1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета. Пусть т (1) — масса ракеты в произвольный момент времени 1, а и (1) — ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет то. Спустя время 1(1 масса и скорость ракеты получат приращения йп и Г(е (величина пт отрицательна!).
Количество движения ракеты станет равным (т + йп) (и+ дп). Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время й. Оно равно йи„„е„„, где 11т„,, — масса газов, образовавшихся за время Г)(, а в,.„— нх скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент 1+ Г(1 количество движения системы в момент 1, найдем приращение этой величины за время пд Согласно известной теореме это приращение равно Р111, где Р— геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету, Таким образом, (т + йт) (и + Г(п) + йл„,п,.„— то = Р Ж ЛВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ Время й(, а с ним и приращения йт и йт! мы должны устремить к ет нулю — нас интересуют предельные отношения, или производные — „ еэ и --.
Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение йп! йп, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, йт + йт„„= О. Пользуясь этим, можно исключить массу газов йт„„. Наконец, разность т1„н = и„, — т! есть скорость истечения газов относительно ракеты. Мы будем называть ее скоростью газовой струи.
С учетом этих замечаний предыдущее соотношение легко преобразуется к виду (21.1) т йт! =т!„и йт+ ГЖ. Отсюда делением на й( получаем еь вы Е! т'отн а! + ~' (21.2) т йт! = Е1„н йт. Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи в„н. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора и „ на это направление будет отрицательной и равной — о„„. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так: тйо = — о„„йт, причем в соответствии с принятыми обозначениями величина о„, существенно положительна. Следовательно, "отн (21.3) Скорость газовой струи о„н может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна.
Предположение о постоянстве о„„очевидно, не По форме уравнение (21.2) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела т здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе )а' ет добавляется дополнительный член п„н — „, который может быть атн и истолкован как реактивная сила, т. е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (21.2) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским (1889 — 1935). Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (21.1), называется уравнением Меи1ерского или уравнением движения пвчки с переменной массой.
3. Применим уравнение (21.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая ет= О, получим !!а следствия и пеимвнвния законов ньютона 1гл. гп затрагивает основные черты явления, но сильно облегчает решение уравнения (21.3). В этом случае г с!т о = — о„, 1 --- = — о н 1п т+ С. Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями.
Допустим, что в начальный момент времени скорость Ракеты Равна нУлю, а ее масса Равна 1нн. Тогда пРедыдУщее УРавнение дает О = — о„н )п то + С, откуда С = о„н1п л22. Следовательно, ттта оотн 1п тл (21.4) или о 111а — г атн ти (2 1.5) Последнее соотношение называется формулой Циолковского (1857— 1935). Она получена нами для нерелятивистских движений, т. е.
для тех случаев, когда обе скорости о и о,тн малы по сравнению со скоростью света в вакууме с. Но ее можно обобщить на случай РЕЛЯтИВИСтСКИХ ДВИжЕНИй. ЕСЛИ тн И Л1 ОЗНаЧаЮт МаССЫ ПОКОЯ ракеты в соответствующие моменты времени, то без вычислений ясно, что формула (21.5) дает заниженное значение для отношения то/Л2. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, рЕЛятИВИСтСКая МаССа ВОЗраСтаЕт СО СКОРО- стью. Ввиду этого при одном и том же расходе топлива «релятивистская» ракета достигнет меньшей скорости, чем получается по нерелятивистской формуле (21.5). Релятивистская формула имеет вид с тно (1+8 1 отн (21.6) т 11 — !1) — = 1+2р 1+о 1 — (! и, следовательно, с о 1 о (] +2!))2о отн — (! + 2()) а атн. нт Так как величина 2(1 мала, то (1+2)1)111261~ !1ш (! + 2р)1/(2а1= р.
а-о (см. задачу 2 к 3 22). Здесь (! == †. При р ~~ 1 и — "™ ~~н 1 формула (21.6) переходит в формулу Циолковского. Действительно, в этом случае дВиЖениЕ тел с пеРеменнОЙ мАссОЙ 117 В результате в предельном случае медленных движений получаем Юо ого — и ' отн тп т т. е. формулу Циолковского. 4. Формула Циолковского позноляет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной снорости о. В табл. ! приведены отношения начальной массы ракеты отч к ее конечной массе гл при различных значениях отношения о/о, „.
Вычисления выполнены с помощью нерелятивистской формулы (21.5). Таблица 1 ю /т ( о/ь юь/ю т/"отв ь,'. ~ юа/т юч/ю 2,72 7,39 20,1 54,6 7 148 , '8 1100 2980 8!00 10 11 12 22000 59900 163000 403 ! 9 Допустим, например, что ракете надо сообщить первую космическую скорость, т. е. такую скорость, чтобы она начала двигаться вокруг Земли по окружности. Зта скорость приблизительно равна о = 8 км/с. При скорости газовой струи оша = 1 кмlс должно быть то/ш = 2980. Практически вся масса ракеты приходится на топливо. Прн о„т, = 2 км/с получилось бы шч/т = 54,6, при о„„= = 4 км/с пь/гл = 7,39 и т.
д. Отсюда видно, что относительная полезная масса ракеты очень быстро увеличивается с увеличением скорости газовой струи о „. Газы, выходящие из ракеты, должны иметь возможно меньший молекулярный вес и быть нагреты до возможно более высокой температуры. Действительно, в молекулярной физике будет показано, тто скорость газовой струи о„и пропорциональна РгТ/и, где Т вЂ” абсолютная температура газа, а и — егомолекулярный вес.
В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи порядка одного или нескольких километров в секунду. Вероятно, она не превосходит 4 кмlс. Имея это в виду, оценим перспективы межпланетных и межзнездных полетов ракет на химическом топливе. Минимальчая скорость, которую необходимо сообщить ракете относительно Земли, чтобы она вышла ча пределы действия почя земного тяготения, называется вюорой космичесмой скоростью и составлиет !1,2 км/с. Практически такую скорость необходимо сообщить ракете, например, при отправке ее на Луну.
Скорость ракеты, которую она должна приобрести относительно Земли, чтобы навсегда покинуть пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоросгпью. Третья космическая скорость зависит ат направления начальной скорости ракеты. Минимальное ее значение соответствует запуску ракеты по касательной к земной орбите в направлении орбитального вращения Земли. Зта скорость состанляет около 16,7 км/с (см, $61). Скорости такого порядка необходимы при межпланетных путешествиях. Допустим, что о „„= — 4 км/с. Тогда для достижения второй космической скорости отношение ть/и должно составлять гло/т = е"'/.
=!7, а для достижения третьей ть/т = = е"Ы. = 64. Оба отношейия не очень велики. Однако надо принять во внимание, что ракета должна иметь запас топлива для обратного возвращения на Землю, а также для ее торможения при посадке и для коррекции траектории. Поэтому отношение гл /гл (гл — масса ракеты, вернувшейся обратно на Землю) должно быть значительно больше. Допустим, например, что поле тяготения и размеры второй планеты такие же, как у Земли. Тогда при путешествии в прямом направ- 118 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА (ГЛ. П1 Т а блица 2 т /пй и В=в с ло формуле (2(.6) по формуле (2 (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
