1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отсюда х = а с яп й = а, с соз (а», с) = (а с) = (ас), у = а, » яп у = — а» соз (а (л Ь) = — (аЗЬ) = — (аЬ). 6. Доказать формулу Да»] [га]) = (ас) (Ьа) — (ай) (Ьс). 7. Покачать, что векторное произведение ]аЬ] можно записать в виде символического определителя й [аЬ]= а, ав а, ]»„. »„», (7.ог) если условиться разлагать его по элементам первой строки, состоящей из единичных векторна 7,7', й вдоль координатных осей прямоугольной системы координат. Запись справедлива и в правых и в левых системах координат.
Компоненты секторного произведения определяются одними и течи же формулами, независимо оч того, какие (прямоугольные) системы координат используются. О этим и связано то обстоягельство, что векторное произведение — аксиальный вектор. 8. Доказать, что в прямоугольной системе координат ]А- Ав Ал (.А [ВС])= В„В, В, (7.6) 9. Пусть е,, е,, ев — произвольные векторы, не лежащие в одной плоскости.
Векторы [ехев! (е,[е,ев]) ' [е,е,] (е,[еве,]) ' (с,ез] (7.7) (е, ]вес,]) Трн е"ктора а <, Ь, с лежат в одной плоскости. Примем ее за плоскость рисунка (рис. )9). Вектор г( перпендикулярен к этой плоскости, его длина равна »с яп а, если а — угол между векторами Ь н с. Рис. !9. Поэтому длина вектора ]а, г(] будет а, »с в!и а. Поскольку этот вектор лежит в плоскости рнгунка, его можно разложить по векторам Ь и с, т. е. поедставить в виде ~а а1= »+ус. Неизвестные числа х и у найдутся с помощью теоремы синусов: х» яп]) ус япу ай»сяяя япя' а„»сз(пф япсс' (гл. з кинемдтикл называются по отноп»енню к ннм взаимными. Очевидно, что они также не лежат в одной плоскости.
Показать, что [езе";) е,= (е*, [еге,'[) ' [ерез] (е", [е,*е,*[) ' (е,' [езеч[) ' Показать, далее, что (езе„") = бз„ (7.9) где б;з — символ Кронекера, т. с. бм .††! при ( =- й и б;з — — О прн ( ф еп Пусть А и  — произвольные векторы. Представим нх в виде А = А,е,+ А,ез+ Азез В =, В,*е*;+ В,*е,"+ В,*е,". Показать, что (АВ) = А»В»»+ А»В» + АзВз* й 8. Степени свободы и обобщенные координаты (7.)0) 1. Положение точки в пространстве можно задать тремя прямоугольными координатами х, у, г.
Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять полярные или какие-либо другие координаты, Существенно, однако, что при любом выборе число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может перемещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы. Может случиться, что перемещение точки в заданных условиях не может быть каким угодно.
Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимон нити, другой конец которой закреплен (математический маятник). Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести много других примеров, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В подобных случаях говорят, что на ее движение наложена связи. Координаты х, у, г такой точки должны удовлетворять соотношению вида [ (х, д, г) = О, которое является уравнением рассматриваемой поверхности. Ввиду этого независимыми остаются только две координаты, например х и у.
Третья координата г может быть вычислена из уравнения связей ((х, у, г) =- О. В этих случаях говорят, что точка обладает двумя степенями свободы. Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от какой-либо точки рассматриваемой криной, отсчитанное вдоль азой кривой.
В таких случаях говорят, что точка обтадает одной степенью свободоз. г в] СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 61 2. Все сказанное без труда обобщается на случай механической системы, состоящей из произвольного числа и материалыгых точек. Если эти точки могут перемещаться без всяких ограничений, то для определения мгновенного положения их надо задать Зп координат (по три координаты для каждой точки). В этом случае говорят, что система обладает Зп степенями свободы.
В некоторых задачах, однако, свобода перемещения материальных точек ограничена. На Зп координат налагаются дополнительные условия, называемые связями. Для Однозначного определения положения всех материальных точек системы достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его /'. Остальные Зп — / координат могут быть вы- 1~ числены из уравнений связи. Не обязательно в качестве независимых координат брать прямоугольные координаты. Для этой ! цели могут быть использованы любые / величин г/„г/г, ..., г//, заданием которых положение / материальных точек системы Л 8 определяется однозначно. Такие / величины называются обобщенными координатами.
Движение / системы определится полностью, ! если обобщенные координаты г/ / будут найдены как функции вре- г/ мени. Производные обобщенных // координат по времени /)„г/„..., д„ Рис. 20. называются обобщенными скоростями. Так, при вращении материальной точки по окружности ее положение можно задать значением центрального угла гр, который радиус-вектор вращающейся точки образует с положением его в некоторый определенный момент времени (например, в момент / — — 0). Обобщенная скорость в этом случае ы ==- сг имеет смысл угловой скорости вращающейся точки. Обобщенные координаты г/„г/г, „г// могут быть выбраны как угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью определяли положение механической системы.
Однако число независимых обобщенных координат /" во всех случаях будет одно и то же. Оно называется числом степеней свободы системы, 3. Определим, например, число степеней свободы идеально твердого тела. Идеально твердым /пелом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени. Локажем, что идеально твердое тело, если на его движение не на,гожепы никакие ограничения, обладает шестью степенями КИНЕМАТИКА ггл.
! свободы. Действительно, чтобы однозначно определить положение твердого тела, достаточно задать положение каких-либо трех его точек А, В, С, не лежащих на одной прямой (рис. 20). Для доказательства возьмем произвольную четвертую точку тела Р. Расстояния АР, ВО и СО для рассматриваемого твердого тела могут считаться известными, так как при любых движениях эти расстояния не изменяются, Кроме того, следует учесть, что при любых движениях твердого тела точка Р все время должна находиться по одну и ту же сторону плоскости треугольника АВС, никогда не пересекая ее.
Чтобы определить положение в пространстве точки Р, построим по заданным длинам АС, АР, СР треугольник АРС. Его основание АС в пространстве фиксировано. Чтобы найти положение вершины О, будем вращать треугольник АОС вокруг основания АС, пока вершина Р не окажется на заданном расстоянии от третьей точки В. Этому условию удовлетворяют две точки О и Р'. Но вторая из них не удовлетворяет условиям задачи, так как она находится не с той стороны от плоскости треугольника АВС. Таким образом, зная положение трех точек А, В, С, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела. Положения трех точек А, В, С можно задать нх прямоугольными координатами хл, ул, гл., хв, ув, гв, хс, ус, гс.
Эти девять координат, однако, не независимы, а связаны тремя соотношениями (хл — хв) + (ул — ув)'+ (гл — гв)' = АВ' = сопз(, , (хв — хс)'+ (ув — ус)'+ (гв — гс)' = ВС' = сопз(, (хс — хл)'+ (ус — ул)'+ (гс — гл)' = СА' = сопз(, поскольку длины АВ, ВС и СА не изменяются. Независимых координат остается только шесть — твердое тело имеет шесть степеней свободы.
При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Так, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижнои точки и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, пю число степеней свободы становипгся равным двум н т. д. ГЛАВА 11 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА В атой главе излагаются основные законы динамики — той части классической механики, которая занимается изучением движения тел в связи с действующими на них силами.
Сила, действующая на тело, является мерой взаимодействия его с окружающими материальными объектами (другнмн телами, полями). Более полное определение приводится несколько ниже. Законы динамики были установлены Ньютоном и носят его имя. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов, На них следует смотреть не как на изолированные независимые утверждения, а как на систему взаимосвязанных законов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
