1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 137 Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому- либо пути 12 (рис. 43, б). Работу Аиь совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии (11 и (12 в состояниях 1 и 2. С этой целью вообразим, что переход осуществлен через нулевое положение О, т. е.
по пути 102. Так как силы консервативны, то А,2 = А,о, = А,о + + Ао, — — А,о — А,о. По определению потенциальной энергии (11 = А,О + С, (1, = А,о + С, где С вЂ” одна и та же аддитивная постоянная. Таким образом, А 12 = (11 — (1„ (25.1) т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы. 2. Та же работа Апи как было показано, может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9). Приравнивая выражения (22.9) и (25.1), получим К, — К, = = (11 — (1„откуда К1+ ( 1 К2+ (~2 Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией Е.
Таким образом, Е, =- Е„или Е = К+ (1 = сопз(. (25.2) В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике. 3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простеяших случаях. а) Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести.
Если материальная точка, находящаяся на высоте Ь, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого Ь =- 0), то сила тяжести совершит работу А = тдй. Поэтому на высоте Ь материальная точка обладает потенциальной энергией (1 = туп+ С. За нулевой люжно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулевом уровне.
Полагая ее равной нулю, получим (1 = тд)2. (25.3) б) Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией.
Обозначим через х растяжение РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1гл. ш пружины, т. е. разность х = 1 — 1, длин пружины в деформированном и иедеформированном состояниях. Упругая сила г" зависит только от растяжения. Если растяжение х не очень велико, то она пропорциональна ему: г' = ях (закон Гука, см. $ 11). При возвращении пружины из деформированного в недеформированпое состояние сила г совершает работу А =- ~ г Г(Х=Е ~ ХГ(Х= — ЕХ'. ! 2 Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то (у=--йх'.
! в) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению.их масс МлГ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Р=б —.. (25.5) где 6 — гравитационная постоянная.
Силы гравитационного притяжения, как силы центральные, являются консервативными. Лля пих имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например М, можно считать неподвижной, а другую — перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы и из бесконечности гравитационные силы совершают работу А= ~ б — „, Г(~=6 —, Мгл Мж г где г — расстояние между массами М и и в конечном состоянии. Эта работа равна убыли потенциальной энергии: А = 11 — (У (г). Обычно потенциальную энергию в бесконечности У принимают равной нулю. При таком соглашении и = — а ~ . (25.6) Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. й(аксимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними.
В этом положении потенциаль- потвнцихльнля энаогия $251 иая энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна. 4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил А„ при переходе системы из положения 1 в положение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии К, — К,. Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил А;.„'" и работы диссипативных сил Ах,',". Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: А",.;" = и, — и,. Поэтому А — и и +Алис Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим К,-К,=и,-и.+Ах;, или Е,— Е,=А~„"', (25.7) где Е = К + и — полная энергия системы.
Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия Е системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил Ах,"' отрицательна. Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. К первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии и, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим А„работу сил второй группы.
Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим Е,— Е,=Аць 5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия К по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что Е =» и. Згим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии Е. В область, где и ) Е, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии.
Примем эту линию за координатную ось Х. На оси Х величина и будет функцией только х: и =- и (х). Если Š— полная энергия частицы, то частица может находиться только в тех местах оси Х, где и (х) ~ Е. Допустим, что график функции и (х) имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонталь- 140 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. ГУ Ряс. 4В пую прямую У = Е„где ń— какая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» (<' = У (х) в трех точках А, В, С с координатами хл, хв, хс.
Сразу видно, что частица с полной энергией Е, не может находиться в областях 1 и Ш. Она может двигаться либо в области П, либо в области Ю. Переходить из области П в область Л~ или обратно частица не может. Этому препятствуег «потенциальный барьер» В)<)С на потенциальной кривой, Е У=с«В области П частица с полной энергией Е„будет совершать так называемое А, д Г У=с< финитное движение, т. е. движенйе, происходящее в ограниченной части Йространства. Она окажется 1 7 <»Г запертой в «потенциальной ХЛ ХА, ГВ Х« яме» АМВ и будет совершать колебания между крайними точками хл и хв, называемыми точками поворота.
Если же частица находится в области )'«' и движется налево, то она, достигнув точки хс, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется инфинитнгям. Пусть теперь частица обладает большей энергией Е, ) Е„и горизонтальная прямая (<' = Е, пересекает потенциальную кривую в единственной точке Р с абсциссой хо. Тогда для частицы окажется у доступной вся область про- странства правее точки хо, и 2» «'« '«движение в этой области бу- дет инфинитным.
— — -У=Е допустим что потенциаль- А д у ная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки М обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх. Пусть при х =-1- «о функция У (х) обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой.
Тогда можно утверждать, что движение частицы будет финшпным, если ее полная энергия отрицательна, и инфинитны.к, если она положительна. Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией У (х) полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциаль- 141 потенциальная энергия 4 251 — -~~) рг= ~> гг"+~~) ра, так как р —.
г", г = системы). Последнее энергия системы: 2К писать в виде и (суммированне ведется по всем материальным точкам слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая =Ври = Еглоз, и предыдущее соотношение можно пере- К= — — лт гг+ — лт --(рг). 2 л~ч Г11 л'З 2 (25.9) 1 Ъч Величина — . ~~гг называется вириалом сил, действующих в системе. 2 л'з Назовем средним ло времени значением функции )(1) на временнбм интервале (й 1+ Т) величину, определяемую выражением гэт Т (25.10) Если функция 1(1) периодична, то в качестве времени Т обычно берут ее период.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
