1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 27
Текст из файла (страница 27)
4. Шофер, едуший на внтомобнле по горкзонтазьиой площади в тумане, внезапно заметил недалеко впереди себя стену, перпендикулярную к напраале. нию движения. Что выгоднее: затормозить нли повернуть в сторону, чтобы пре. дотвратить аварию? О т в е т. Затормозить. 5. Автомобиль движется с постоянной скоростью вдоль извилистой горнзон. тальной дороги. Принимая дорогу за синусоиду, найти максимальную скорость, кото ую может развивать автомобиль, чтобы не было заноса.
Г е ш е н н е. Если автомобиль движется по крннолннейной траектории с постоянной по величине скоростью, то его ускорение а будет только нормальным. Это ускоренпе создается силой трения покоя между колесами автомобиля и полотном дороги: г,р — — та. Если скорость автомобиля превзойдет определенный пре. дел, то для удержания автомобиля на требуемой траектории, где крианзна ее нелнка, максимальной сялы трения 1«будет недостаточно (!э < та).
Автомобиль начнет скользить в направлении аормалн к траектория. Прн этом в соответствии с графиком рнс. 28 сила трения скольжения уменьшится, что приведет к дальнейшему боковому смещению автомобиля с траектории. В этом и состоит явление заноса. При движении по синусоиде нормальное ускорение максимально а ее вершинах, где кривизна кривой максимальна. Если у = у (х) — ураннение синусоиды, то н вершинах у' = О, и радиус кривизны в этик точках можно вычислить ! по формуле - = ~ у",'.
Имея нсе это в вцду и записав уравнение синусоиды в виде к у = А з(п 2п — (амплитуда А н пространственный период ! постоянны), нетрудно ! получнть услонне, прн котором заноса не будет: 106 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 1ГЛ. Н 7. Предполагая, что обе пружины на рис. 30 одинаковы, найти для тела А размеры области застоя. 0 т в е т. Центр основания тела А могкет находиться в равновесии в любой точке в пределах области — — схс+ —, РР РР 2й 2й ' где Р— вес тела, р — коэффициент трения, й — коэффициент упругости пружины (одной).
За начало координат принят центр области застоя. 8. Парашютист совершает затяжной прыжок. Считая массу парашютиста т равной 70 кг, найти установившиеся скорости его падения без парашюта и с раскрытым парашютом. Для человеческого тела при падении без парашюта коэффициент йэ по порядку величины равен 2 г!см. При раскрытом парашюте этот коэф. фициент возрастает примерно в 100 раз, т. е. составляет приблизительно 200 г!см. Р е ш е н и е. Установившаяся скорость падения найдется нз условия, чтобы вес человека Р = тл уранновешивался силой трения. Это дает лм' 1' 60 мУс без парашюта; йэ 'с 6 мгс с раскрытым парашютом.
ГЛАВА 111 НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА ф 18. Импульс силы и изменение количества движения 1. Как было показано в Э!2, производная ноличества движения р системы материальных точек по времени определяется уравнением ~Р Р(е> ш где Рэ> — геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему. Внутренние силы не входят в это уравнение из-за третьего закона Ньютона. В случае одной материальной точки уравнение (18.1) переходит в уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Допустим, что сила Ры> постоянна.
Тогда из уравнения (18.1) следует (18.2) р р Р>е>(1 1) где векторы р и р, означают количества движения системы в моменты времени г и 1, соответственно. Произведение постоянной силы Р>е> на время ее действия пазы. вается импульсам силы за то же время. Это понятие нельзя смешивать с ранее введенной величиной р = т>т>> + ... + т„т>„ которая называется импульсом системы материальных точек или импульсом тела. Недоразумений возникнуть не может, так как слово «импульс» отдельно нигде встречаться не будет. Оно будет входить в комбинации либо со словом «сила», либо со словом «тело» (или «материальная точка» и «система материальных точек»). Поэтому всякий раз будет ясно, о каком импульсе идет речь. Чтобы полностью застраховать себя от возможных недоразумений, величины р = т«> н р = т>«>, + ...
+ т„«>„ мы не будем называть импульсами во всех тех случаях, когда одновременно используется понятие импульса силы, а будем пользоваться для этих величин термином «количество движения». Впрочем, понятие импульса силы будет встречаться сравнительно редко. 2. Соотношение (18.2) означает, что приращение количества движения тела или системы тел равно импульсу геометрической суммы всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат получен нами в предположении, что сила Р>е> постоянна. Он может быть обобщен и на тот случай, когда эта сила меняется во времени. 108 следстВия и пРименения зАкОнОВ ньютонА 1гл.
и1 Разделим промежуток времени 1 — ге на более мелкие промежутки (11 — ге) (ге — 1!), ...,(à — 1„,) (рис. 31). Выберем эти промежутки НаетОЛЬКО МаЛЫМИ, ЧтОбЫ На КаждоМ ИЗ НИХ СИЛУ Рте! бЕЗ бОЛЬШОй ошибки можно было считать приблизительно постоянной. Соответствующие значения силы Р!'1 на таких промежутках обозначим Рт!е1, ..., Р!'1. Тогда на основании соотношения (18.2) можно написать приближенно Р! — Ро = Р1 (11 — го) 1е) Рг — Рг = Рг ((о — г1) Р— Р -! = Р (1 — г -1) где р,, р,,, Р„, — количества движения системы в моменты времени 11, 1о ..., 1„, соответственно.
Складывая эти равенства, получим р — р,=~',Р,' А1П где использовано стандартное обозначение А(! = 1! — 11,. Последнее равенство является приближенным и не совсем определенным, ~г!ег се-! еэ г! гг Рис. 31. поскольку значения внешней силы Р1е1.Рге1, ..., Р!е1 не фиксированы точно. Однако эта неопределенность устраняется и указанное равенство переходит в точное соотношение, если перейти к пределу, устремляя к нулю наибольший из промежутков времени Ы! при неизменной длине временного интервала 1 — 1,. В результате таного предельного перехода получится р — р,= 1пп 'У,'Р;"!го!!.
ы о ! Как известно, предел, стоящий в правой части этого равенства, НаЗЫВаЕтСя ОПрЕдЕЛЕННЫМ ИНтЕГраЛОМ фуНКцИИ .Ре>(1) В ПрЕдЕЛаХ от го до 1 и обозначается посредством ~ Р1е! (. ) 1 — 1 ° '~~,! Рсе) е ! ! А!1-О ! Аргумент функции Р1'1, по которому производится интегрирование, обозначен посредством т, чтобы не смешивать его с верхним пределом интеграла 1. Величина т называется переменной интегри- й 181 импульс силы и изменение кОличестВА движення 109 рования.
Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования. При заданной подынтегральной функции оно определяется только значениями пределов интегрирования 1, и д Таким образом, обобщением соотношения (!8.2) является фор- мула р р — ~ р'(е) (т) йт (18.3) и Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, называется импульсом силы )си) за время от 18 до й Следовательно, и в случае силы, меняющейся во времени, приращение количества движения системы материальных точек равно импульсу геометрической сулгмьг всех действующих на нее внешних сил.
Внутренние силы, как уже подчеркивалось выше, не влияют на изменение полного количества движения Тг системы, поскольку они всегда входят попарно и удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия. 3. Количество движения, приобретаемое телом, зависит, таким образом, не только от величины силы, но к от продолжительности ее действия. Иллюстрацией этого может служить следующий простой опыт. Тяжелая гиря (рис. 32) подвешена на нити, снизу к ней прикреплена такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю низзь то рвется верхняя нить. Причина ясна.
Так как гиря все время Т практически находится в покое, разность натяжений нити Т, — Т, г должна уравновешивать вес груза Р: Т, — Т, ==- Р. Отсюда следует Т, ) Те, Обозначим символом Т, максимальное натяжение, которое может выдержать нить, не разрываясь. Когда мы медленно Р с 3 ис. тином за нижнюю нить, ю в некоторый момент времени натяжение Т, достигает предельной величины Те. В этот момент натяжение нижней нити Т, еше меньше Т,.
Поэтому нижняя нить остается целой, а верхняя рвется. Однако, если быстро дернуть за нижнюю нить, то верхняя нить остается целой, а нижняя рвется. Дело в том, что для разрыва верхней нити ее цеобжм димо растянуть на определенную длину. А для этого надо привести в движение гирю. Чтобы сообщить гире необходимое смещение, требуется конечное время, даже когда на нее действует большая сила. Быстро дергая за нижнюю нить, мы пе успеваем сообщить гире достаточное смещение. В нижней нити возникает натяжение, превосходящее предельное Т„, в то время как верхняя нить еще не успеет растянуться, н ее натяжение практически остается неизменным.
Поэтому и рнется нижняя нить. Опишем второй опыт, иллюстрирующий влияние продолжительности действия силы. Из ватманской бумаги вырезаются два одинаковых нольца с наружным диаметром — 20 см и внутренним диаметром — 15 см. Кольца подвешиваются на двух горизонтальных металлических стержнях, зажатых в штативах.
В кольца вставляется четыпехугольная сосновая планка длиной ! м с поперечным сечением — 2 — 3 см . Расстояние между бумажными кольцами должно быть лишь немного меньше длины планки. Если плавно нажимать на середину планки, то одно из бумажных колец (или оба вместе) рвется, а планка остап)си целой. Нанесем теперь по середине планки резкий сильный удар тяжечой металлической палкой. Планка ломается, а кольца остаются целыми. Поразительным в этом опыте является не то, что ломается планка — она переломилась бы и при отсутствии колец, а то, что остаются целыми бумажные кольца.
[ш оледстВия и пРименения ЗАконОВ ньютОнА [Гл. и! 9 19. Теорема о движении центра масс В нерелятивистской механике, ввиду независимости массы от скорости, количество движения системы р = т»т)! + т»п» + ... может быть выражено через скорость ее центра масс. Центром масс или централ! инерции систел«ы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор 1«которой выражается через радиусы- векторы г„)"„... материальных точек по формуле т»г» + л!»г«+ ° ° . (19.1) )я ! где т = т, + т, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
