1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если бы заряд как-то менялся за счет эффектов теории относительности, то можно было бы ожидать Dq/q ~ (v/c)2 10-4.Постулат об инвариантности электрического заряда можно сформулировать в другом, удобном для использования виде: сила, действующая на пробный заряд в поле, создаваемым неподвижным зарядом,не зависит от его скорости. Можно показать, что это утверждение согласуется с приведенным выше экспериментальным фактом.Плотность зарядов зависит от системы отсчeта.
Действительно, пустьв покоящемся цилиндре длиной l0 и сечением S 0 содержится заряд собъeмной плотностью r0 . При движении цилиндра со скорость v , параллельной оси цилиндра, сечение остаeтся неизменным S = S 0 , а длинасократится: l = l 0 1 - v 2 c 2 . Из условия сохранения заряда получаемr=r01 - v2 c2.(48.2)Плотность тока (заряд, протекающий через см2 в с)r0 v.j = rv =1 - v2 c2{} {Нетрудно видеть, что {r c, j} = r0 gc, r0 g v = r0u 0 , r0 u(48.3)}является4-вектором, а значит, преобразуется по правилуVj) , jx¢ = g( jx - rV ), jy¢ = jy , jz¢ = jzc2Обратное преобразование получается заменой V на -V .r ¢ = g(r -133(48.4)Взаимодействие движущегося заряда с токомИзвестно, что на движущийся заряд действует магнитное поле, создаваемое током. Попытаемся понять природу такого взаимодействия.Рассмотрим цилиндр, в котором положительные заряды с плотностью r движутся вправо со скорость v , а отрицательные заряды сплотностью -r – налево с той жеVqскоростью.
Ясно, что в целом цилиндр является нейтральным и недействует на покоящиеся относиvтельно него заряды.Пусть параллельно оси цилинд-vра (проводника) движется заряд qсо скоростью V . Будет ли на негодействовать сила? Для ответа наРис. 36этот вопрос перейдем в системудвижущегося заряда. В этой системе отсчeта в соответствии с формулой (48.4) плотности зарядов будутVvVj ) = gr (1 - 2 ) ,2 +cc(48.5)VvV=+)gr(1).jc2c2(48.6)r+¢ = g(r+ r-¢ = g(r- -Здесь было учтено, чтоr+ = r,r- = -r, j+ V = r+ vV = r v,j-V = r-(-v)V = r v .
(48.7)Суммарная плотность зарядов будетdr ¢ = r+¢ + r-¢ = -2gr vVc2.(48.8)Получается, что в системе отсчeта, сопутствующейдвижущемуся заряду q, проводник имеет отличную от нуляплотность зарядов, а стало быть, создает электрическое поле ипритягивает заряд q! Этим и объясняется природа сил, действующихна движущиеся заряды.Найдем эту силу в данном случае. Пусть расстояние от осипроводника до заряда q равно r . Оно не изменяется при переходе в134систему покоя заряда q (поперечный размер не меняется).
Линейныйпроводник создает электрическое поле (34.10)2l,(48.9)rгде l – линейная плотность зарядов. В нашем случае сила притяжениябудет равна4grvVS2dr ¢S(48.10)Fy¢ =q =q.rrc 2E=Переведем эту силу в неподвижную относительно проводника систему отсчета, воспользовавшись формулой преобразования сил (43.7).Поскольку vx¢ заряда q в его системе покоя равна нулю, то4rvVS2IV= -q 2 .2rcrcЗдесь учтено, что полный ток в лабораторной системе равенI = 2rvS .Эту силу можно записать в видеFy = F ¢/g = -q(48.11)(48.12)V2IB,B=.(48.13)crcВеличину B называют магнитным полем.В проведенном выше рассмотрении были взят проводник,наполненыйположительнымииотрицательнымизарядами(движущимися в противоположные стороны) для того, чтобы занулитьэлектрическую силу в лабораторной системе.
Если бы рассматривалитолько один тип зарядов, то в лабораторной системе было бы иэлектрическое, и магнитное поле, причемv| B |=| E | .(48.14)cЭто видно из формулы (48.5), где первый член соответствует электрической силе, второй – магнитной.Зачем понадобилось вводить магнитное поле, если это всего лишьпроявление релятивистского эффекта (порядка Vv/c 2 ) в действии элек| F |= qтрических сил? Просто, исторически, силу, действующую на неподвижный заряд, отнесли к электрическому полю, а составляющую силы,связанную с движением пробного заряда, – к магнитной силе.135Сила взаимодействия двух токовИмея формулу (48.13) для силы, действующей на заряд, которыйдвижется параллельно току, можно найти силу взаимодействия двухтоков. Пусть имеется два тонких проводника на расстоянии r с токамиI 1 и I 2 . В соответствие с (48.13) сила, действующая со стороны перво-го тока на один электрон во втором проводнике, равнаF1 = -ev2cB = -ev2 2I 1c cr.(48.15)Количество электронов на единицу длины второго проводника равноN = I 2 / ev2 .
Это следует из определения силы тока как количествазаряда, протекающего через сечение проводника за единицу времени.Умножая (48.15) на N , получаем искомую силу взаимодействия двухтоков на единицу длины2I I(48.16)F = - 21 2 .crЭто закон А. Ампера, установленный экспериментально в 1820 г. Токи,текущие в одном направлении, притягиваются; токи, текущие в противоположном направлении, отталкиваются. Это следует непосредственно из силы Лоренца.Ниже будут приведены формулы для электромагнитных сил в общем виде.§ 49. Сила ЛоренцаИспользуя сформулированные в начале предыдущего параграфапостулаты и теорию относительности, можно рассчитать силу взаимодействия между двумя произвольно движущимися зарядами.
Действительно, раз известна сила, действующая со стороны покоящегося заряда, то можно найти силу в любой движущейся системе отсчета. Оставим эти расчеты для курса электричества и приведем только конечныйрезультат.Сила, действующая на заряд, движущийся со скоростью V, равнаV´ B) ,(49.1)cгде Ε и B – это электрическое и магнитное поля, создаваемое источником полей. Эта сила называется силой Лоренца.F = q (E +136В случае, когда источником поля является электрический заряд,движущийся со скоростью v ,v(49.2)B = ´E .cНаправление E и B показано на рис.
37.Магнитное поле, как и электрическое, можноизображать силовыми линями.BПоскольку магнитная составляющая силыЛоренца (49.1) перпендикулярна скорости заvряженной частицы (формула (49.1)), то работы она не совершает.В случае линейного провода с током силоРис.
37вые линии имеют форму кольца, охватывающего проводник. Направление поля находится по правилу буравчика(штопора): если штопор вкручивать в направлении тока, то движениеточек на ручке штопора указывает направление магнитного поля.В общем случае электрические и магнитные поля могут создаватьсямножеством зарядов, это может быть чисто электрическое поле илитолько магнитное поле (поле проводника с током) – во всех случаяхсила, действующая на заряд, дается силой Лоренца. Хендрик Лоренцнашел выражение для этой силы в 1892 г.E§ 50. Преобразование электрических и магнитных полейЭлектрическое и магнитное поле – это проявление одного электромагнитного поля, они взаимосвязаны, и их соотношение зависит отсистемы отсчета. У нас есть все, чтобы вывести законы преобразования полей, но оставим это для курса электричества и приведем толькоконечные формулы:VVEy¢ + Bz¢Ez¢ - By¢ccE x = E x¢,Ey =, Ez =(50.1)221 -V c1 -V 2 c 2Bx = Bx¢,VVEz¢Bz¢ + Ey¢ccBy =, Bz =.221 -V c1 -V 2 c 2By¢ -Обратное преобразование получается заменой V -V .137(50.2)Пример.
Пусть в лабораторной системе есть магнитное поле Bz .Тогда в системе S ¢ , движущейся вдоль оси X со скоростью V, имеетсякак электрическое, так и магнитное поля: Ey¢ = -gVBc zBz¢ = g Bz .(50.3)Данные преобразования показывают, что электрические и магнитные поля не существуют отдельно друг от друга, а являются частямиэлектромагнитного поля, проявляющегося в действии силы Лоренца надвижущийся заряд.§ 51. Движение заряженной частицы в магнитном полеРассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Компонента силы Лоренца (49.1) вдоль поля равна нулю, поэтому вдоль поля импульс сохраняется. Закон изменения поперечногоимпульсаæödp ^d çç mv^ ÷÷÷ q[ vB]= çç.(51.1)÷=dtdt çç 1- v 2 c 2 ÷÷÷cèøПоскольку сила перпендикулярна скорости, магнитное поле не совершает работы, изменяется лишь направление движения, и в случае постоянного поля это будет движение по окружности. Таким образом,заряженная частица движется в однородном магнитном поле по спирали.
Найдем радиус окружности. Дифференцируя (51.1) с учетом того,dv ^v^2что v = const и= -eR, [ v B] = -eRv^B , получаемdtRq v^Bdp^p v= ^ ^ =,(51.2)dtRcоткуда радиус окружностиpcR= ^ .(51.3)qBДля q = e (заряд электрона) уравнение (51.3) можно записать в удобном для расчетов виде3333 p^c [ ГэВ]R», см .(51.4)B[кГс]138Здесь величина магнитного поля выражена в кГс = 1000 Гс (гаусс)(см. единицы измерения электромагнитных величин в следующем параграфе).Найдем уравнение траектории.
Пусть магнитное поле B направленовдоль оси Z, тогда продольная скорость (вдоль Z ) постоянна и продольная координата равнаz = v t + const .(51.5)Уравнение движения (51.1) для поперечного движения можно переписать в видеdv ^qB= e z wB ,= v ´ ωB ,где ωB =(51.6)gmcdtгде wB – циклотронная частота. Заряд движется по окружности со скоростью v^ с круговой частотой wB , отсюда получаются уравнениядвижения по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитномуполюx = x 0 + R cos(wBt + j0 );y = y 0 + R sin(wBt + j0 );(51.7)vx = -RwB sin(wBt + j0 );vy = RwB cos(wBt + j0 ),где x 0 , y 0 – положение центра окружности, j 0 – начальная фаза иR=v^pc= ^ .wBqB(51.8)Следует заметить, что wB , определенная в (51.6), пропорциональна заряду q , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
