1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В общем случае ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (4.11) (4.12) есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным нли танггнциальным ускорением. Второе слагаемое (4.13) есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутостн траектории. Он называется нормальным ускорением. Такия4 образом, в общем случае ускорение а можно представить в виде геометрической суммы тангенциального и нормального ус- М Р ~ "4 корений: а=а,+а„. (4.!4) Тан генц и ильнов ускорение меняет скорость только по величине, нормальное ускорение меняет ее только по направлению.
Рис. !1 поясняет разложение полного ускорения на тангенциальное и нормальное. Пусть и — скорость материальной точки в момент времени 1, когда она находилась в положении М. Обозначим посредством Е4! =- и + ЛЕ4 скорость той же точки в момент ! + Ы, когда она переместилась в положение М, (не обозначенное на рисунке). Отложим оба вектора е и и! из одной и той же точки М и разложим приращение Лп скорости на две составляющие: составляющую ЛЕ4! вдоль вектора т4 и составляющую Лп„, перпендикулярную к этому вектору. При уменьшении Л4 оба отношения Ло, ЛР„ — и —" будут стремиться к определенным пределам. Первый п4 а! из них есть тангенциальное, а второй — нормальное ускорения.
Прн вычислении скорости точки бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать бесконечно коротким прямолинейным отрезком, направление которого совпадает с направлением касательной к траектории, При определении ускорения такая аппроксимация уже не годится. Однако, как видно из рассуждений настоящего параграфа, при вычислении ускорения бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать дугой окружности, плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью, 40 КИНЕМАТИКА [Гл, ! а радиус равен радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Но и такая аппроксимация оказалась бы недостаточной, если бы потребовалось вычислить производные радиуса-вектора более высокого порядка: г', ! и т. д. ЗАДАЧИ 1. Шарик, ноторому сообщена горизонтальная скорость о, падает на горизонтальную плиту с высоты Гь Прн каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значевию до удара постоянно н равно а), Определить, на каком расстоянии х от места бросания отскоки шарика прекратятся.
Считать, что трение отсутствует, так что горизовтальная составляющая скорости шарика о не меняется. » / 2Л 1+а Ответ. »=оба~ У 21 — ' 2. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями »=Асс»а(, у=В »1па!, (4. 15) где А, В, а — постоянные. По какой траектории движется точка? Вычислить ее ускорение. Р с ш е н н е.
Исключая время ! нз уравнений (4.15), находим Точка движется по эллипсу. Ее радиус-вектор г = х!+ у1, а ускорение а = = х)+ у!. Дифференцирование дает х =- — аА яп аб х = — а'А соз а! = — а»», у=аВ сов а!, у= — ийВ яп а!=- — ату. Следовательно, а = — а» (х!+ у/) = — а»г. (4.
16) Ускорение направлено к центру эллипса и пропорционально г. В частном случае А =  — эллипс вырождается в круг, а формула (4.16) переходят в известную формулу для центростремительного ускорения при равномерном вряцении по кругу. 3. Установить связь между звездными и средними солнечными сутками. Зггздиый год, т. е, промежуток времени, в течение которого Солнце совершает свой видимый путь по небесной сфере относительно звезд, составляет 365,2564 средних солнечных суток.
(Звездный год следует отличать от тропического года, который соответствует периоду смены времен года и составляет 365,2422 средних сол-. нечных суток). Р е ш е н и е. Пусть в положении 1 (рис. !2) плоскость земного меридиана АВ проходит через центр Солнца С и какую-либо (бесконечно удаленную) звезду Р. Когда Земля в своем орбитальном движении перейдет в положение 2, плоскость того же меридиана повернется относительно направления на звезду на угол а, а относительно направления на центр Солнца — на угол (). Углы и и й могут превышать 2п, но они всегда связаны соотношением а = й+ у, где у — угол между направлениями на центр Солнца в положениях 1 и 2. Спустя звездный год, когда Земля вернется в исходную плоскость !СР, угол у примет значение 2п, а потому в этом положении а = р+ 2п.
За это время пройдет )У» = а)(2п) звездных и Л'со — — й)2п средних солнечных суток. Поэтому Ж»» = Жс + 1. Если Т,»вЂ” З Н сКОРость и нСКопнинв нри КривОЛИННйнОМ днижнини 41 продолжительность звездных, а Теы — средних солнечных суток, то очевидно, что ДГ, Тз, =- Дг,е, Т, „так кай оба эти выражения представляют одно и то же время — звездный год. Используи соотношение 5'зв = И, + 1, отсюда находим ~~ сол 1 Тзв Тсьл Тсол Тэа 1 У счм Подставив сюда Т,д, =- 24 60 60 = 86400 с, й'сь, = 365,2564, получим Т,,— Т„=235,9003 с 236 с, Т,„86164 с. Заметим, что при решении мы не вводили предположения, что Земля по своей орбите движется равномерно. Вагш А' А Рис.
13. Рнс. 12. 4. Определить скорость, с которой движется тень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения. Р е ш е н и е. Лля простоты примем, что затмение наблюдается на экваторе и что земная ось перпендикулярна к плоскостям солнечной и лунной орбит. Скорость света будем считать бесконечно большой по сравнению со всеми остальными скоростями, входя~ними в задачу. Пусть в рассматриваемый момент времени прямая Солнце — Луна перпендикулярна к земной поверхности в то жс наблюдения А !рис. 13).
Поверхность Земли в окрестности той же точки можно считать плос. кой. Прн решении выберем сначала систему отсчета, в которой Земля покоится. Пусть ы и мл — угловые скорости врашеаия Солнца и Луны вокруг центра Земли, !сс и Я л — расстояния их от того же центра, г„' — радиус Земли. За секунду Солнце и Луна переместятся с востока на запад на оасстояния СС' = мсй'с и ЛЛ' = ыл!1л. Соединив новые положения Солнца и Луны прямой линией, найдем, что за секунду граница лунной тени переместнтсч по земной поверхности с запада ва восток на расстояние о =- АА', Зто расстояние и есть скорость движения тени Луны, Из рнс. !3 видно, что О Х Х мсяс ПС %с так как расстояние до Луны пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до Солнца, и можно принять ОС = Ис.
Таким образом, о = шсх. Для нахождения (гл. ! КИНЕМАТИКА х составляем пропорцию юс)7 СС' ОС ыл)7л 77' О 7' Полагая в ней ОС = )7с, Од = )7л — х — г, получим уравнение для нахождения х. Оно дает юс х= ))л — г. юс Следовательно, скорость движения лунной тени с запада на восток будет ысх (ыс л) )'л с ' 2п 2я Здесь ю = —, юс — ыл — — —,где Т,, =- 86400с — продолжительность 7 стт 7 мес солнечных суток, а Тм„=- 29,6 Т,е, — продолжительность месяца.
Используя зти соотношения и подставляя численные значения )7л = 3,8 10' км, г = 6400 км, получим 2п)7л 2пг о= — — — -м0,47 км!с. 7мес Тсут (4.17) $5. Границы применимости классического способа описания движения В классической механике состояние движения часгпиг(ы в любой момент времени хариктеризуется положением (координатой х при одномерном движении) и скоростью ее. Вместо скорости можно пользоваться также импульсом, т. е. величиной р = ттт, равной произведению массы частицы т на ее скорость м).
Образом частицы является геометрическая точка, описывающая с течением времени непрерывную траекторию. В квантовой механике показано, что такой способ описания движения имеет принципиальные границы применимости. Здесь преждевременно вдаваться в подробное обсуждение этого вопроса. Достаточно ограничиться пред- *) Ыы предполагаем здесь, чю читатель знаком с понятием массы. Понятие массы и импульса вводятся и подробно обсуждаются в й!О.
Смысл последней формулы легко уяснить, перейдя в систему отсчета, в кото. рой Солнце покоится, Считая Солнце бесконечно удаленным, можно отвлечься от движения центра Земли, приняв во внимание лищь вращение Земли вокруг своей оси, а также движение Луны по ес орбите вокруг Земли. Луна движется 2п)77! по орбиге с запаха на восток со скооостью ол — —, . Еслибы Земля не враща- 7 мес ласем то с той же скоростью и в том же направлении по ее поверхносеи бежала бы и лунная тень. Но из.за вращения Земли зкнаюриальные точки последней 2пг движутся с запада на восток со скоростью о = —, для нахождения скорости 7сут лунной тени зту величину надо вьжесть из ол, что и сделано в формуле (4.17). 4 51 КЛАССИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ 43 варительным сообщением основного результата, не касаясь его обоснования.
Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее координаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо состоянии координата известна с неопределенностью бх, а импульс— с неопределенностью бр, то обе эти величины одновременно немогут быть сделаны сколь угодно малыми. Они связаны соотношением бх бр)й, (5. 1) где б — универсальная постоянная, называемая постоянной Планка (1858 — 1947). Она играет основную роль во всех квантовых явлениях.
Ее численное значение равно й = 6,63 1О " эрг с. (5.2) Соотношение (5.1) называется принципом неопределенностей Гайзенберга (р. !901). Оио определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса частицы, который не может быть превзойден никаким усовершенствованием приборов и методов измерения. Дело здесь не в ошибках измерений. Такова уж природа реальных частиц, что мгновенные состояния нх движения не могут быть охарактеризованы классически — точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные .точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным траекториям лишь приближенно соответствует законам природы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
