энергия равнанулю, потенциальная энергия одного тела переходит в потенциальнуюэнергию другого тела.3. Упругое столкновение шариков.Здесь, наоборот, потенциальная энергия равна нулю, но сохраняется кинетическая энергия.4. Энергия тел, связанных кулоновской силой.Рассмотрим сначала два тела.
Здесь (рис. 24)m1Fdr1dU = -dA = -å Fdr ,(32.16)dA = Fdr1 + Fdr2 = F (dr1 + dr2 ) = Fdr = -dU ,(32.17)т. е. изменение потенциальнойэнергия такое же, как если быодна из масс была закреплена, очем уже говорилось выше.Закон сохранения энергии дляэтого случаяFm2dr2rРис. 24K 1 + K 2 + U = const .(32.18)Для электростатического взаимодействияmv122+mv222+q1q 2r= const .(32.19)В случае гравитационного притяженияmv122+mv222-Gm1m2r= const .(32.20)Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
