1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Получается довольно разнообразный и запутанный класс движений. Заслуга Ньютона, между прочим, и состоит в том, что он подметил, что вся эта сложность исчезает, а все многообразие движений может быть описано единой формулой, не содержащей никаких произвольных постоянных, если от положений н скоростей материальной точки перейти к ее ускорению. 3. Полученные результаты допускают обобщение. Допустим, что имеется система Аг материальных точек, взаимодействующих между собой и с внешними телами, положение которых предполагается заданным в любой момент времени. Записав математически второй закон Ньютона для каждой материальной точки, мы получим систему А! векторных или ЗА' эквивалентных им числовых дифференциальных уравнений второго порядка.
Можно показать, что для однозначного решения этих уравнений надо задать 2М векторных или 6Л' числовых величин, определяющих начальные значения координат и скоростей материальных точек системы. ЗАДАЧА Тело брошено вверх под углом и к горизонту с начальной скоростью яе. Исследовать его движение, пренебрегая сопротивлением воздуха. Найти уравнение траектории, дальность полета и максимальную высоту подъема, считая земную поверхность горизонтальной. При каком угле а дальность полета максимальна? Р е ш е н и е. Точку земной поверхности, откуда брошено тело, примем за начало координат (ге = О).
тогда, как видно из (!4л), движение будет пронсхоЛить в веРтикальной плоскости, в котоРой лежат вектоРы Аг и ое. ПРимем ее за координатную плоскость ХУ, направив ось Х горизонтально в сторону движения, ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ $ !в! а ось У вЂ” вертикально вверх. Запишем уравнение (!4.4) в проекциях иа ксюрдннатные оси, учтя при этом, что са, = па сова, оая — — ока!па: о„= о, соа а, о, = оа яп са — яд ! «=па!сова, у=па!ила — - л!а. 2 Исключая иэ последних двух уравнений время т, найдем уравнение траектории йха у=х !да†2о', сока а ' Эю уравнение параболы.
Отсюда находим дальность полета оа х а э!п 2сг 0 и мансимальную высоту поднятия оа кп! имама = Максимальная дальность достигается при а = 45' н равна а оа «макс — — . Ю й 15. Принцип относительности Галилея 1. Уравнение, выражающее второй закон Ньютона !па=«', (15.1) отчетливо показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отсчета.
Действительно, ускорение а, вообще говоря, имеет разные значения в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Сила же д. не может зависеть от выбора системы отсчета, так как она определяется только взаимными расположениями и относительными скоростями материальных точек системы, а эти величины согласно нерелятивистской кинематике от выбора системы отсчета не зависят. Отсюда следует, что если второй закон Ньютона справедлив в какой-либо системе отсчета, то он не может оставаться справедливым в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением. 2.
Допустим, что система отсчета 5 инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета 5', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью 1«. Пусть известно движение материалыюй точки в одной из этих систем, наппимер в системе 5. Как найти движение той же точки в системе 5? Задача в дорелятивистской ее постановке сводится к нахождению формул, выражающих координаты х', у', г' движущейся точки в системе 5' через ее координаты х, у, г в системе 5 в один и тот же ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ.
11 (15.2) где 1" = ОМ, г' =- 0'М вЂ” радиусы-векторы в системах 5 и 3' соответственно, Запишем в проекциях на координатные оси: х=х'+И', д=-р', з=-з', движущейся точки соотношение (15.2) (!5.3) Формулы обратного преобразования имеют вид г" =à — (11, (!5.4) или в координатной форме х'=-х — 'г'1, у'=у, г'=г, 1'=1.
(155) Эги формулы и дают решение поставленной задачи. Они называются преобразованием Галплея. Мы присоединили к формулам момент времени. Начало координат и направления координатных осей можно выбрать произвольно как в системе Я, так и в системе 5'. Если координатные системы неподвижны друг относительно друга и отличаются одна от другой только положениями начал и направлениями координатных осей, то преобразование координат есть чисто геометрическая задача. Ее решение известно из аналитической геометрии.
Остается только выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании ко- 1Ч ординат движение одной системы отсчета относительно другой? Для простоты можно принять, что координатные оси Х', У', 21 соответственно параллельны координатным осям Х, У, Л и что в начальный момент времени 12 ст' 1 = 0 начало 0' совмещается — э- ХХ' с началом О. Кроме того, можно считать, что скорость (~ параллельна оси Х.
При этих условиях ось Х' все время будет совпадать с осью Х. Такие упроРис. 26, щения в постановке задачи не лишают ее общности, поскольку переход к общим формулам может быть совершен дополнительным переносом начал координат и поворотом координатных осей. Пусть в момент времени 1 движущаяся точка находится в положении М (рис. 26).
Тогда ОМ = — 00' + 0'М. За время 1 начало координат системы 5' переходит из положения 0 в положение 0', причем 00' = И. Ввиду этого предыдущее соотношение принимает вид ПРИНПИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ » 161 преобразования координат дополнительную формулу У = 1, чтобы явно отметить„ что в нерелятивистской кинематике время считается абсолютным, а потому не преобразуется. С точки зрения «здравого смысла» преобразование Галилея кажется самоочевидным.
Однако в основе его вывода лежит предположение дорелятивистской кинематики об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно Отмечена в уравнении 1 =- У. При выводе остальных формул использовано предположение об абсолютности длин. Действительно, формулы (15.2), (15.3) и (15,4) были бы самоочевидными, если бы радиусы- векторы г и г", а сними и все координаты х, у, г, х', у', г измерялись в одной и той же системе отсчета, например 5. Но в действительности формулы предполагают, что «нештриховаиные» величины г, х, у, г измеряются в системе 5, а «штрихованные» г', х', у', г' — в системе 5'. По этой причине при выводе формул преобразования Галилея без предположения об абсолютности расстояний и промежутков времени обойтись нельзя.
Релятивистская физика отказалась от такой абсолютности. Преобразование Галилея она заменила преобразованием Лоренца. Зтот вопрос будет подробно рассмотрен прн изложении теории относитыьности. Сейчас достаточно отметить, что преобразование Галилея является предельным случаем преобразования Лоренца и получается из последнего, когда скорость У пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света в вакууме. При изучении «медленных движений» (Р1с» ( 1) можно пользоваться преобразованием Галилея.
В случае «быстрых движений» этого делать нельзя. 3. Дифференцируя соотношение (15.2) по времени Т, получим ай ~1г' г Й' ау ш а1' или (15.6) т1=О'+ 1г, где «1 — скорость точки в системе 5, а е' — в системе 5'. Зта формула выражает нерелятивистскиа закон сложения скоростей (в физическом смысле).
Она выведена здесь в предположении, что скорость )г постоянна. Но формула верна и в случае, когда величина Р' не постоянна. Однако для целей настоящего параграфа доста. точно скорость )г считать величиной постоянной. Дифференцируя второй раз в предполом1ении постоянства У, получим илн а =- и'. (15.7) ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [Гл. н Здесь а — ускорение точки в системе 5, а а' — ускорение той же точки в системе 5'. Таким образом, ускорение в обеих системах отсчета одно н то же.
Говорят, что ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея. Свободная материальная точка движется в системе 5 без ускорения, так как по предположению система 5 инерциальна. Формула (15.7) показывает, что ее движение в системе 5' будет также неускоренным. Следовательно, система 5' — тоже инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, сама является инерлиальной системой отсчета. Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то существует и бесконечное множество инерциальных систем, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно.
Сила является функцией только инвариантных величин: разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных точек. Поэтому она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: Р = Р'. Иначе говоря, сила инвариантна относительно преобразования Галилея. Так как и ускорение инвариантно: а = = а', то нз уравнения (15.1) следует та' = Р'. Зто уравнение выражает второй закон Ньютона в «штрихованной» системе отсчета 5'. Оно имеет такой же вид, что и в «нешгрихованной» системе 5. Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
