1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 28
Текст из файла (страница 28)
— общая масса всей системы. Эту точку мы обычно будем обозначать буквой С. Если продифференцировать выражение (19.1) по времени и умножить на т, то получится тгт =тТ!»Т+ т,г,+..., или т'»г= т»т)Т+т»т)»+..., где г' = л« вЂ” скорость центра масс системы. Таким образом, р=тК (19.2) Подставив это выражение в формулу (18.1), получим )и!») Л' л! (19.3) Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная и;очка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действрюшая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действ[)ю[цих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центра масс.
Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было. Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, т.
е. с точкой приложения параллельных сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов «центр масс» н «центр инерции» употребляют также термин «центр тяжести». Однако в теореме о движении центра масс термином «центр тяжести» лучше не пользоваться, так как к этой теореме тяжесть не имеет прямого отношения. Термин «центр тя- теорвмл о движвнин центра масс 4 !91 жести» распространен в курсах теоретической механики, особенно старых. В физике этот термин вышел из употребления. Если система замкнута, то го!9) =-- О.
В этом случае уравне- Л' ние (19.3) переходит в — -=О, из которого следует 4г =- сопя(. й) = Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно. Эта теорема верна и в релятивистской механике (см. задачу 5 к этому параграфу). ЗАДАЧ И 1. На дне маленькой ззпаянной пробирки, подвешевной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки 1.
Нить пережнгают, и за время падения муха перелетает со дна в самый верхний конец пробирки. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стот. /! Ответ. 1 = 1»7 Я 2. Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины, как указано на рис. 33, равномерно вращается с угловой скоростью ы. Нить составляет угол а с осью.
Найти расстояние от центра кольца до оси вращения. Ответ. х=д Д Я ыа 3. Однородный стержень длины ! равномерно вращается вокруг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходя- Р 33 щей через его центр. Какова должна быть угловая скорость ис. вращения ы, при которой стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений, возникающих в нем при вращении» Максимальная сила натяжения, отнесенная к единице площади поперечного сечения стержня, равна Т. Объемная плотность материала стержня равна р (см.
также й 73, задача 4). О т в е т. Р1»ыз < 3Т. 4. На прямоугольный трехгранный клин АВС массы М, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальное плоскости, положен подобный же, но меньший клин ВЕР массы гп (рис. 34). Определить, на какое расстояние х сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое положение, что точка Р совместится с С. Длины катетов АС и ВЕ равны соответственно а и Ь.
т О т в е т. х = — (а — Ь). й(+ т б. Если система состоит из частиц, движущихся с релятивистскими скоростями, то радиус-вектор ее центра масс определяется теми же формулами, что и в нерелятивистской механике, т. е. Рис. 34. я= ~з~ т!г!/~з~ пп. Однако под т; следует понимать релятивистские »~асом частиц, Следует учитывать также и массы полей, посредством которых осуществляется взаимодействие между частицами.
Во время взаимодействия одни частицы могут исчезать, другие — появляться, Положение так определенного !!2 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА [ГЛ Н! центра масс меняется ири переходе от одной системы отсчета и другой, движущейся относительно нее. Если частицы точвчныв и взаимодействуют только в моменты столкновений, то вся масса будет сосредоточена только в частицах, а нс в полях.
похавать прямым дифференцированием, что в этом случае скорость центра масс изолированной системы не меняется во времени и определяется формулой 7!'=- ~ т,гт! ~тч —.- р/~~ тп где р — импульс системы, а суммирование, хах и в предыдущем выражении, производится по всем частицам, входящим в нее. Например, если равномерно движущееся радиоактивное ядро распадается на лету, то центр масс образовавшихся осколков будет продолжать в точности такое хее равномерное движение, т, е. движение с прежней постоянной скоростью и в прежнем направлении. й 20.
Приведенная масса 1. Рассиотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами 1п, и из (рис. 35). Уравнения движения этих точек г можно записать в виде т! л17 йзс! Р, йзз'з Рз — — — — (20.1) йМ тз' йм т,' причем по третьему закону Ньютона гз == — гз.
Вычитая из одного уравнения другое, находим и ря р! ! ! —.,(га — 7;) = — ' — — '=воз( — -!- — 1, йгз "' х тв т, г! т, туЦ и Рис. 35 Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность г = — г, — г, есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй. Ои однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозна- чение ! 1 1 т,т, — = — -+ —, или и т! т,' тт+тз (20.2) Тогда предыдущее уравнение перейдет в йзг р без = в з.
(20.3) Это уравнение формально аналогично второму закону Ньютона. Роль силы и~рвет сила г,, действующая на вторую материальную точку, а роль массы — вспомогательная величина )х, называемая приведенной массой. Разумеется, одно уравнение (20.3) не может быть эквивалентно двум исходным уравнениям (20.!), Однако такая эквивалентность пз ПРИВЕДЕННАЯ МАССА 2 20] может быть достигнута, если к уравнению (20.3) присоединить уравнение, выражающее теорему' о движении центра масс системы.
Последняя в рассматриваемом случае сводится к утверждению, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно. Тем самым задача о движении двух материальных точек распадается на две независимые задачи: 1) определение равномерного движения центра масс; 2) определение относительного движения одной материальной точки относительно другой. Вторая задача формально сводится к задаче о движении одной материальной точки с массой р в силовом поле другой точки. Этим и оправдывается введение понятия приведенной массы. Никакого глубокого физического смысла приведенная масса не имеет.
На нее надо смотреть только как на целесообразное обозначение. 2. Рассмотрим пример, поясняющий пользу введения понятия приведенной массы. Пусть планета обращается вокруг Солнца па окружности радиуса г. Дейст. , Мпг вующая на нее сила по зенону всемирного тяготения равна Т= 6 —,, где М— г'"' масса Солнца, т — масса планеты, 6 — гравитационная постоянная, Тан наи Мт г ,Мт сила направлена н Солнцу, то в векторной 4юрме Р= — 6 —, — = — Π— г. га г гэ Вводя приведенную массу, запишем ураннеиие движения планеты относительно Солнца: Мт ..
Мт рг'= — — Д = — Р= — 6 — г. М+т Отсюда М+т г= — 6 г га Тан нан вращение няанеты но орбите равномерное, то г= — ытг, а потому 2п]2 =~ — '1=6 где ы — угловая скорость, а Т вЂ” период обращения планеты. Если масса планеты пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца, го для угловой скорости ич и периода обращения Т, получвем !2п т2 М *'=]]Т-) ='-. Если бы масса планеты была равна массе Солнца ]двойная звезда), то для угловой скорости ыа и периода обращения мы получили бы При одном и том же расстоянии г ( — 2) = ( — г) = 2. ' Период обращения ао взором случае меньше, чем в первом, в У2 раа.
114 СЛВДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА [ГЛ. 1П й 21. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение 1. Термин «переменная масса» употребляется в этом параграфе в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет.
Напротив, в настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересы- щенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива. В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой.
Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с ракетной техникой. 2. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
