1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Величина т, определяемая выражением (10.7), называется массой движения или релятивистской массой. Таким образом, в релятивистской механике закон сохранения импульса изолированной системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц с массамп покоя тм и т«м математически формулируется следующим образом: 7) ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.

СИЛА Для медленных движений, когда оз/сз (~ 1, зависимостью массы от скорости можно пренебречь, полагая т == >пе. Тогда релятивистская механика переходит в нерелятивистскую как в свой предельный приближенный случай. Чтобы составить представление о величине ошибки, которая делается при таком пренебрежении, рассмотрим космический корабль, движущийся со скоростью о = =- 8 км!с. В этом случае ) =,'- — ) -7.10-".

Если масса ') с ) = ' 300000 ) космического корабля т = 5 т =- 5 1О' г, то релятивистская »васса >и будет превышать массу покоя всего на т — т, = 3,5 10' г. Прн всех расчетах движений космического корабля такой поправкой не только можно, но и нужно пренебречь, хотя бы потому, что входные данные, необходимые для расчетов, не могут быть измерены с такой высокой точностью. $11. Второй закон Ньютона.

Сила 1. Описание движения в конце концов сводится к нахождению координат материальных точек механической системы как функций времени. Однако таким путем трудно подметить общие закономерности движения. Для этой цели надо обратиться к дифференциальным уравнениям, в которые наряду с координатами и скоростями входят производные импульсов по времени (или, в нерелятивистской механике, ускорения). Если материальная точка не изолирована, то из-за взаимодействия с окружающими телами ее импульс пе сохраняется. Поэтому естественно за меру интенсивности взаимодействия принять произйр водную импульса по времени -Р =- р.

Одним из фундамента ьнь>х й) обобщений классической механики является установление того факта, что производная р определяется положением рассматриваемой материальной точки 'относительно окружающих ее тел, а иногда также и ее скоростью. Она является функцией радиуса- вектора» и скорости я> материальной точки и может зависеть также от координат н скоростей окружающих материальных точек как от параметров. Обозначим эту функцию» (», я>).

Тогда >(> = ». (11.1) Функция координат и скорости материальной точки» (», я>), определяющая производную ее импульса по времени, называется силой е). *) Используя принцип относительности и однородность пространства, можно показать, что сила» зависит не от самих координат и скоростей, а только от раз«остей «оординот и разностей скоростей рассматриваемой материальной точки и точек, с которыми она взаимодействует (см. задачу 3 к 1 33). Однако для ближайших целей вто уточнение нам не понадобится. 72 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА !Гл. н Сила есть веюпор, так как она получается дифференцированием вектора р по скалярному аргументу 7.

Итак, проижодная импульса материальной то«ки по времени равна действуюигей на нее силе. Это положение называется впюрым законом Ньютона. Уравнение (1!.1), выражающее этот закон, называется уравнением движения материальной точки. Для движений с нерелятивистскими скоростями зависимостью массы от скорости можно пренебречь и записать второй закон Ньютона в виде те=Р, (11.2) или тр= Р. (11.3) Масса, умноженная на ускорение, равна действующей силе. Фактическое содержание второго закона Ньютона, подчеркнем это еще раз, состоит в том, что сила Р зависит только от координат и скорости материальной точки.

А второй закон Ньютона и уравнение движения (1!.1) получают конкретное содержание только после того, как определена функция Р (т, «г). К установлению вида таких функций в каждом конкретном случае и сводится основная задача физической механики. 2. Приведем простейшие примеры на нахождение уравнений движения. Они являются в то же время примерами, подтверждающими второй закон Ньютона. Подвесим тело на спиральной пружине (рис. 21). Когда система успокоится, немного оттянем тело вниз из положения равновесия, а затем отпустим. Возникнут ркс 21 колебания вверх и вниз. При подходящих параметрах системы они будут затухать слабо.

Тело успеет совершить несколько десятков колебаний, прежде чем колебания заметно затухнут. Мгновенное положение тела можно характеризовать одной координатой х — смещением тела из положения равновесия. Для определения функции х = х (Г) можно через малые промежутки времени фотографировать тело на кинопленку, а затем обработать фотографию и построить график х = х (!). Можно поступить и как-нибудь иначе. Для слабо затухающих колебаний график почти не отличается от синусоиды (рис. 22) и представляется уравнением х=А соз —, (11.

4) где А и Т вЂ” постоянные, называемые амплитудой и периодом колебаний. Дважды дифференцируя это выражение, находим скорость и ускорение: 2лА . 2лг .. !'2л гь 2л! х = — — з)п- — х= — г- -7! Асоз —. Т Т' ~!Т) Т' 73 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА $111 Сравнивая последнее выражение с (11.4), получаем Я = — ('-7-7х, или после умножения на массу тела тх = — Фх, (1 1.5) где введено обозначение ~ ='(т) т. Сравнивая (11.5) с (11.3), находим силу Р = — йх.

(11.б) (1 1.7) Мы видим, что величина Р зависит только от удлинения пружины х — единственного переменного параметра, определяющего аг Рис. 22. положение внешних тел, оказывающих действие на рассматриваемое тело. Если к пружине подвесить тело другой массы, то изменится и период колебаний Т. Однако опыт показывает, что отношение —;, а с ним и коэффициент й остаются без изменения. Значит, сила Р определяется только растяжением пружины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяжение вызвано.

Эти Опытные факты могут служить подтверждением второго закона Ньютона. Следовательно можно ожидать, что если кроме пружины на тело больше ничто не действует, то его ускорение всегда будет равно Х й — и направлено вдоль оси пружины в сторону, противоположную па ее удлинению х, Оно совершенно не зависит от того, как движется тело: прямолинейно, по кругу или как-нибудь иначе. Это предположение также подтверждается опытами. Одновременно мы видим, что сила натяжения пружины Р пропор7)иональна ее удлинению х.

Как показали более точные исследования, этот результат является приближенным. Им можно пользоваться, когда удлинение пружины не Очень велико. Он называется законом Рука (1б35 — 1703). Величина й называется коэффициентом упругоспиа или жесткости пружины. Для конкретной пружины коэффициент я постоянен, но может меняться от п р уж пиы к пружине, ЗАКОНЫ НЬЮТОНА !Гл. н Опыт показывает, что колебания тела, подвешенного на пружине, постепенно затухают и в конце концов прекращаются. Отсюда следует, что уравнение движения (11.5) является приближенным. Оказывается, что тело, движущееся в газообразной или жидкой среде, встречает сопротивление, зависящее от скорости тела. Если скорость тела (относительно окружающей среды) не очень велика, то эта сила приблизительно пропорциональна первой степени скорости.

Так, в случае шара на пружине затухание его колебаний в газе довольно точно описывается уравнением тх = — йх — 6х, (1 1.8) где 6 — постоянный коэффициент, зависящий от размеров шара и рода газа, в котором он колеблется. Здесь мы имеем пример силы, которая зависит не только от положения, но и от скорости шара. 3. Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальньм уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения.

В частности, их можно было бы получать и строить всю механику без введения понятия силы. При рассмотрении различных динамических задач механика ставит и решает два вопроса: 1) по заданному движению тел вычислить силы, действующие на них; 2) по заданным силам определить движение тел. Задачи первого типа сравнительно просты. Они сводятся к вычислению ускорений материальных точек, из которых состоит система. Примером таких задач может служить разобранная нами задача о силе, действующей на колеблющееся тело, подвешенное на пружине.

Задачи второго типа много сложнее и являются основными в механике. Здесь прежде всего надо написать уравнение движения для каждой материальной точки, входящей в систему. Это сводится к отысканию сил как функций координат и скоростей взаимодействующих точек. В результате получится система дифференциальных уравнений, решение которой (при определенных начальных условиях) даст полное представление о всех деталях движения. Таким образом, при решении таких задач требуется интегрирование дифференциальных уравнений, а это значительно сложнее дифференцирования. Могут быть и задачи смешанного типа.

Сюда относятся, например, такие задачи, когда на движение системы наложены определенные ограничения, например, движущаяся точка должна находиться на какой-то линии нли поверхности. Такого рода ограничения называются связями. Действие таких линий или поверхностей, как и всяких связей, ограничивающих свободу движения, сводится к тому, что онн воздействуют на движущиеся тела с определенными силами, называемыми реакциями связей.

Во всех подобных случаях задача сводится не только к определению движения каждой материальной точки системы, но и к нахождению реакций связей. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА 4. Остановимся на вопросе о соотношении между первым и вторым законами Ньютона. Если в уравнении (11.1) положить ег = О, 11р то получится Р =О. Отсюда следует, что р =- сопз(, т. е. им«)1 пульс, а с ним и скорость свободно движущейся материальной точки постоянны.

Характеристики

Список файлов книги