1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В правой системе координат направления Обхода контуров Е, Е, 1„ считаются положительными, если они находятся в праеовингповом соотношении с положительными иаправлениями координатных осей Х, )', 2 соответственно, а в левой системе — в левовипгповом. Это значит, например, что в правой системе координат вращение ручки буравчика с правой нарезкой в положительном направлении контура Е, приводит к поступательному перемещению буравчика в поло- Рис.
15. жптельном направлении Оси Л. В левой системе будет то же самое, если взять буравчик с левой нарезкой. При таком соглашении о знаках площади 5„, 5„, 5, представляются интегралами 5,= — ~ дг(г, 5„= ~ гйх, 5,= ~ хг(у„(7.2) взятыми по контурам Е„, Ел, Е„ независимо от того, применяется ли правая или левая система координат.
Мы утверждаем, что тройка чисел 5„, 5, 5, образует вектор, с одной оговоркой, о которой будет сказано ниже. Для доказательства рассмотрим сначала частный случай, когда коитур плоский. Вдоль нормали к плоскости контура отложим направленный отрезок А, длина которого численно равна площади 5, ограниченной контуром Е, а направление находится в правовинтовом соотношении с направлением обхода по контуру, если используется правая система координат, и в левовиитовом соотношении, если используется левая система (рис.
16). Сначала будем пользоваться системами координат только какого-либо определенного типа: либо только одними правыми, либо только одними левыми. Построенный нами отрезок А совершенно не зависит от выбора координатных осей, а потому является вектором. Его проекции иа координатные КИНЕМАТИКА !ГЛ. 1 5,=~; 51„ 1=1 5„= ~' 5;„ где 5;„5;„, 5;. — проекции на те же плоскости бй элементарной области. Число и можно взять сколь угодно большим и рассматривать каждую малую область 5; '! как плоскую. Тогда на основании доказанного можно утверждать, что 5;„ 5Н 5;, образуют вектор.
Будет образовывать вектор и тройка ~ чисел 5,, 5„, 5., так как эти числа получаются путем сложения ком— — понентов векторов 5ь 10. В одном отношении, однако, 1 тройка чисел 5„ 5,, 5, отличается от вектора. Зтн числа преобразуютРис. 17. ся так же, как компоненты вектора при вращении координатнои системы как целого, когда система координат все время остается либо правой, либо левой. Однако они ведут себя существенно иначе при переходе от правой системы координат к левой или наоборот, например, при инверсии координатных осей.
В этом случае для нахождения направления 5 надо перейти от одного винта к другому. Если в правой системе координат величину 5 изобразить стрел- оси равны А = А сов (А, Х), А„ = А сов (А, У), А, = А соз(А, 2), С другой стороны, по известной геометрической теореме 5,=5 сов(А, Х), 5,=5соз(А, У), 5,=-5 сов(А, Л). Так как длину А мы выбрали численно равной 5, то в любой системе координат 5, =-А, 5х ==-А „5,= А,. Отсюда следует, что при вращении координатной системы 5„5, 5, преобразуются так же, как компоненты вектора А.
Поэтому 5„5,, 5, образуют вектор. Его д мы будем обозначать 5 и называть вектором площади, ограниченной ориентированным контуром 1,. В этом смысле Г говорят, что площадь является векто4иЬт ром. Эго утверждение доказано нами сесяела аалелв для плоских контуров и плоских пло:цадей. Рис. !6. Обобщение на случай неплоских контуров и площадей не представляет затруднений. Пусть 1.
— такой контур. Натянем на него совершенно произвольную поверхность и разобьем ее на достаточно большое число н малых ориентнрованных областей, как указано на рис. 17. Проектируя их на координатные плоскости, получим о вектоглх и сложении движении кой, то при переходе к левой направление стрелки надо изменить на противоположное. Величины такого типа называются псевдовекторами или аксиальными векторами, в отличие от полярных векторов, которые мы рассматривали до снх пор. При повороте координатной' системы как целого акгиальные векторьс ведут себя в спочности так же, как и полярные векторы.
При инверсии координатных <кей компоненты полярных векторов меняют знаки, в то время как компоненты аксиальных векторов остаются неизменными. Можно было бы обойтись н без введения аксиальных векторов. Но тогда не все формулы имели бы одни и тот же внд в правых и левых координатных системах. Например, если бы в правых системах координат мы определили тройку чисел 5„5„, 3, формулами (7.2), а в левых — теми же формулами, но с измененными знаками, то такая тройка чисел образовывала бы полярный вектор.
Аксиальные векторы для того и вводятся, чтобы все формулы имели совершенно одинаковый вид в правых и левых системах координат. Аналогично, наряду с истинными скалярами вводятся так называемые псевдоскаляры. Скаляр или инвариант есть число, остающееся неизменным во всех систел<ах координат, как правых, так и левых. Псеедоскаляр или псевдоинвариант остаеспся неизменным при переходах от правых сисспем координат к правым же или от левых к левым же. При переходе же от правой < истемы к левой или наоборот псевдоскаляр меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине.
Произведение псевдоскаляра на полярный веюпор есть вектор аксиальный. Произведение псевдоскаляра на аксиальный вектор есть вектор полярный. Если пользоваться одними только правыми илн одними только левыми системами координат (а в физике, как уже упоминалось, применяется почти исключительно правая система), то отпадает необходимость разделения векторов на полярные и аксиальные, а скаляров — на истинные скаляры н псевдоскаляры. Операция сложения двух векторов имеет смысл только тогда, когда вкладываемые векторы оба полярные или оба аксиальные. Сумма а + Ь не имеет смысла, если один из векторов полярный, а другой — акснальный.
Сумма такого рода непреобразовывалась бы по правилу преобразования полярного нли аксиального вектора, а потому она не могла бы быть ни тем, ни другим. 11. Частным случаем вектора, представляющего площадку или поверхность„является так называемое векторное произведение двух векторов а и Ь. Оно определяется как вектор площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Чтобы ориентировать этот параллелограмм„ надо обходить его периметр от начала вектора а к его концу, затем от конца вектора а параллельно вектору Ь и т.
д., пока при таком обходе мы не вернемся в исходную точку (рнс. 18). Короче говоря, первый вектор и надо проходить в прямом, а второй вектор Ь вЂ” в обратном направлениях. В согласии с 58 КИНЕМАТИКА (ГЛ. 1 изложенным выше векторное произведение можно изобразить стрелкой, направленной перпендикулярно к плоскости параллелограмма и находящийся в нужном винтовом соотношении с направлением обхода периметра параллелограмма. Длина стрелки численно равна площади параллелограмма, т. е.
аЬ з[п б, где б — угол между векторами а и Ь. Векторное произведение мы будем обозначать 4" Лейн аааагагга Тграбан саазала Рис. !8. символом с = [аЫ, т. е. будем заключать векторы а и Ь в квадратные скобки. Часто употребляется также косой крест: с = а х Ь. Если векторы а и Ь вЂ” полярные, то векторное произведение их будет вектором аксиальным.
Векторное произведение полярного вектора на аксиальный есть вектор полярный. Векторное произведение двух аксиальных векторов есть также аксиальный вектор. ЗАДАЧИ !. Доказать, что если а и Ь вЂ” два полярных или два аксиальных вектора, то в прямоугольных системах координат выражение ать + азь„+ а,ьа есть инвариант, (Это выражение называется скалярным проиэйезением векторов а и Ь и обозначается символом (аЬ) или аЬ.) У к аз а н не. Воспользоваться инвариантами о'+ а'„+ а;, Ь'+ Ь,', + Ь', и (а, + Ьз)а+ (а„+ Ья)'+ (аа -Ф- Ь,)'. 2.
Доказать, что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр (псевдоинварнант). 3. Доказать, что скатярное произведение любых двух векторов а и Ь представляется выражением (аЬ) = аа соз О, где 6 — угол между этими векторами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Направим ось Х вдоль вектора а. Тогда о = а, = = О, Ь, = Ь соз О. Так как скалярное произведение (аЬ) == а,,ь„+ ааьч + а,Ь есть нйвариант, то (аЬ) =- а„Ь„= аЬ соз О.
4. Скалярное произведение вектора а на векторное произвечение других двух векторов [Ьс| называется смешанным пронзведевием трех векторов а, Ь, с и обозначается (а[во)). Показать, что оно является псевдоскаляром, если один из зтих векторов или все три полярные. Если же полярных векторов два или совсем нет, то смешанное произведение будет скалярам (инвариантом). Показать, что смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, е. Пользуясь этим, доказать, что (а [Ьс|) =(Ь [са|) =(с [аЬ!]= — (а [сЬ[) = — (Ь [ас|) = — (с [Ьа|), (7.3) О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ я т! т.
е. смешанное произведение нв меняется лри любой циклической перестановке перемнолсаемых векторов, а при нарушении пикличности меняет знак. б. Доказать формулу [а ] Ьс]] = (ас) Ь вЂ” (аЬ) с. (7А) До к аз а тел ь ство. Представим вектор а в видел = а, + ай, где ав — составляющая вектора а вдоль вектора г( — ]Ьс], а а, — составляющая, [~г„е) перпендикулярная к й. Тогда [а [Ьс]] = [ай]=[айм).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
