1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Зная энергию ультрарелятивистской частицы, можно вычислить и ее скорость. Точнее, можно вычислить не самую скорость частицы (для этого недостаточна точность, с которой известна скорость света с), а равность между этой скоростью и скоростью света в вакууме. С этой целью перепишем формулу (22.12) в виде Е= ~Г Отсюда получаем Еа (с+ с) (с — о) = ш„'-са = Е1са.
Так как скорость о близка к с, то во втором множителе с+ о величину о можно заменить иа с. В результате получится с — о Е1 с 2Е'' (22.19) Для протонов с энергией Е = 10 ГэВ получаем с в о 0,938э с 2 1Оа = Для электронов с энергией Е = 1 Гэ — =1,3 10 т. с 2,10в = В космических лучах регистрировались протоны с энергией 1Ота эВ = 10'с ГэВ, В этом случае 1О ао, с т.
е. скорость частицы отличается от скорости света всего на 3 10 аа см/с. ЗАДАЧИ !. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь, перекинута замкнутая тяжелая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположеннук между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массы и и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте.
Какую мощность Р должна для этого развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мошностгь которую она может развивать, равна Р„а„,) Ответ. Р= — 1; (= Р (над)а М д! (л )а вакс. ТЕОРЕМА КЕНИГА 2. Вывести формулу (2!.6), валяющуюся релятивистским обобщением формулы Циолковского для движения ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой струи направлены вдоль одной прямой. Р е ш е н н е. Решение основано на релятивистских законах импульса и энергии (релятивистской массы).
Они нами были сформулированы. Кроме того, требуется знать релятивистский закон сложения скоростей, который нами не фор. мулировался. Читатель, желающий разобрать решение, приводимое ниже, должен обратиться к руководствам по теории относительности или принять на веру формулу (22.22), приводимую ниже. Пусть ш и о — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени 1, а тт„и о„„, — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времеяи.
Так как газы, уже покинувшие ранету, не оказывают влияния на ее движеяие, то можно принять т„з, = О. Однако газы непрерывно образуются, так что йттзз ~ О. На основании закона сохранения импульса и энергии (релятивистской массы) (22.20) (22.21) Дифференцируя уравнение (22.20) с учетом (22.21) и полагая в окончательном результате глтзз = О, получим гл пз т)о + (о — о„,з) о = О.
Г оз )/1 ~/ 1- —, сз сз По релятивистскому закону сложения скоростей "отн Отзз= " 'ота 1 —— сз (22.22) где о„„ — скорость газовой струи относительно ракеты. Исключая о 3 после несложных преобразований находим' Оотн от — сз с' ш Предполагая скорость о „постоянной и интегрируя, получим с ~% ~ 1+!) ~ отн (22.23) $23. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета. Теорема Кенига Как ясно из формулы (22.8), кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается его движение.
Можно поставить вопрос, как преобразуется кинетическая энергия при переходе от одной системы отсчета к другой. ьхьотк и энььгия 1гл. и Приведем решение этого вопроса в нерелятивистской механике. Сначала рассмотрим частный случай, когда тело состоит всего из одной материальной точки. Обозначим посредством К кинетическую энергию материальной точки в какой-либо системе отсчета 5, а через К' — в другой системе 5', движущейся относительно 5 поступательно со скоростью У.
(Скорость У может быть постоянной, но и может меняться во времени.) В нерелятивистской механике скорости о, е' и У связаны соотношением в = и' + У. Поэтому 2 2 +2 + или (23. 1) +2 +(Р где р' = те' — импульс материальной точки в системе 5'. Формула (23.1) справедлива и для произвольной системы материальных точек. Чтобы убедиться в этом, достаточно написать соотношение (23.1) для каждой материальной точки системы, а затем просуммировать по всем точкам. Тогда получится снова формула (23.1), в которой под р' надо понимать импульс всей системы материальных точек в системе отсчета 5', т. е.
р' = т,п( + тенг + ... Его можно представить в виде р' = тп,', где о,' — скорость центра масс системы материальных точек относительно 5', а т — ее суммарная масса. Таким образом, К = К'+ — тУь+ т (Уп') (23.2) Если центр массы покоится в системе 5', т. е. и,' = О, то К = К'+ — тУ'. (23.3) Это равенство выражает так называемую теорему Кенага: кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в ее относипмльном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.
$24. Консервативные и неконсервативные силы 1. Все силы, встречающиеся в макроскопической механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные. Прежде чем вводить эти понятии, рассмотрим некоторые примеры. Вычислим сначала работу силы тяжести, которую она совершает при переходе материальной точки из положения 1 в положение 2 4 гм КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ 431 вдоль прямолинейного отрезка 42 (рис. 38). Примеролг может служить скольжение без трения материальной точки по гладкой наклонной плоскости. Очевидно, эта работа равна А.г = тдз соз а, или Агг = пЧ (ггг пг) = тйггг ткпг (24. 1) где йг и Ьг — высоты, на которых находилась материальная точка в начале и конце пути, отсчитанные от какого-либо произвольного уровня, например от земной поверхности илп от уровня моря.
Формула (24.1) остается справедливой и при перемещении вдоль л Рис. 38. Рис. 39. произвольной кривой, например по пути И2 (рис. 39). Это станет очевидным, если разбить весь путь И2 горизонтальными плоскостями на малые участки, каждый из которых может быть принят за прямолинейный. Применив к каждому участку формулу (24.1) и сложив полученные работы, мы придем к прежнему результату (24.1). Если вместо пути И2 взять любой другой путь 142 между теми же начальным и конечным положениями 1 и 2, то работа силы тяжести не изменится, так как она определяется только разностью высот йг — й„которая от формы пути не зависит.
Таким образом, работа силы тяжести не зависит от 4ормы пути, а определяется только начальным и конечным положениями перемещающейся точки. 2. В качестве второго примера рассмотрим работу прн перемещении материальной точки в поле центральных сил. Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или От одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил или силовым центром.
Примером может служить сила гравитационного притяжения, с которой Солнце действует на планету, или сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. По определению элементарной работы 41А = г" дз соз (г, иэ). Величина де соз (г, дэ) есть проекция элементарного перемещения йэ на направление силы, илн, что то же самое, на направление радиуса-вектора г (если за положительное направление силы принять направление от силового 1з2 ~гл.
Нт РАБОТА И ЭНЕРГИЯ центра 0). Следовательно, йэ соз (Р, йз) = йт, где йг — элементарное приращение длины г, т. е. расстояние материальной точки от силового центра (рис. 40). Таким образом, йА =-- Р (Г) йг, причем по предположению величина силы Р зависит только от расстояния Г. ПоэтомУ Работа Ать выРазитсЯ опРеделенным интегРалом А„=~ Р(Г) йг, (24.2) значение которого зависит только от расстояний Г, и Г, точек 1 и 2 до сипово~о центра О, но не зависит от формы пути, по ноторому материальная точка перешла из начального положения 1 в конечное положение 2.
В формулу (24.2) путь перехода вообще не входит, в нее входят только расстояния до силового центра. в'з 3. Допустим, что в силовом центре помещено физическое тело (материальная г+вг г г точка), взаимодействующее с рассматриваемой материальной точкой (которая с тем же основанием может быть принята за силовой центр). При взаимодействии перемещается нак материальная точка, так и гт силовой центр. Прк выводе формулы (24,2) перемещение силового центра не принималось во внимание.
Однако справедлий вость самой формулы не связана с этим ограничением. Работа А„зависит только от относительного перемещения материальных точек, но не может зависеть оьп абсолютных перемещений каждой из точек в отдельности. В этол можно убедиться простым вычислением. Пусть взаимодействуют две материальные точки 1 и 2, причем силы взаимодействия Р, и Р, подчиняются третьему закону Ньютона. Обозначим посредством гт и г, радиусы-векторы этих точек, проведенные из какого-либо неподвижного начала. Тогда для элементарной работы можно написать йА = Ртйг, + Р,йгы По третьему закону Ньютона Р, = = — Р„а потому йА = Р, (йг., — йг,) = Р,й (г,— г,).
Но г, — гт есть радиус-вектор точки 2 относительно точки 1, Обозначим его гиь Тогда йА = Р, йгпе (24.3) Значит, при вычислении элементарной, а с ней и полной работы точка 1 может считаться неподвижной, а точка 2 — перемещающейся относительно нее. Можно было бы, конечно, считать неподвижной точку 2, а точку 1 движущейся, Результат получился бы э ы] КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ !33 тот же самый.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
