1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Дифференцируя по т, и приравнивая производную нулю, получим условие максимума 1 1 1 — + — + =О, т,— 1 8 — т, у — т (21.9) где введены обозначения Условие (21.9) приводит к квадратному уравнению относительно т,, решая которое, найдем и!=(-)'1+([)у — й-у) Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи О е т, < 1. С помощью (21.8) находим массу т,, а затем искомое отношение тз/т!. Возвращаясь при этом к прежним параметрам йс и й, пачучнм 1хс й,1 — й, "сз т йс ! — йт )с т. ас ! сс! ! — ~/.
т й,! — аз (21.10) Решение имеет смысл при выполнении условия аз! — а, — т < 1. й,1 — йа В реальных условиях, когда т(к 1, а параметры а и а отличаются не очень сильно, это условие соблюдается. Прн й, — — ас получается простая формула пт (21,11) Если при этом будет достигнута скорость о,, то по соотношению Циолковского ГЛАВА ГЧ РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 5 22.
Работа и кинетическая энергия 1. Работой силы Р на перемещении сЬ называется проекция Р, этой силы на направление перемещения, умноженная на величину самого перемещения: йА = Р, йз = Р йв соз и, (22. 1) йА = (Р аэ). (22.2) В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, иа каждом из которых сила Р может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (22.1) или (22.2).
Если сложить все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а число их — к бесконечности, то такой предел обозначается символом А = ~ (Р йв) (22.3) и называется криволинейным интегралом вектора Р вдоль траектории Е. Этот интеграл, по определению, и дает работу силы Р вдоль кривой )..
Если Р = Р, + Р„то проектируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения йа, получим Р, = = Еы + Р„, а после умножения на йв: Р,йз = Р„йв + Ре,дв, или йА =йА,+дАе. (22.4) где а — угол между векторами Р и сЬ (рис. 36). Поскольку перемещение ав предполагается бесконечно малым, величина йА называется также элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении. Если воспользоваться понятием скалярного произведения, то можно сказать, что элементарная работа дА есть скалярное произведение силы Р на перемещение йа: 124 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [Гл. [ч Таким образом, элементарнал работа резульпгирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил.
Оче- видно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: А = А,+А,. (22.5) Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж). Джоуль есть работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. В системе СГС единицей работы является эрг. Зре есть ь".
работа силы в одну дину на перемещении в один и сантиметр при том же условии, т. е. в предполо( женин, что направления силы и перемещения совпадают. Очевидно, 1 Дж=10' эрг. Работа, отнесенная к единице времени, т. е. величина (22.6) называется мощностью. Ее единицами являются эрг на секунду и джоуль на секунду, или ватт (Вт). Очевидно, 1 Вт= 10' эргг'с. а Р ис.
37. Подставив в формулу (22.3) Р= — „, дэ- е д[, придадим этой вр формуле вид А = ~ (е др). (22.7) 2. Чтобы вычислить интеграл, надо знать связь между скоростью материальной точки е и ее импульсом р. По определению импульса р = те, причем в нерелятивистской механике масса т не зависит от скорости, так что едр =- теде. Здесь вектор деозначает элементарное приращение вектора е, причем это приращение может и не совпадать по направлению с вектором е (рис, 37). Если мы условимся понимать под о длину вектора е, то очевидно о' = е'. Действительно, справа стоит скалярное произведение вектора е на самого себя, а оно равно квадрату длины вектора, как зто непосредственно следует из определения скалярного произведения.
Дифференцируя теперь обе части соотношения о' =- е', получим ода= =- = ег[е. Здесь доесть элементарное приращение длины вектора е. Его нельзя смешивать с длиной элементарного приращения вектора, т. е. с величиной ~ де1. Последняя величина по самому ее смыслу существенно положительна, в то время как приращение до может РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ быть как положительным, так и отрицательным. На рис. 37 бег =-- АВ, йо = АС. По определению скалярного произведения и йп =- = о АВ соз а = о АС = обо. Это дает другое доказательство соотношения и йтг = ьдо. Разумеется, такое соотношение справедливо не только для вектора п, но и для любого другого вектора.
Используя его в нашей задаче и вынося постоянный множитель т из-под знака интеграла, получим т тЛ ть' Агг=гп ~ Обо=в 2 2 где о, — начальная, а аь — конечная скорости чгзчки. Букву А мы снабдили индексами 1, 2, чтобы подчеркнуть, что речь идет о работе при перемещении материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 (см. рис. 36). Величина пю' рг К= —, (22.8) 2 2т называется кинетической энергией материальной точки. С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде А„=-К,— К,. (22.9) Таким образом, работа силы при перемещении материальной пючки равна приращению кинетической энергии этой точки.
Связь между работой и кинетической энергией, выражаемая этой теоремой, и оправдывает введение обоих этих понятий. 3. Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить. Напишем соотношение (22.9) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (22.9), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под А,, надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки системы.
Таким образом, работа всех сил, действующих на систему мапгериальных точек, равна приращению кинетической энергии эпгой система. Имеется существенное отличие этой теоремы от аналогичной, в которой говорится о связи между импульсом силы и изменением количества движения системы (2 18). Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют количества движения всей системы.
Приращение количества движения снстемьг определяешься только внешними силами. Не так обстоит дело в случае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. Представим себе, например, замкнутую 126 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ЬГЛ. ГЧ систему, состоящую из двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения )Р, и Г,.
Если точки придут в движение навстречу друг другу, то каждая из сил р, и р, совершит положительную работу. Будет положительной и работа обеих свл. Она пойдет на приращение кинетической энергии системы. Кинетическая энергия изменится под действием одних только внутренних сил. Следовательно, приращение кинетической энергии определяется рабопюй не только внешних, но и внутренних сил. 4. Доказанная теорема для материальной точки имеет место и в релятивистской механике.
Надо только изменить выражение для кинетической энергии. В релятивистской механике формула (22.7) также справедлива, однако при вычислении интеграла (22.7) надо учитывать зависимость массы от скорости. Масса определяетсяформулой Ио т= Р' 1 — ь'К' Подставив в эту формулу о = рlт и возведя в квадрат, получим р'-1- (т,с)' = (тс)'. (22. 1О) Дифференцированием этого соотношения находим р др = с'т с(Гп А так как рбр = — р йр и р = то, то эйр=с'йгп Таким образом, Ам=)'в0р= ~ с'с(т.
Отсюда А м = с' (т, — т,) = сь Лт, (22. 11) где т, и т, — массы материальной точки в начальном и конечном положениях. Таким образом, в релятивистской механике работа определяется. только приращением массы латериальной точки. Этот результат проще соответствующего результата нерелятивистской механики, Введем обозначение Е=тс' (22. 12) н назовем величину Е полной или релятивистской энергией частсщы (материальной точки). Тогда Ам-— -Е,— Ем (22.
13) 127 РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ $221 В частном случае, когда частица покоится, ее релятивистская энергия определяется выражением Ео = того (22. 14) и называется энергией покоя. Канетическая энергия есть часть релятивистской энергии, обусловленная движением частицы. Она представляется разностью,. К = Š— Ео = (т — то) со, (22. 15) или (22.16) Ясно, что работу А„можно вычислить также по формуле 112 К2 К1' (22.17) Если в формулу (22.10) ввести величины Е и Е„то получится Е' = Е„'+ (рс)' (22.! 8) Эта формула выражает в релятивистской механике связьмежду импульсом частицы и ее полной энергией.
Она справедлива не только для элементарных частиц, о структуре которых при современном уровне наших знаний ничего сказать нельзя, но н для составных частиц или систем, состоящих из нескольких частиц. Под т, и Е, следует понимать массу и полную энергию такой системы в системе отсчета, относительно которой она покоится. Формула (22.16) дает выражение для кинетической энергии в релятивистской механике. При медленных движениях она переходит в привычную формулу (22.8), Действительно, пользуясь формулой бинома Ньютона, можем написать 1 —— 22 Когда о21со (( 1, можно оборвать это разложение на втором члене.
Тогда формула (22.16) перейдет в формулу (22.8). 6. В атомной физике удобной единицей энергии является электронвольт (эВ). Это есть энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле при прохождении разности потенциалов В ОДИН ВОЛЬТ: 1 эВ= 1,602 10" эрг. Употребляется также килоэлектронвольт (кэВ), равный 1000 эВ. В ядерной физике, а также в ускорительной технике употребляются более крупные единицы: мегаэлектронвольт (МэВ), равный 10"ЭВ, 128 РАБОТА и энергия !Гл.
1ч н гигаэлектронвольт (ГэВ), составляющий 10' эВ. Недавно стала употребляться еще более крупная единица — тераэлектронвольт (1ТэВ = 10" эВ). Энергия покоя для электрона н протона соответственно равна: для электрона т„с' = 0,5!1 МэВ, для протона т,пса=938 МэВ. Если полная релятивистская энергия частицы Е велика по сравнению с ее энергией покоя Е, = т„с', то говорят о движении с дльтрарелятивистекими скоростями. Такие скорости получаются в ускорителях, они встречаются также в космических лучах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
