1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Задача всегда имеет решение.При движении в пространстве удобно использовать векторное описание, при этом мгновенная скорость (рис. 12)r(t + Dt ) - r(t ) dr= .Dt 0Dtdtv(t ) = limrr (t dt )r (t )Рис. 12vzГодографскоростиv(t)vyvxРис. 13dv d 2 r= 2 . dtdtВ декартовых кординатах ædx dy dz öv = (vx , vy , vz ) = ççç , , ÷÷÷ .è dt dt dt ÷øАналогичноa(t ) =(7.9)(7.10) (7.11) Конецвектораr(t )описываеттраекторию в X , Y , Z -пространстве. Поаналогии можно нарисовать то же дляскорости (рис.
13). Такую кривую впространствескоростейназываютгодографом скорости. Он показываетзначения скорости во время движения.Это понятие используется редко.23§ 8. Обратная задача кинематики При движении под действием силы известно ускорение a(t ) инеобходимо найти v(t ) и r(t ) .В одномерном случае перемещение – это плошадь под кривой v(t )(рис. 14), которая находится как сумма малых перемещений. Пристремлении шага суммирования к нулю сумма переходит вопределенный интегралx - x 0 = å vi Dti =itò v(t )dt .(8.1)t0Примечание. Следует различать «перемещение» и «пройденныйтелом путь». Перемещение в(одномерном случае) – это разницаv(t )координат конечной и начальныхточекt2S=tt0ò v(t )dt.(8.2)t1Путь пройденный телом – этоtt2S=Рис.
14òv(t ) dt.(8.3)t1Например, автомобиль целый день ездил по городу и вернулся вгараж, тогда перемещение равно нулю, а путь равен изменениюпоказаний одометра (счетчика пробега). Таким образом, путь иперемещение равны только при одномерном движения в одномнаправлении.Итак, известна скорость v(t ) , нужно найти путь S (t ) .
Как это сделать математически? Поскольку мы знаем, что v(t ) = S ¢(t ) , то задачасводится к нахождению такой функции S (t ) , чтобы ее производнаяравнялась скорости v(t ) . Эта задача, обратная нахождению производной, называется взятием интеграла от функции.Интеграл от f (x ) записывается так:ò f (x )dx = F (x ) + const ,24(8.4)где функция F (x ) такая, что F ¢(x ) = f (x ) , ее называют первообразнойфункцией от f (x ) . Константа в (8.4) отражает тот факт, чтопервообразная определена с точностью до константы, посколькупроизводная от константы равна нулю: (F (x ) + const)¢ = F ¢(x ) .Поэтому такой интеграл называют неопределенным интегралом.Можно представить, что неопределенный интеграл – это площадь подкривой f (x ) , где x меняется от некого постоянного, нонеопределенного значения до переменного значения x .Для того, чтобы найти площадь S в области a < x < b нужно отзначения неопределенного интеграла в точке b отнять его значение вточке a , при этом константа выпадет и получается определенныйинтеграл, равный разности значений первообразной в точках b и a :bS=ò f (x )dx = F (b) - F (a ) .(8.5)aТаким образом обратная задача кинематики сводится к взятиюинтегралов, т.
е. нахождению первообразных.Для некоторый функций интеграл находится сразу, например,поскольку (sin x )¢ = cos x , то ò cos x dx = sin x + const . В отличие отпроцедуры нахождения производной взятие интеграла является болеесложной задачей. Не для всякой функции, состоящей из элементарныхфункций, можно найти первообразную, выражающуюся черезэлементарные функции.Если функция сложная и интеграл не берется, то для физиков это непроблема, так как любой определенный интеграл можно быстро найтис помощью компьютера, разбив отрезок ab на малые отрезки Dx ипросуммировав f (x i )Dx .
Однако лучше, когда ответ задачи можновыразить не числом, а формулой для произвольных a и b .Техниканахожденияинтеграловизлагаетсявкурсематематического анализа. Ниже приведена таблица некоторыхпростейших интегралов:x n +1ò x dx = n + 1 , (n - действ. число, n ¹ -1) ò sin x dx = - cos xndxò x = ln | x |,ò e dx = ex(8.6)ò cos x dx = sin xò tg x dx = - ln | cos x |.(x ¹ 0)x25Пример. Пусть скорость v = bt 2 ( b – число), найти перемещение завремя от t1 до t2 .Ответ находится путем взятия определенного интегралаt2x=bt2ò bt dt = 3 t |23t1t1=b 3(t2 - t13 ) .3(8.7)Эту же задачу можно сформулировать несколько иначе: пустьскорость v = bt 2 , найти, как путь (перемещение) зависит от времени,если x = x 0 в момент t0 . В этом случае берется неопределенныйинтеграл, а константа находится из начальных условий:x=bò bt dt = 3 t23+ const .(8.8)bПодставляя сюда x = x 0 , t = t0 , находим const = x 0 - t03 .
Оконча3тельный ответ:bx = x 0 + (t 3 - t03 ) .(8.9)3Мы рассмотрели прямую и обратную задачу кинематики вдекартовой системе координат. Она сводится к простомудифференцированию и интегрированию по каждой из проекций.В векторной формеtr(t ) =tò v(t ) dt + r(t ),v(t ) =0t0ò a(t ) dt + v(t ).0(8.10)t0Здесь каждое векторное уравнение является удобной записью трехуравнений для движения по каждой проекции.Еще немного математикиВ физике часто требуется упростить формулы, содержащие малыевеличины, сохранив при этом главные члены, содержащие эти малыевеличины. Приведем некоторые полезные математические приемы.1.f (x ) = 1 + x » 1 +x, где x 1 .226(8.11)Это нетрудно проверить, возведя обе части в квадрат, получаетсяслева 1 + x , справа 1 + x + x 2/4 .
Последним членом можнопренебречь, так как он следующего порядка малости по сравнению совторым членом, содержащим x .1+a2., где a, b 1 .f (x ) =1+bДомножая числитель и знаменатель на (1 - b ) и пренебрегаячленами второго порядка малости, получаемf (x ) =1 + a (1 + a)(1 - b ) 1 + a - b - ab==» 1 + a - b . (8.12)1+b(1 + b )(1 - b )1 - b2Ряд ТейлораЛюбую гладкую функцию вблизи точки a можно разложить в рядТейлора11f (a + x ) = f (a ) + f ¢(a ) x + f ¢¢(a ) x 2 + f n (a )x n .(8.13)2!n!Действительно, продифференцировав выражение один раз (учитывая,что (x n )¢ = nx n -1 ), получаем f ¢(a + x ) = f ¢(a ) плюс члены, содержащие малый параметр x .
Продифференцировав дважды, получаемf ¢¢(a + x ) = f ¢¢(a ) + малые члены и т. д. Тем самым мы проверили, чтопри малых x производные всех порядков у функций слева и справаравны. Такое может быть только в том случае, если равны сами функции. Разложение в ряд некоторых функций, которые нам понадобятся вдальнейшем ( x 1 ),x2 x3ex = 1 + x ++ ,(8.14)26x2ln(1 + x ) = x - ,(8.15)2x3(8.16)sin x = x - ,6x2cos x = 1 - ,(8.17)2x3tg x = x + .(8.18)327§ 9. Ускорение при криволинейном движенииДвижение по окружностиYvRXСначала рассмотрим равномерноедвижение по окружности в декартовыхкординатах(рис.
15).Пустьточкадвижется по окружности радиуса R .Радиус-вектор точки составляет уголj = wt отностительно оси X , где w –угловая скорость. За период обращенияT = 2pR v приращение угла поворотаравно wT = 2p , отсюдаРис. 15w=2pv= .TR(9.1)Учитывая, что x = R cos j, y = R sin j , получаемx = R cos wtx = -Rw sin wtx = -Rw 2 cos wty = R sin wty = Rw cos wty = -Rw 2 sin wt,(9.2)откудаx = -w 2x ,y = -w 2y(9.3)v 2 æç r ö÷ç ÷,R çè R ÷÷ø(9.4)r = -w 2 r = -илигде r = i x + j y – радиус-вектор точки, |r| º R .
Получается, что ускорение направлено к центру окружности.Рассмотрим то же самое в полярной системеvкоординат (рис. 16). При смещении точки на уголvd j вектор v поворачивается на этот же угол.dИзменение вектора скорости находим, совместивначаланачального и конечного векторов скорости.RТогда векторы начальной, конечной скорости иизменения скорости образуют равнобедренныйтреугольник с углом при вершине d j . Изменениескорости по модулю равноРис. 16dv = 2v sin(d j/2) » vd j ,28(9.5)а вектор изменения скорости направлен к центру окружностиdv = -e r vd j,(9.6)где er – единичной вектор, направленный вдоль радиус-вектора точки.Отсюда ускорение –an =dvdjv2= -e rv= -e rv w = -e r .dtdtR(9.7)При равномерном движении по окружности точка имеетцентростремительное ускорение an , перпендикулярное скорости(«нормальное» ускорение).
Этот результат эквивалентен формуле (9.4).Если меняется абсолютное значение скорости, то кромецентростремительногоускорениядобавляетсятангенциальноеускорение a t , направленное вдоль окружности (вдоль направленияскорости) и равноеa t = ejdv,dt(9.8)где ej – единичный вектор в направлении скорости, v – модульскорости (скаляр). Полное ускорение при движении по окружности –a = a n + a t = -e rv2dv.+ ejRdt(9.9)Тангенциальное и нормальное ускорение при произвольномдвиженииРассмотрим случай произвольного движения. Известно, что черезлюбые три точки можно провести окружность. Выберем триближайшие точки на траектории и проведем окружность.
Как былопоказано выше, полное ускорение будет суммой тангенцального инормального ускоренийv2dv+t .(9.10)RdtЗдесь n = -e r – единичный вектор в направлении центра окружности,a = an + at = nt = e j – единичный вектор в направлении скорости. Отсюда получаемспособ нахождения R. Поскольку t и n перпендикулярны, то29a 2 - a t2an1===R v2v2v 2 - v 2.v2(9.11)1wdj= v w, v = 0, тогда= .RvdtДругой способ нахождения радиуса кривизны:Для равномерного движения v = va1= n2 ;RvЗдесь (av)an = | a n | = | a - a t | = a -(av)v.v2(9.12)– скалярное произведение, модуль вектора – этоA = Ax2 + Ay2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
