1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

е. одновременное изменение на противоположные положительных направлений всех трех осей. Если обе координатные системы прямоугольные, то формулы преобразования проекций вектора имеют следующий вид: а„= а, „а„+а;„а„+а;,а„ а„= ам„а, + о.„„а„+ а„,а„ (7.1) а, =а,„а„+а,„а„+а,,а„ где а,. „, а, „, ... — косинусы углов между соответствующими координатными осями обеих систем координат.

Например, а„, означает косинус угла между положительными направлениями осей у' и г. кннеылтикА 4. Аналогично, скалярам или инвариантом называется число, заданное в каждой системе координат, причем при переносе начала и повороте координатных осей это число остается неизменным. Таким образом, как и определение вектора, это определение предусматривает только перенос начала и поворот координатных осей. Оно предполагает, что обе координатные системы должны оставаться неподвижными одна относительно другой.

Примерамн скаляров являются время, масса, электрический заряд и пр. Абсцисса х неподвижной точки не является скаляром, так как ее численное значение в разных системах координат разное. Скаляры можно образовывать из векторов. Например, скаляром является длина вексиора или ее квадрат, который в прямоугольной системе координат представляется выражением а,'-' + а„' + а,". Скаляром является скалярное произведение двух векторов а и Ь, т, е, величина (аЬ) =- аЬ сох Ф, где б — угол между этими векторами. В прямоугольной системе координат, как известно, скалярное произведение представляется выражением (аЬ) = а„Ь, + а,„Ь, + а,Ь, (см.

задачи 1 и 3 к этому параграфу). 5. На основании изложенного ясно, что для доказательства векторного характера той или иной направленной физической величины надо только установить, как определяются ее составляющие вдоль координатных осей н как они преобразуются при переходе от одной координатной системы к любой другой, оси которой повернуты относительно осей первоначальной системы.

При этом имеются в виду координатные системы, неподвижные одна относительно другой. Например, двум векторам а и Ь с составляющими а„, а„, а, и Ь, Ь„, Ь„. можно сопоставить в каждой системе координат упорядоченную тройку чисел с„= а, -',— Ь„, с, = а, + Ь,, с,=а,+Ь,. Легко видеть, что такая тройка чиселобразует вектор, так как эти числа подчиняются тем же правилам преобразования, что и составляющие векторов а и Ь. Вектор с (с„с,„с,) называется суммой векторов а и Ь.

Легко доказать, что он может быть получен из векторов а и Ь геометрическим построением по правилу параллелограмма. Аналогично определяется и вычитание векторов. Разность двух векторов а и Ь есть вектор Ф, определяемый упорядоченной тройкой чисел й„= а, -- Ь,, й, = — а — Ь,„й, =- а, — Ь.. Для его построения надо изменить на противоположйое направление вектора Ь (получаемый таким путем вектор обозначают — Ь), а затем на векторах а и — Ь построить параллелограмм. В таком смысле сложение и вычитание векторов вводится путем математического определения. Над векторами можно производить и другие операции, вводимые таким же путем, например умножение вектора на скаляр или скалярное и векторное перемножение двух векторов.

Все операции такого типа мы называем математическими. Их свойства устанавливаются соответствующими мате- 4 П о вектоглх и сложении движгнин матическими теоремами. Не имеет смысла ставить вопрос об опытной проверке результатов, получаемых с помощью таких математических операций. Например, о сложении векторов, как оно только что определено, мы будем говорить как о маглемшпическом сложении нли сложении в матлематическом смысле. Но когда векторами изображают различные физические величины, часто в их сложение или вычитание вкладывается какой-то другой смысл. А именно для получения суммы или разности векторов над ними надо произвести какие-то (хотя бы мысленные) физические сперев,ии. Сложение и вычитание в таком смысле мы условимся называть физическими.

Будет ли какое-либо конкретное физическое сложение совпадать с математическим (т. е. с правилом параллелограмма) и будет ли в результате такого сложения получаться вектор — это требует дополнительного исследования, в частности В С опытного.

6. Поставим, например, такой вопрос. Точка перешла из А в положение В вдоль прямолинейного отрезка АВ 1рис. 14). Затем из положения В она перешла в С вдоль отрезка ВС. Вдоль какого прямолинейного отрезка должна перемещаться точка, чтобы из А попасть в С? Ясно, рис. 14. что таким отрезком является отрезок АС. Его можно рассматривать как геометрическую сумму отрезков АВ и ВС. Сложение перемещений в таком понимании производится по правилу параллелограмма, т. е. совпадает с математическим сложением векторов. Тому же правилу подчиняется и сложение скоростей в следующем смысле.

Точка в течение секунды перешла из А в В, двигаясь равномерно со скоростыа и,. Затем также в течение секунды она перешла из В в С с постоянной скоростью и,. С какой постоянной скоростью и должна двигаться точка, чтобы в одну секунду перейти из А в С? Но в сложение скоростеи обычно вкладывается другой смысл, разъясняемый на следующем примере. Точка перешла из А в В вдоль прямолинейного отрезка на палубе корабля, двигаясь равномерно со скоростью п,. За то же время сам корабль переместился относительно берега па отрезок ВС, двигаясь с постоянной скоростью п,. С какой скоростью е двигалась точка относительно берега? Здесь сложение движений и их скоростей понимается в другом смысле. Оба движения рассматриваются в разных системах отсчета, движущихся одна относительно другой.

Одной системой является корабль, н скорость е, измеряется с помощью линеек и часов в этой системе. Другой системой является берег, с помощью линеек и часов этой системы измеряются скорости пз н в. На вопрос о результате сложения в таком смысле 54 кинемхтикА !ГЛ. ! должен в конце концов ответить опыт. Дорелятивистская кинематика утверждала, что по своему результату сложение движений во втором смысле не может отличаться от сложения в первом смысле. Это происходит потому, что и дорелятивистской физике длины отрезков и промежутков времени не зависят от того, в какой системе отсчета они измеря!отся.

Сложение скоростей и во втором смысле в дорелятивистской кинематике происходило по правилу параллелограмма, т. е. совпадало с математическим сложением векторов. В релятивистской кинематике это уже не так. Сложение скоростей во втором смысле не подчинягтгя правилу параллелограмма. Это правило приближенно верно только в пределе, когда обе складываемые скорости очень малы по сравнению со скоростью света. 7. Каждому вектору а (а„, а„, а,) и скаляру Л можно аксиоматически сопоставить объект Ла, задаваемый упорядоченной тройкой чисел Ла„., Ла„Ла,. Легко убедиться, что такой объект будет вектором. Он называется произведением скаляра Л на вектор а.

Бесконечно малое приращение вектора йа само является вектором. Бесконечно малое приращение любого скаляра ! есть также скаляр йй Этим двум величинам можно сопоставить вектор ! в'а -- йа = — „, называемый производной вектора и по скаляру й 8. Теперь мы в состоянии доказать векторную природу многих физических величин, с которыми имеет дело механика.

Прежде всего, смещение точки из какого-либо положения А в другое положение В вдоль соединяющего их прямолинейного отрезка АВ есть вектор. Это очевидно, так как по самому определению при смещении начала и повороте координатных осей компоненты вектора должны преобразовываться так же, как проекции направленного отрезка. Обозначим рассматриваемый отрезок к. Продифференцируем этот отрезок по времени ! в предположении, что начальная точка его йг закреплена.

Производная — буогт вектором, так как время— ь'! скаляр. Но такая производная есть скорость точки е. Таким образом, скорость е есть также вектор. Дифференцируя 4! снова по !, вю найдем другой вектор — ускорение точки а = — . Масса точки т Й' является скалярам. Умножая его на скорость е, получаем вектор р = те, называемый импульсом точки.

Дифференцируя его по времени, получаем силу Р=- —, действующую на точку. Таким лр лй ' образом, сила есть вектор. 9. Приведем несколько более сложные примеры векторов. Возьмем в пространстве какой-либо ориентированный контур Е, т. е. не самопересекающуюся замкнутую кривую, проходимую в какомто определенном направлении. Спроектируем этот контур на координатные плоскости прямоугольной системы координат ХУЕ. Получим три ориентированных плоских замкнутых контура О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ Е„Е, Е„лежащих в координатных плоскостях УУ, ЯХ, Х)' соответственно (на рис.

15 контур Е не изображен, изображены только его проекции). Обозначим 5, 5„5, площади, ограниченные замкнутыми контурами Е„Е „Е,. Эти величины будем считать положительными, если контуры Е„Е, обходятся в положительных направлениях, и отрицательными в противоположном случае. Положительные направления обхода контуров Е,, Е,„Е, задаются по-разному в зависимости от того, какая используется система координат — правая или левая.

Характеристики

Список файлов книги