1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Б) 1 0690. 10ш 1,0686 10»о 0,001 1,942 1О'зо 7,64 ° 10»*оз 1,62 1Оз"1 1 963, !Узо 1 79. 10»зоо 5,37 10мзт 0,01 0,1 0,25 1 3 2,84 1Оеро 8,81 ° 10емз Допустим, что скорость космического корабля а должна составлять четверть скорости света (5 = 0,25). Тогда должно быть то!лг 5. 1У»з'. На каждую тонну полезного груза должно приходиться 5 1Оззм тонн топлива! Если полезная масса т =- 20 т =- 2 10' г, то стартовая масса корабля должна быть т, 1О'з" т ==- = — 10мзо г! Обычно, когда имеют дело с очень большими величинами, нх называют <астранамичгслими». В данном случае такое сравнение не годится — речь идет о величинах несравненно большего масштаба. Для сравнения приведем массы некоторых частиц и астрономических объектов: Масса электрона 9,11 ° !О о' г Масса протона 1,67 !О зо г Масса Земли 5,98 10»т г Масса Солнца 199 1Узг Масса Галактики 3 104< г Масса Метагалактики 10'о г.
Под Метагалалтикай понимают ту часть Вселенной, которал доступна исследованиям с помощью современных наиболее мощных телескопов. Масса Метагалактики превосходит массу электрона примерно в 1У» раза. Масса нашего фантастического корабля с топливам должна превосходить массу Метагалактики в !Уем раз! Эти цифры превосходят всякое воображение. В масштабах нашего космического корабля Метагалактика выглядит несравненно более малым объектом, чем электрон в масштабах Метагалактики. лелин в нашем примере должно быть то)гл' — 60 (т' — масса ракеты, достигшей второй планеты). При обратном путешествии т'!т 60, так что то)т 3600.
Таким образом, для осуществления межпланетных полетов запас топлива должен превышать массу космического корабля по меньшей мере в несколько тысяч раз. Технические трудности очень велики, но, по-видимому, все еще преодолимы. Подлямежзвездных полетов ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Возьмем, например, и„,„= 10 км/с, что для ракет на химическом топливе, по-видимому, завышает пределы возможного. (Если допустить, что газовая струя состоит из наиболее легкого вещества — атомарного водопада, то для достижения таких скоростей потребуются температуры порядка 5000 С).
)засстояния до звезд измеряются световыми годами — от ближайшей звезды свет идет до Земли около 4 лег. Поэтому для достижения даже ближайших эвезд нужны космические корабли, скорости которых близки к скорости света с. В табл. 2 приведены значения отношения тоут при различных значениях )), вычисленные по релятивистской формуле (21.6) и по формуле Циолковского (21.5) в предположении, что а„„=- 1О км!с. Таблица, между прочим, наглядно показывает, когда существенны релятивистские эффекты и формула Циолковского не применима.
119 дВижеНие тел с пепемеиной мАссОЙ ! 2!1 Вряд ли имеет смысл говорить о движении столь фантастически гигантского космического корабля относительно Метагалактики, имевшей посравиеннюс ним ни пожные размеры. Вводить в рассмотрение объекты таких размеров и применять к ним обычные законы физики является недопустимой экстраполяцией. Наш пример доказывает только, что для межзвездных полетов ракеты на химическом топливе абсолютно непригодны. Было бы неосторожным на основании изложенного сделать вывод, что звездные миры никогда не будут доступны земным космонавтам.
Только отдаленное будущее покажет, возможно это нли нет. Не собираясь входить в обсуждение этой фактастической проблемы, ограничимся сяедующимн замечаниями. Для превращения ракеты в заездамт пренгде всего необходимо повысить скорость струв о„я, приблизив ее к скорости света. Идеальным был бы случай о„,„= с. Так бйлио бы в фотонной ракегпе, в которой роль газовой струи должен играть световой пучок, излучаемый двигателем корабля в определенном направлении. Реактивная сила в фотонной ракете осуществлялась бы давлением света, оказываемым на корабль при излучении светового пучка. Превращение вещества в излучение постоянно происходит внутри звезд.
Этот процесс осуществляется и на Земле и притом не только в лабораторных условиях, а в более крупном масштабе (взрывы атомных и водородных бомб). Возможно ли придать ему управляемый характер и использовать в фотонных ракетах — на этот вопрос отвечать преждевременно.
ЗАДАЧИ !. Для лучшего уяснения закономерностей движения ракеты полезно рассмотреть мысленный случай, когда ракета выбрасывает вещество не непрерывно, а конечными дискретными порциями одной и той же массы Лт. Пусть при каждом выбрасывании порция вещества Лш получает одну н ту же сиорость оо„относительно ракеты, направленную назад. Определить скорость ракеты о,, которую она достигнет после гУ выбрасываний, если начальная масса ракеты равна и .
Показать, что в предельном случае, когда Лш -+ О, гУ -+ оо, но произведение УЛт остается постоянным, выражение для о переходит в формуяу Циолковского. Ограничиться нерелятивистскими скоростями. Р е ш е н и е, Пусть о„о„... — скорости ракеты после 1-го, 2-го, ... выбрасываний, По закону сохраненная импульса (щ, — Лт) о, + Лгл гв = О, где щ— скорость выброшенной массы Лт после первого выбрасывания.
Очевидно о„„= = ог — ш. Исключая ш, получим пг = оотн. Лгп (2!.7) шо Найдем теперь оз В системе отсчета, движущейся со скоростью о,, ракета перед вторым выбрасыванием неподвижна, а после второго выбрасывания приобретает скорость ьз — о,. Поэтому можно воспользоваться формулой (21.7), сделав в ней замену то -+ то — Лт, од -+оз — од. Это дает Лт оз — ог = оогя ше Ллг Комбинируя это соотношение с (21.7), находим о,.
Продолжая этот процесс дальше, нетрудно получить 1 Лгл Лт Лгл А' ~ щ + ш Ллг +"'+ ~~ (у 1)Лог~поти. В пределе, когда Лт -+О, Ф -+еа, те — (М вЂ” 1) Лт -+и, сумма, стоящая в квадратных скобках, переходит в интеграл, и мы получаем (' дт' о=о ти ) о 120 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА [ГЛ. Н1 где т — конечная масса ракеты. После взятия интеграла получается формула Циолковского (21.5). 2. Найти связь между массой ракеты т ((), достигнутой ею скоростью о (1) н временем 1, если ракета движется вертикально вверх в поле земной тяжести. Скорость газовой струи относительно ракеты о,„считать постоянной. Сопротив.
ление воздуха и изменение ускорения силы тяжести я с высотой не учитывать. Какую массу газов р (1) должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвижной в поле тяжести. Р е ш е н н е. Уравнение движения ранеты г(о бш "отн шк с(( г(1 перепишем в форме б 1(ш т — (о+2() = — о б( .= от» э( нлн '1(О+Ег) 1отн лш т Зто уравнение имеет такой же вид, что и (21.3), если за неизвестное принять величину о+ йг. Поэтому можно воспользоваться формулой (21.5), заменив в ней о на о + ЕГ.
Это дает э-Ькг гно э 1'гэ — =е 'отн о=о„„1п — — — яй Й» Величина р, очевндко, равна — †, Она находится нз условия, что для неноб( ' до лвижиой ракеты — -=О, и равна ьГУ = 1(т гл,й р= — — = — е отв "отн 3. Космический корабль движется с постоянной по величине скоростью о. 1)ля изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью о„,„относнтельно корабля в направлении, псрпендику парном к его траектории.
Ойределить угол сг, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его т„а конечная и. Р е ш е н и е. Ускорение корабля по абсолютной величине равно юэг = ою, причем о = сопз1. Поэтому уравнение движения <~э бш = 11ота г(1 ~11 переходит в шоэх(1=- — э „лги, Замечая, что ба= ак(( есть угол поворота за время г(1, и интегрируя, получим и= — !ив поти шэ о т ' 4. Космический корабль, движущийся в пространстве, свободном от пола тяготения, должен изменить направление своего движения на противоположное, сохранив скорость по величине. Для этого предлагаются два способа: 2 по 1 сначала затормозить корабль, а затем разогнать его до прежней скорости; вернуть, заставив норабль двигаться по дуге окружности, сообщая ему 121 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ $2В ускорение в поперечном направлении.
В каком из этих двух способов потребуется меньшая затрата топлива? Скорость истечения газов относительно корабля считать постоянной и одинаковой в обоих случаях. О т в е т. Первый способ требует меньшей затраты топлива. 5. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т. е. отношение кинетической энергии К, приобретенной ракетой, к количеству тепла (), выделившемуся при сгорании топлива.' Скоростзч достигнутая ракетой, о = 9 км/с.
Теплота сгорания топлива 4 = 4000 ккал/кг, скорость выбрасываемых продук. тов сгорания относительно ракеты и = 3 км/с. К оз Ответ. — =, =!39ю Я 2, (ео/и !) о 0. В ракете продукты сгорания (газы] выбрасываются со скоростью и = = 3 км/с (относительно ракеты). Найти отношение ее кинетической энергии Крз« к кинетической энергии продуктов сгорания Ксю в момент достижения ранетэй скорости о«оо = 12 км/с.
Р е ш е н и е. Приращение скорости ракеты и связано с изменением ее массы т соотношением из(п =- вотч з(т. Переходя к скалярной форме и новым обозначениям, запишем его в виде т з(о =- — и //т, причем з/т = — з(пзгзз, где т„„— масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов 1 „лзогаз з(К = — — г/тоз = — г(о. гзз 2 гзз Подставив сюда о„„= о — и и воспользовавшись формулой Циолковского (21,5), получим "Кгзз = — (и — о)з е /" ТЬ, или после интегрирования тоиз Кгаз (1 — е з — хзе з), газ где для краткости введено обозначение х —. о, „/и. Кинетическая энергия ра.
кеты К = '/ то' = '/ т изхее-", рз« з «он з О В результате находим Крз« Ктзз е' — (1+к«) ' При к = 4 т! = 45%. 7. С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При каком отношении масс пеРвой (т,) и втоРой (тз) стУпеней скоРость контейнеРа с полезным грузом (массы т) получится максимальнойз Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна и одинакова.
Отношения массы топлива к массе ступени равны соответственно из и аз для первой и второй ступеней. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов. Р е ш е н и е. От действия силы тяжести 3!уны можно отвлечься. Сила тяжести уменьшает кинетическую энергию системы, но не влияет на условие максимума. Примем за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда (21.8) т, + тз+ т = 1. После выгорання топлива в первой ступени масса системы уменьшится на изтз. 122 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЪСОТОНА (ГЛ. И! ееып = (1 — ас) и!+те+и' Масса (1 — сс,) и, отделяется, и включаетси двигатель второй ступени.
После выгорания топлива ио второй ступени скорость ракеты возрастает еще на величину оз, причем еын из+и (1 — з) +т ' В этом можно убедиться, если перейтн в систему отсчета, в которой ракета в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим логарифмированием, Исключая еще при этом массу т с помощью соотношения (21.8), получим — =1п (1 — т,) — 1п (1 — а,т,) — 1п [(1-сс,) (1 — т,) + йзт[. н Здесь т и и играют роль постоянных параметров, а тс — аргумента, от которого зависит скорость о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
