1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В этом случае вчислителе (45.11) можно положить pec = Ee , а в знаменателе сделаемa2m 2c 4,,гдеcos q » -1 +22Eea = p - q . Тогда ответ преобразуется к виду4Ee E gx(45.13)E g¢ = Ee, где x =.2 2x +1+a gm 2c 4заменуpec = Ee2 - m 2c 4 » Ee -Например: Ee = 100 ГэВ, E g = 2, 5 эВ (видимый свет), тогда x = 4 ипри a = 0 получаем E g¢ = 80 ГэВ, т. е. рассеянные назад фотоны,летящие в направление исходных электронов, уносят 80 % начальнойэнергии электрона. Этот метод получения высокоэнергичных фотоновлежит в основе будущих фотон-фотонных коллайдеров на энергию100–1000 ГэВ.Если параметр x 1 , то E g¢ = 4g 2E g , что совпадает с формулой(42.18) для отражения света назад от движущегося зеркала.125§ 46. Распад частиц1.
Сначала рассмотрим распад покоящейся частицы с массой M надве частицы с массами m1 и m2 . Закон сохранения 4-импульса при таком распаде имеет видP = P1 + P2 .(46.1)Из сохранения нулевой компоненты (энергии) следует, что распадвозможен при (с = 1)M = E1 + E 2 > m1 + m2 .(46.2)Найдем энергию первого осколка. Из (46.1) имеем(P - P1 )2 = P22 = m22 .(46.3)Учитывая, что P = {M , 0}, P1 = {E1, p1 } , получаемM 2 - 2ME1 + m12 = m22 ,(46.4)откуда (возвращаем «с»)E1 =и из симметрии (1 « 2)E2 =M 2 + m12 - m222MM 2 + m22 - m122Mc2(46.5)c2 .(46.6)Это есть решение в системе покоя распадающейся частицы.2. Пусть теперь первичная частица движется со скоростью V и прираспаде одна из конечных частиц с массой m1 º m имеет в системецентра инерции (ц.
и.) энергию E 0 º E1 , импульс p0 = E 02 - m 2c 4(полученные выше) и скорость v 0 = p0c / E 0 . Найдем зависимостьэнергии данной частицы Е от угла q .Из преобразований 4-импульсов следует (с = 1)E 0 = g(E - pV cos J) , где p = E 2 - m 2 .(46.7)Отсюда для E получается квадратное уравнениеE 2 (1 -V 2 cos2 q) - 2EE 0 1 -V 2 + E 02 (1 -V 2 ) +V 2m 2 cos2 q = 0.126(46.8)Из геометрических соображений (так же, как и в случае нерелятивистского распада, рис. 26) ясно, что если v 0 < V , то одному углу соответствует два решения.Написать ответ не представляет труда (писать не будем).
Максимальный угол соответствует случаю равенства нулю дискриминантауравнения. Но мы найдем максимальный угол более простым способом. Если в системе ц. и. частица вылетает под углом q0 , то в соответствие с (42.16) в лабораторной системеtg q =pypx=p0 sin q0g(p0 cos q0 + E 0V c 2 )sin q0=g(cos q0 + V v 0 ).(46.9)Найдем max(tg J) , приравняв (tg q)¢ = 0 .
Легко получить, что этопроисходит при cos q0 = - v0 V . Отсюдаtg qm =v0g V 2 - v 02 sin qm =g 0v0gV,(46.10)где g = 1 / 1 -V 2/ c 2 , g 0 = 1 / 1 - v02 / c 2 .3. В качестве примера рассмотрим распад p 0 -мезона на дваg -кванта.Скорость p 0 -мезона V всегда меньше v 0 = c , т. е. решение однозначно и нет предельного угла. Из формулы преобразования энергии(42.11) в случае фотонаE0 =Vcos q)c,1 -V 2 c 2E (1 -E 0 = m pc 2 2(46.11)получаемE=E 0 1 -V 2 c 2V1 - cos qc127.(46.12)Отсюда находим максимальную и минимальную энергию фотонов(при q = 0 и q = p соответственно)E max =E min =E 0 1 -V 2 c 2V1cE 0 1 -V 2 c 2V1+c=m pc 21 +V c21 -V c=m pc 21 -V c21 +V c= Ep= Ep1 + V /c21 -V /c2,(46.13).(46.14)Найдем энергетический спектр фотонов в лабораторной системе.В системе покоя p 0 распределение по углу вылета фотона изотропно(для других частиц может быть и по-другому)dP (вероятность) =d W04p=2p sin q0d q04pЗдесь элемент телесного угла dW01= - d (cos q0 ) .2(46.15)записан в сферической системекоординат (рис.
5), где координаты задаются (R, q, j) . Возьмем сферурадиуса R и маленькую площадку на ней в интервале углов от q доq + d q и от j до j + d j . Нетрудно сообразить, что она будет близкак квадратной с площадью dS = R sin qd q ⋅ Rd j . Телесный угол, по определению, d W = dS/R 2 , отсюда d W = sin q d q d j . Поскольку угловоераспределение в рассматриваемом распаде может зависеть только отq , то можно проинтегрировать по j , что дает d W = 2p sin q d q , т.
е. вкачестве площадке на сфере мы берем кольцо от q до q + d q . В знаменателе (46.15) 4p происходит от того, что полный телесный уголравен площади сферы 4pR 2 , деленной на R 2 , таким образом, полнаявероятность рассеяться на любой угол равна единице (говорят, что такое распределение нормировано на единицу).Из формулыVE = gE 0 (1 + cos q0 )(46.16)cEcнаходим(46.17)cos q0 = (- 1) ,gE 0V128откудаd (cos q0 ) =cdE.V gE 0(46.18)Подставляя (46.18) в (46.15), получаем энергетическое распределениефотонов в лабораторной системе отсчeтаdP = -c1⋅⋅ dE ,2V gE 0(46.19)т.
е. спектр равномерный от E min до E max . Знак минус здесь можнозаменить на плюс, он зависит от того, откуда отсчитывать энергию.Найдем теперь угловое распределение в лабораторной системеотсчeта. Исходным снова является угловое распределение фотонов всистеме ц. и., в данном случае изотропное (46.15). Для фотонов (световой абберации (23.4))VgPqE ) cos q -V c(cos2Px¢c,(46.20)==cos q0 =E¢Vg(E - PV cos q)1 - cos qcоткуда нетрудно получитьd (cos q0 ) =d (cos q)2æ Vög 2 çç1 - cos q ÷÷÷÷øçèc.(46.21)Подставляя в (46.15), получаем искомое угловое распределениеdp = -12d (cos q)2æ Vög 2 çç1 - cos q ÷÷÷÷øçèc.(46.22)В общем случае, зная угловое распределение в системе ц.
м. ииспользуя формулы преобразования углов, можно найти угловыераспределения для любого распада.129§ 47. Неупругие столкновения, пороги рождения частиц,встречные пучки1. Общий подходПри неупругом столкновении (слипании) двух частиц массами m1 иm2с4-импульсами(полагаемпривычисленияхc = 1)P1 = {E1, p1 }, P2 = {E2 , p2 } образуется частица с массойM 2 = P 2 = (P1 + P2 )2 = (E1 + E2 )2 - (p1 + p2 )2 .(47.1)2. Столкновение движущейся частицы с покоящейся частицей.В этом случаеE = E1 + E 2 = E1 + m 2 ,(47.2)p = p1 + p2 = p1 .Образовавшаяся частица движется со скоростьюp1 c 2c2pv=,=EE1 + m2c 2(47.3)ее масса в соответствие с (47.1)M 2 = (E1 + m2 )2 - p12 = m12 + m22 + 2E1m2 M 2 = m12 + m22 + 2E1m2.(47.4)Отсюда для рождения частицы с массой M при столкновении движущейся частицы с неподвижной необходима энергия (возвращаем вформулу скорость света)E1 =(M 2 - m12 - m22 )c 22m2.(47.5)Пример.
Антипротон был впервые наблюден в реакцииp+p p+p+p+p(47.6)при соударении протонов, выпущенных из ускорителя, с неподвижноймишенью. Найдем минимальную энергию протонов, при которой идетданная реакция.130Масса всех конечных частиц на пороге рождения M = 4m p (m p –масса протона). Тогда из (47.5) находимE1 = 7m pc 2 » 6.5 ГэВ.(47.7)Специально для этой задачи в Беркли, США, был построен ускорительна такую энергию, на котором в 1955 г. был открыт антипротон.При столкновении с неподвижной мишенью энергия налетающейчастицы идет как на «создание» массы рождаемой частицы, так и на еeкинетическую энергию.
При этом доля энергии, идущая на созданиемассы, падает с ростом энергии. Из (47.4) при E1 m1, m2 находимMc 2E12m2c 2E1.(47.8)3. Встречные пучки.При слипании навстречу летящих частиц с энергиями E 0 и нуле-вым суммарным импульсом образуется частица с массойMc 2 = 2E 0 ,(47.9)при этом вся энергия переходит в энергию покоя конечной частицы.Для рождения одной и той же частицы с массой М на ускорителе снеподвижной мишенью и на встречных пучках в первом случаепотребуется существенно большая энергия.
Из (47.5) и (47.9) находимE1E0=M 2 - m12 - m22Mm2.(47.10)При m1 = m2 = m и M mE1 E 0 » M m .(47.11)Подставляя (47.9) в (47.11), находим, что ускоритель со встречнымипучками с энергией E 0 эквивалентен ускорителю с неподвижной мишенью с энергиейE1 »2E 0mc 2131E0 .(47.12)Первый ускоритель со встречными электрон-электронными пучками,построенный в 1964 г.
в Институте ядерной физики (ИЯФ) вНовосибирске, имел максимальную энергию E 0 = 160 МэВ и диаметроколо 1 м. Для получения тех же эффектов при соударении снеподвижной мишенью необходим ускоритель с энергией2 ⋅ 160E1 = 160» 100000 МэВ = 100 ГэВ.(47.13)0.5Размеры кольцевого электронного ускорителя с такой энергией составили бы несколько десятков километров. Почти одновременно и ИЯФ, с1965 г. в Стэнфорде (США) проводились эксперименты на e -e - встречных пучках с энергией 2E 0 = 600 МэВ. В этих экспериментах было установлено, что размер электрона по крайней на порядок меньше, чемклассический радиус электрона (см. § 35).
В 1966 г. в ИЯФ началисьэксперименты на первом в мире ускорителе со встречными электронпозитронными ( e +e - ) пучками, где электрон с позитроном при столкновении аннигилируют и при этом может родится частица с массой до2E 0 . С тех пор встречные пучки стали основным инструментом изучения материи, с помощью которых были сделаны важнейшие открытия.Максимальная энергия в e +e - -столкновениях, достигнутая к настоящему времени, составляет 2E0=209 ГэВ (LEP, ЦЕРН), вpp -соударениях – 2E 0 = 2000 ГэВ (Tevatron, США), в pp -столкновениях – 2E 0 = 14000 ГэВ (LHC, ЦЕРН). Ускоритель LHC находится втом же тоннеле периметром 27 км вблизи Женевы, где до этого располагался LEP.
Самые массивные из открытых частиц, Z0-бозон с массой92 ГэВ/ c 2 , Хиггсовский бозон – 125 ГэВ/c2 и t-кварк – 172 ГэВ/c2.§ 48. Магнитное полеИнвариантность заряда. Плотность заряда и токаЗаконы электромагнетизма были установлены экспериментально.В их формулировке наибольшая роль принадлежит ряду замечательных ученых: К. Гауссу (1777–1855), А.
Амперу (1775–1836), М. Фарадею (1791–1867). Полное завершение теория электромагнитных явлений получила в 60-х гг. 19 в. в работах Д. Максвелла (1831–1879). Однако природа этих законов оставалась загадочной. Специальная теорияотносительности позволила объяснить все электромагнитные явления,опираясь только на два фундаментальных экспериментальных факта.1321. Закон Кулона. В природе существуют электрические заряды, исила взаимодействия между неподвижными зарядамиqqF = 1 32 r .(48.1)r2. Величина электрического заряда не зависит от скорости.Второй постулат вытекает из электрической нейтральности атомов.Заряд атома водорода, как следует из экспериментов, составляет менее10-20 e (e – заряд электрона). Скорость электронов в атоме водородаv /c ~ 10-2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
