1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 9
Текст из файла (страница 9)
с Ьг. Предел средней скорости при дг -~ О, т. е. производная радиуса-вектора гпо вре- мени е=г= — = 1!гп -- (4.2) А> О Д! Рис. 7 а=о(7) = — „; = Вп! —, ав . др (4.3) а=г'(1) =-,— „.. с[>с (4.4) 2. Отметим следующую формальную аналогию между скоростью н ускорением. Из произвольной неподвижной точки О, будем откладывать вектор скорости е движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 8). Конец вектора е назовем скоростной точкой.
Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая содосра4юм скорости. Когда материальная точка описывает траекторию„соответствующая ей скоростная точка движется по называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки.
Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки. Совершенно аналогично определяется ускорение при криволинейном движении. Ускорением а называется веюпор, равный первой >гроизводной ветпора скорости е или второй производной радиуса-вектора г по времени: Ч М СКОРОСТЬ И УСКОРеНИе ПРИ КРИВОлИНеЙНОм дВИЖеНии 38 годографу. Рис. 8 отличается от рис. 7 только обозначениями. Радиус-вектор тзаменен на вектор скорости 25, материальная точка— на скоростную точку, траектория — на годограф.
Математические операции над вектором и при нахождении скоростн и над вектором е5 при нахождении ускорения совершенно тождественны. Для математики безразлично, какой физический смысл имеют величины, над которыми выполняются математические операции. Не имеет значения также, какими символами эти величины обозначены. Для нахождения А скорости т) надо дифференцировать ран диус-вектор г; для нахождения ускоре- ар ння надо дифференцировать вектор скорости Е5.
Скорость е5 направлена по 5 касательной к траектории. Поэтому ускорение а будет направлено по касательной к годографу скоросгпи. Можно сказать, что ускорение есть скорость дви- а, женил скоростной точки по годографу. Следовательно, все соотношения и теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величин и терминов согласно следующей таблш)ег Рис. 8 точка — Скоростная точка — Вектор скорости — Годограф — Ускорение Материальная Радиус-вектор Траектория Скорость 3. В качестве простейшего примера найдем ускорение точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса г (рнс. 9, а).
Скорость е) направлена по касательной к окружности, ее величина определяется выражением 2пг о=гег=- Т (4.5) Годографом будет окружность радиуса о (рис. 9, б). Когда материальная точка М нращается по окружности радиуса г, соответствующая ей скоростная точка А вращается в том же направле" нии по окружности радиуса о, описывая эту окружность за то же время Т.
Положениям материальной точки на траектории М„ Ма, М,, М, соответствуют на годографе положения скоростной точки А„А„Аа, А,. Ускорение а направлено по касательной к окружности — годографу и притом, как видно из рисунка, к центру О траектории вращающейся точки М. По аналогии с формулой (4.5) для величины ускорения можно написать а=ыо= — ' 2по оа Т г' (4.6) КИНЕМАТИКА !ГЛ. ! где л — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру О (см. рис. 9, а). ' ~7 77 47 »7 77» а) б)' Рис.
9. Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде 77 =- оэ, где а — единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель и дает численную величину скорости, второй множитель э указывает ее направление. При равномерном вращении абсолютное значение скорости о остаегся неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор э. Дифференцированию подлежит только этот вектор, а по- 774 тому ак о „--. Сравнивая это выражение с (4.8), получим !77» -- =--и.
717 Обозначим 7(з длину пути, проходимого материальной точкой за время 7(1 прп ее вращении по окружности. Эта положительная величина равна 7Ь =- пй. Поэтому предыдущую формулу можно пере7щсать в виде нз 1 77. 7~7 У (4.! О) Это — известная формула для центростремительного ускорения. Ее можно записать в векторной форме а = — 7а»г. (4.7) Знак минус указывает на то, что направления векторов а и 7 взаимно противоположны, т. е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки (4.8) 5 4] СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 37 В этом виде формула не содержит никаких кинематических величин. В нее входят только геометрические величины, характеризующие окружность. Поэтому она может быть получеа нчисто геометрически без привлечения кинематических понятий.
Она определяет производную единичного вектора касательной з по длине дуги а5 ! окружности. Взаимная перпендикуляриость векторов в и — (или а5 (, 4]5 ) 4и] — ~] объясняется тем, что длина вектора в постоянна, меняется только направление этого вектора. Треугольник, составленный из векторов в, в+ Лв н Лв (рис. !О), — равнобедренный. При стремлении элемента дуги Лв к нулю стремится к нулю угол а при его вершине. Л5 Поэтому направление вектора ; в пределе оказывается перпендикулярным к вектору в. Отмеченное свойство, разумеется, не является специфическим свойством единичного вектора в. Производная любого вектора А постоянной длины по любому в 5+йв скалярному аргументу есть вектор, перпендикулярныи к вектору А.
4. Формула (4.10) допускает обобщение иа а случай произвольной гладкой кривой. Обозначим по-прежнему посредством в единичный вектор касательной к кривой, а посредством йз — длину 4]5 Рис. ]О. элемента дуги этой кривой. Производная — есть 4]5 вектор, направленный нормально к кривой в сторону ее вогнутости. Эту производную можно поэтому представить в виде (4.10), рассматривая величину 1!г как коэффициент пропорциональности между 4]5 векторами-- и и.
Фактическое содержание этой формулы сводится а5 4]5 к тому, что производная — „', есть вектор, нормальный к кривой. В остальном на иее надо смотреть как на определение двух новых понятий: величины 1!г и единичного Вектора 75. Величина 1!г называется кривизной кривой, г — радиусом кривизны, а 75 — единичным вектором главной нормали к кривой. При этом кривизна 1-7г считается существенно положительной, а потому единичный вектор 75 всегда направлен в сторону вогиутости кривой.
Оправданием такой терл]инологии служит интуитивное представление, что при рассмотрении кривизны малый элемент кривой приближенно можно рассматривать как дугу окружности. Это приближение тем точнее, чем меньше длина дуги Лв. В случае окружности кривизна 1]г постоянна на протяжении всей кривой.
В общем случае произвольной гладкой кривой кривизна непрерывно меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали 75. Кинематическая формула (4.9) также справедлива для 38 !гл, 1 КИНЕМАТИКА или ввиду формулы (4.9) ~Ь Ф а = — в+ — и.
ги г (4.! 1) движения вдоль произвольной кривой и притом независимо от того, постоянна величина о нли меняется с течением времени. Действительно, формула (4.10) получается из формулы (4.9) с помощью соотношения сэ = ой. Все геометрические кривые разделяются на плоские и кривые двоякой кривизны. Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Примерами плоских кривых являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, синусоида и пр. Кривыми двоякой кривизны называются такие кривые, которые не могут быть уложены в одной плоскости. Примером подобной кривой может служить винтовая линия — спираль.
Плоскость, в которой лежат касательная и главная нормаль к кривой, называется соприкасающейся плоскоппью. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая. К понятшо соприкасающейся плоскости приводит следующее интуитивное представление. Произвольную конечную дугу кривой двоякой кривизны, разумеется, нельзя уложить в плоскость. Но чем меньше дуга кривой, тем точнее она приближается к элементу плоской кривой, тем с меньшей ошибкой ее можно уложить а плоскости.
Такая плоскость приближенно и воспроизводит соприкасающуюся плоскость. Это интуитивное представление можно превратить в точное определение с помощью предельного перехода. Пусть М (см. рис, 7) — произвольная точка на кривой. Проведем в ней касательную МС и хорду ММ,. Этими двумя прямыми, вообще говоря, определится некоторая плоскость СММ,. Будем неограниченно приближать точку М, к точке М. Тогда указанная плоскость, восбще говоря, будет стремиться к некоторому определенному предельному положеншо.
Это предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью. Перпендикуляр к соприкасающейся плоскости в точке М называется бинормалью к кривой. 5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направлено к ее центру, т. е. перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по любой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по величине.
Не так будет, когда меняется также и величина скорости. Чтобы разобрать этот вопрос, представим вектор скорости в виде тг = ов. Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим И гг'о аз а=- — (ов) = — в+о —, Й аг ги' $4! СКОРОСТЬ Т! УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕПНОМ ДВИЖЕНИИ 39 Отсюда следует, что вектор ускорения а лежит в плоскости векторов в и и, т. е. в соприкасающейся плоскости; вектор а нг имеет составляющей по бинормали к траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
