1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Ввиду этого предельный переход к Лх! — 0 не может быть выполнен до конца, а должен быть оборван на каком-то месте. Это означает, что в физике интеграл выступает не как !!редел суммы, а как сумма больиюго числа достаточно малых слагаел4ых Х) (х;) Лх!. 2 7. 0 векторах и сложении движений 1. Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем известными, Остановимся только на разъяснении некоторых принципиальных моментов, представляющих особый интерес в физике.

Среди физических величин встречаются величины, не имеющие направления, и величины, которым можно приписать определенное направление. Величины первого рода называются скалярами. К ним относятся, например, масса, энергия, температура, электрический заряд и пр. Величины второго рода называются векторами. Примерами векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженности электрического и магнитного полей и пр. Векторы принято изображать направленными отрезками или стрелками и обозначать буквами полужирного шрифта (А, В„С, ...) или (реже) буквами, над которыми поставлены стрелки (А, В, С, ....) В качестве дополнения к приведенному определению иногда указывают, что не всякие направленные величины являются векторами, а только такие, которые складываются геометрически, т.

е. по правилу параллееограмма. Однако это указание остается расплывчатым и бессодержательным, пока не сказано, что следует понимать под сложением рассматриваемых физических величин. Смысл сложения физических величин еще не определяется их физической природой. Сначала надо указать, чтб мы понимаем под сложением двух физических величин, а затем уже находить правила, по которым должно производиться это сложение. Только тогда указание, о котором говорилось выше, приобретает ог!ределенное содержание. Нередко для решения вопроса, являются ли рассматриваемые физические величины векторами или не являются, в их сложение вкладывают такой смысл, который к этому вопросу не имеет никакого отношения.

2. Например, сложение скоростей в механике понимают в следующем смысле. Пусть точка диижется относительно системы отсчета 5, со скоростью ю! (например, пассажир идет по палубе корабля). Пусть далее система о~счета 5, сама движется со скоростью е, относительно другой системы отсчета 5„ условно принимаемой за неподвижную (например, корабль движется относительно берега). 49 О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ 4 7] Под сложением движений понимают операцию, с помощью которой по этим данным можно найти скорость и точки (пассажира) относительно неподвижной системы 5, (берега).

В релятивистской кинематике это определение должно быть дополнено указанием, что каждая из скоростей п, и пт измеряется с помощью линеек и часов в той системе отсчета, относительно которой рассматривается движение. В нерелятивистской кинематике такое указание излишне, так как длины и промежутки времени в ней имеют абсолютный смысл, т.

е. не зависят от системы отсчета. И вот оказывается, что сложение движений в указанном смысле в нерелятивистской кинематике производится по правилу параллелограмма, а в релятивистской кинематике это правило не справедливо. Тем не менее скорость точки считается вектором как в той, так и в другой кинематике. Это показывает, что правило параллелограмма скоростей для сложения движений в указанном смысле не имеет никакого отношения к вопросу о том, является скорость нектором или не является *).

Да н в самой нерелятивистской кинематике можно указать величины, которые считаются векторами, но тем не менее не всегда складываются по правилу параллелограмма, если в сложение этих величин вложить примерно такой же смысл, что п в сложение скоростей в вышеприведенном примере. К таким величинам относится, например, ускорение. Пусть точка движется относительно системы отсчета 5, с ускорением а,, а система 5, имеет ускорение аз относительно «неподвижной» системы отсчета 5,. По этим данным можно найти ускорение а точки относительно системы 5. тсччько в том случае, когда складываемые движения являются поступательными. В этом случае вектор а находится по правилу параллелограмма. В остальных случаях для нахождения результирующего ускорения знания ускорений ат на« недостаточно, и само нахождение вектора а производится по более сложному правилу, которое будет рассмотрено в 9 б4.

3. Приведенные примеры показывают, что определение вектора нуждается в утсчненни. Необходимость этого диктуется также следующими соображениями. Не всегда очевидно, какое направление следует приписать той или иной физической величине. Например, в случае геометрического отрезка АВ не возникает вопроса, *) Если бы все скорости измерялись в одной и той же «неподвижной» системе отсчета 5», то правило параллелограмма сохраняло бы силу и в релятивистской кинема«ике. Однако при этом изменился бы смысл скорости оь Под о, следовало бы понимать скорость точки относительно движущейся системы отсчета 5ь измеренную в «ненсдаимнод«» си«те,ке 5«, При сложении же скоростей в том смысле, в каком оно понимается в тексте, о„есть скорость точки относительно движущейся системы 5Н «юмеренная в той же системе.

д это существенно иная величина. Только в предельном случае беснонечно медленных днижений обе скорости совпадают. При изложении теории относительности затронутые вопросы будут разобраны подробно. 50 кинвмхтикА что следует считать его направлением. За таковое можно принять либо направление от точки А к точке В, либо противоположное направление — от точки В к точке А. Не возникает вопроса, что следует считать направлением смещения, скорости или ускорения точки, а также направлением силы, иа нее действующей. Однако не очевидно, чтб следует считать за направление угловой скорости или геометрической поверхности, в особенности когда последняя изогнута. Наконец, точное определение вектора необходимо дать для того, чтобы обобщить это понятие на случай л[ногомернык пространств. Чтобы прийти к такому определению, рассмотрим сначала простейший вектор, а именно геометрический прямолинейный отрезок, на котором установлено определенное направление.

Такой направленный отрезок будем изображать стрелкой а. Возьмем какую-либо произвольную прямоугольную или косоугольную систему координат и спроектируем отрезок а на координатные оси Х, У, Л. Проектирование будем производить плоскостями, параллельнымм координатным плоскостям. Например, чтобы получить проекцию на ось Х, надо через концы отрезка а провести плоскости, параллельные координатной плоскости УЛ. Эти плоскости и отсекут на оси Х отрезок а,, являющийся проекцией отрезка а на рассматриваемую ось.

Лналогнчно получаются остальные две проекции а, и а„Обычно рассматривают прях[оугольные координатные системы. Тогда а„а,, а, будут прямоугольными или ортогональными проекци ми отрезка а. Если проекции а,, а „а, известны в какой- либо системе координат 5, то можно найти их и в любой другой координатной системе 5', оси которой произвольным образом повернуты относительно системы 5 Лля этого по проекциям а„а„а, в системе 5 надо восстановить отрезок а, как диагональ параллелепипеда, построенного на отрезках а„, а,, а... Затем следуетспроектнровать этот отрезок на оси Х', У', 2' новой системы координат 5'.

Получится тройка чисел а,, а„, а,, которые и являются проекциями отрезка а в новой системе координат. Теперь мы даем следующее определение вектора. Вектором а называется упорядоченная тройка чисел а,, а,, а„., заданная в каждой системе координат. (Упорядочение состоит в том, что первое число а,. приводится в соответствие оси Х, второе а — оси у', третье а, — оси Л.) Эти числа называются проекциями вектора а на соответствующие координатные оси. Их называют также составляющими или колтонентами вектора. При переносе начали и поваров!в координатных осей состивля[ощие а,, а,„а, преобразуются по правилу преобразования проекций геомеп[рич[еских отрезков.

Короче, вектором называется упорядоченная тройка чисел, заданная в каждой системе координат, которые при переносе начала и повороте координатных осей преобразуются как разности координат концов направленного геометрического отрезка. О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ Отложив эти числа вдоль координатных осей Х, )', Я, мыотсечем на них три отрезка. Если на таких трех отрезках как на ребрах построить параллелепипед, то его диагональ можно рассматривать как направленный отрезок, служащий наглядным изображением вектора. Этот отрезок получится одним и тем же, какую бы систему координат мы ни использовали при его построении. В этомпроявляется инвариантный характер вектора, т. е.

независимость его от системы координат, использованной для его представления. Компоненты вектора а„а„, а, в разных системах координат разные, но самый вектор а один й тот же, Векторное равенство а = И, записанное в координатной форме, равносильно трем равенствам а; = = Ь; (> =- х, у, г). При переходе к другой (штрихованной) системе координат обе части этих равенств преобразуются одинаково. Поэтому в новой системе координат они сохраняют прежний вид, т. е.

а> =Ь, (У =- х', у', г'). Уравнения, обе части которых при переходе к другой системе координат преобразуются одинаково и благодаря этому сохраняют свой вид во всех координатных системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем, Мы видим, что векторное уравнение а = Ь инвариантно по отношению к переносу начала и повороту координатных осей. Ввиду втой инвариантности уравнения, выражаюи1ие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат. С помощью векторов физические законы формулируются в простой и обозримой форме, которая не сохраняется, если выразить их через проекции векторов в какой-либо системе координат.

Заметим, что координатные оси Х, )',с не обязательно должны поворачиваться вместе подобно повороту твердого тела. Определение предусматривает и такие случаи, когда оси Х, 1', 2 поворачиваются независимо. Путем поворотов такого типа может быть совершен переход от любой прямолинейной системы координат к другой прямолинейной системе — правой или левой, оси которой Ориентированы совершенно произвольно. В частности, такими поворотами может бьггь осуществлена инверсия осей, т.

Характеристики

Список файлов книги