1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Подставляяkx 2U =в (54.6), находим2t =m2òdx+ const .kx 2E 12EИнтеграл берется путем замены переменнойdx = t =(55.9)kx 2= cos2 a . Подставляя2E2Esin a d a , получаемkm 22 kò da = mmkarccosa + const = x + const . (55.10)2EkkОтсюдаx=æö÷2Ekçcos ççt + const ÷÷÷ = a cos w0 t + j 0 ,ççè mk÷ø()(55.11)где амплитуда колебанийa =| -x 1 | = x 2 =2Ek(55.12)и частота колебанийw0 =k.m(55.13)Во второй части (55.11) мы убрали знак , поскольку движение с отрицательной частотой сводится к движению с положительной частотой: cos(-wt + j1 ) = cos(wt - j1 ) , а сложение двух косинусов с одинаковой частотой, но разными фазами дает снова косинус той же частоты, но другой фазы.146Период колебаний можно найти из (55.10), взяв определенный интеграл с граничными условиями,T =2mmm(arccos(-1) - arccos(1)) = 2p = 2p, (55.14)kkkа также его можно сразу получить из (55.11), принимая во внимание,что для гармонического колебания период T соответствует изменениюаргумента синуса на 2p , т.
е. w0T = 2p , откудаT =2pm= 2p.w0k(55.15)Итак, общим решением уравнения малых гармонических колебанийx + w02x = 0 является(x = a cos w0 t + j 0)(55.16)илиx = c1 cos w0t + c2 sin w0t.(55.17)Действительно (55.17) можно записать в видеæö÷ç c1c2x = c12 + c22 çççcos w0 t +sin w0 t ÷÷÷ ,÷÷ççè c 2 + c 2c12 + c22ø12cos j0(55.18)- sin j0что, с учетом тригонометрической формулыcos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b ,(55.19)x = a cos(w0t + j0 ),(55.20)даетгдеa = c12 + c22 ,tg j0 = -c2c1.Константы находятся из начальных условий x (0) = x 0 ,147(55.21)x ¢(0) = v0 .Подставляя t = 0 вx = c1 cos w 0t + c2 sin w 0t,(55.22)x = -c1w 0 sin w 0t + c2 w 0 cos w 0tнаходимc1 = x 0 ,c2 =v0(55.23).w0Отсюда получаем решение с учетом начальных условийvx = x 0 cos w 0t + 0 sin w 0tw020или x = a cos(w 0t + j 0) , где a = x +v02w20,tg j0 = -(55.24)v0w 0x 0.
(55.25)Этим исчерпывается задача о свободных малых колебаниях при начальных условиях.Энергия гармонического осциллятораНайдем энергию гармонического осциллятора. Имеемm w 20a 2mx 2ka 2K ==sin2 (w 0t + j 0) =sin2 (w 0t + j 0) ;22222kxkaU ==cos2 (w 0t + j 0 ) ,(55.26)22откуда следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной, равнойm w02a 2ka 2=.(55.27)22Другого и не могло быть, так как энергия в потенциальном поле сохраняется.
Более того, усредненные по времени кинетическая и потенциальная энергии равны и составляют половину полной энергииE = K +U =K = U =При усреднии учтено то, что2E.2cos w 0t =148(55.28)1 + cos 2w 0t2=1. (55.29)2Примеры.1. Тело на пружинке.mx = -kx ;mkx = -w 20x ,(55.30)w 20=k.m(55.31)Рис. 402. Маятник.m(l j )2+ mgl (1 - cos j)2m(l j )2 mgl j 2.»+22E=lmgВыражение (55.32) можно записать в стандартномдля гармонического осциллятора видеE=Рис.
41m*j 22+k*j 22kgw 20= * = .m*lотсюда(55.32), m* = ml 2 ,k* = mgl,(55.33)(55.34)Можно по-другому. Дифференцируя (55.32), получаем уравнениеgj + w 20j = 0, w 20= .(55.35)l3. Тело на пружинке, скользящее по спице.Пусть F – натяжение пружинки в положении равновесия. При отклонении тела в горизонтальном направлении нанего действует только проекция силы натяженияпружинки (рис. 42)xmx = -(F + dF )sin q » -F q » -F ,(55.36)llx mРис. 42откуда сразу находится частота колебанийFw02 =.(55.37)mlПри решении мы оставили в (55.36) только членыпервого порядка малости.149§ 56.
Решение уравнений с помощью комплексных чиселНемного математики. Уравнения, описывающие колебательныепроцессы, относятся к классу линейных дифференциальных уравненийс постоянными коэффициентамиd nxdxan n + ...a1+ a 0x = 0 .dtdt(56.1)Для таких уравнений справедлив принцип суперпозиции: если есть дварешения, x 1(t ), x 2 (t ), то их линейная комбинация c1x 1(t ) + c2x 2 (t ) с произвольными коэффициентами c1,2 будет тоже решением.
Решениямиявляются синусы и косинусы, экспоненты, но намного удобнее оперировать решениями типаx (t ) = a 0 cos(w 0 t + j 0) = Re a 0 eZ = Aei wt,A = a 0eij 0i wt +i j 0= Re Z ,.(56.2)Здесь используется формула Эйлераe ix = cos x + i sin x .(56.3)Эту формулу можно получить следующим образом. Возьмем комплексное число z = cos j + i sin j . Дифференцируя, получаемdz = - sin jd j + i cos jd j = izd j. Откуда ln z = ij и z = e ij , что итребовалось доказать.Оперировать с экспонентами удобнее, поскольку после дифференцирования получается снова экспонента.
При этом пока производятсялинейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно опускать знак вещественной части и переходить к вещественной части только в окончательном результате.Чтобы стало понятнее, почему можно оперировать в уравнении недействительными (физическими) решениями, а искать их в виде комплексных решений, подставим Z = x R + ix I в (56.1) и получимand nxRdt n+ ...a1æ d nxö÷dx+ a 0x R + i çççan nI + ...a1 I + a 0x I ÷÷ = 0 .dtdtèç dtø÷÷dx R150(56.4)Поскольку действительная и мнимая часть порознь должны быть равны нулю, для действительной части получается исходное физическоеуравнение. Вдобавок появилось уравнение для мнимой части, тождественное уравнению для реальной части координаты, поэтому оно будетдавать решение, тождественное физическому.
Заметим, что такое разделение действительной и мнимой частей возможно только для линейных уравнений, т. е. содержащих x только в первой или нулевой степени. Если бы в уравнении был член, содержащий x 2 , то(x R + ix I )2 = (x R - x I )2 + 2ix Rx I . Мы видим, что после подстановкиx 2 действительная часть уравнения будет содержать член (x R - x I )2 идействительная часть уравнения не будет тождественна исходному физическому уравнению, содержащему x 2 .Для решения подобных уравнений в математике используется следующий прием: решения ищутся в видеx (t ) = Re{eiwt}.(56.5)dxd nxiwt= Re{i w e iwt },...
n = Re{(i w)n e } и после подстановки вdtdt(56.1) получается уравнениеan (i w)n + ...a1(i w) + a 0 = 0 .(56.6)ТогдаТакое уравнение n-степени имеет n корней w j , в общем случаекомплексных. Тогда общее решение однородного (без правой части)уравнения (56.1) будетnx (t ) = å Re{c jeiw jt}.(56.7)j =1Если в правой части уравнения (56.1) стоит не ноль, а некая функцияF (t ) , то уравнение называется неоднородным и общее решение является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравненияx (t ) = x однор.(t ) + x частн.(t ) .Все это станет намного яснее при дальнейшем рассмотрении.151(56.8)§ 57. Затухающие колебанияРассмотрим колебания с трением.
При малых скоростях в газах,жидкостях или при излучения заряда возникает тормозящая сила, направленная против скорости и равнаяfтр = -bx .(57.1)Уравнение движения осциллятора с затуханиемmx = -kx - bx(57.2)или в каноническом (общепринятом) видеx + 2gx + w02x = 0,где2g =b.m(57.3),(57.4)Как обсуждалось ранее, ищем решения в видеx (t ) = Re Z ,Z = Aeгдеi wtw и A – пока неопределенные величины.
Подставляя (57.4) в (57.3)имеемAe iwt (-w 2 + i w2g + w 20) = 0 .(57.5)Поскольку левый сомножитель ненулевой, то получаем характеристическое уравнениеw 2 - i w2g - w 20= 0 .(57.6)Решение этого квадратного уравненияw = i g -g 2 + w02 .(57.7)ОтсюдаZ = A 1e-g t +i w 20-g 2 t+ A2e-g t -i w 20-g 2 t.(57.8)Если w0 > g (трение мало), тоZ = e-gt (A1 cos W t + iA1 sin W t + A2 cos W t - iA2 sin W t ) , (57.9)гдеW = w 20- g 2 .152(57.10)x (t ) = Re Z = eОтсюда-g t(c1 cos Wt + c2 sin Wt ) ,(57.11)где константы c1, c2 являются вещественными (действительными) числами, значения которых находятся из начальных условий.
Действительно, из (57.9) следует, что c1 = Re(A1 + A 2), c2 = Im(A2 - A1 ) .Таким образом, при малом затухании решение похоже на свободные колебания, только амплитуда затухает как e-g tи частота несколь-ко сдвинута: W = w 20- g 2 .Время жизни колебаний (при g w 0 )t=ww12pQ=´ 0 »T 0 ºT ,2pggw0 2pgp(57.12)где добротностьQ=w0.(57.13)2gНайдем решение задачи с учетом начальных условий x (0) = x 0 ,x ¢(0) = v 0 .
Полагая в (57.11) t = 0 , сразу получаем c1 = x 0 . Вторуюконстанту находим, дифференцируя (57.11) и приравнивая v 0 при t = 0 :x ¢(t ) = -ge-g t(c1 cos Wt + c2 sin Wt ) + ex ¢(0) º v 0 = -gc1 + c2W , откуда c2 =-g t(-c1W sin Wt + c2W cos Wt ) ,v 0 + gx 0.WВ результате получаем искомое решение при g < w 0 :x (t ) = e -gt (x 0 cos Wt +v 0 + gx 0sin Wt ) .(57.14)WЕсли w0 < g , то в (57.8) выражение под корнем становится отрица-тельным и решение естьZ = A 1e-gt -g 2 -w02 t+ A 2e-gt + g 2 -w02 tæ - g2 -w02 t+ c2ex = Re Z = e-gt ççc1eçè153,(57.15)g 2 -w02 t ö÷÷÷ .ø(57.16)В этом случае решение апериодическое, при затухании совершаетсяменее одного колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
