1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Границы ее применимости определяются соотношением неопределенностей (5.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными значениями координаты и скорости. Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию бх тбо) б.
Для макроскопическнх тел практическая применимость классического способа описания движения не вызывает сомнений. Допустим, например, что речь идет о движении шарика с массой т = 1 г. Обычно положение шарика практически может быть определено с точностью до десятой или сотой доли миллиметра, Во всяком случае вряд'ли имеет смысл говорить об ошибке в определении положения шарика, меньшей размеров атома. Положим поэтому бх =- 10 ' см. Тогда из соотношения неопределенностей (5.1) найдем 6,63. 16 е" бо) ', 10" см/с.
Одновременная малость величин бх и бо н является доказательством практической применимости класснческого способа описа- 44 кинел!Лтикл ния движения для макроскопических тел. Не так обстоит дело, когда речь идет об атомных явлениях — явлениях, происходящих с частицами очень малой массы в очень малых объемах пространства. Рассмотрим, например, движение электрона в атоме водорода.
Масса электрона и = 9,1! 10" г. Ошибка в положении электрона бх во всяком случае не должна превышать размеры атома, т. е, должно быть бх (!О' см. Но тогда из соотношения неопределенностей получаем Ь 663 1О" бо) мх« —— 611 Ю-«Ю-< 7 10' см/с. Эта величина не меньше, а даже больше самой скорости электрона в атоме, которая по порядку велнчииы раина 10' см!с.
При таком положении классическая картина движения теряет всякий смысл. й 6. 0 смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам !. Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференцированием. Понятие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. Именно задача об определении скорости произвольного движения привела к этому понятию Ньютона, который, наряду с Лейбницем (1646 — 1716), является основоположником ах дифференциального и интегрального исчислений.
Обозначение —— ах для производной принадлежит Лейбницу. На символ -- в матемаа1 тике следует смотреть как иа единое целое, а не как иа отношение двух <бесконечно малых» приращений дх и а1. Смысл производной ах х =- — точно определен соотношением (3.4). Сначала надо образолу ах вать отношение конечных приращений —, предполагая, что 61 ие равно нулю. Затем путем преобразований этого отношения или каким-либо иным способом следует совершить переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сначала совершен какой-то предельный переход от бх и б! к «бесконечно малым» величинам дх и Ш, называемым дифференциалами функции х и ах аргумента 0 а затем взято отношение этих дифференциалов — „.
Такой взгляд на производную существовал в начальной стадии развития дифференциального исчисления. Однако ои не совместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще лишен смысла. Правда, можно так определить дифференциалы дх и д1, что их отношение сделается равным производной х. В математике дифференциал Ж определяется как произвольное приращение 45 О СМЫСЛЕ ПРОИЗВОДНОГ! И ИНТЕГРАЛА 4 б] аргумента 1, а дифференциал функции Г1х — с помощью соотношения йх == ход Но теперь в утверждении, что производная есть отношение двух конечных величин Г1х и б11, нет ничего удивительного, это — простая тавтология, иной способ выражения.
Первичным, по-прежнему, является понятие производной, а не дифференциала. Однако в приложениях математики к физике надо считаться с тем, что физические величины получаются в конце концов в результате конкретных измерений, а все измерения сопровождаются ошибками и вносят искажения в естественный ход явлений.
Зто обстоятельство, строго говоря, делает невозможным предельный переход М вЂ” ~ О, Лх- О, вводимый в математике при определении производной. Допустим, например, что измеряется скорость дви. жущейся пули в воздухе. Задача сводится к измерению расстояния Лх и промежутка времени М, за который пуля проходит это расстояние. Если время М взять очень большим, то за это время скорость пули может заметно уменьшиться из-за сопротивления возЬх духа. Отношение - — в этом случае может оказаться заметно меньше скорости пули в рассматриваемый момент времени. Уменьшая время М, мы заметим, что, начиная с определенного момента, Лх отношение в пределах доступной точности измерения перестает изменяться, если отвлечься от случайных ошибок, сопровождающих каждое измерение.
Дальнейшее уменьшение М бессмысленно. Оно может только ухудшить дело, так как при дальнейшем уменьях шенин М отношение — начинает изменяться снова и притом все ЛГ более и более нерегулярно. Оно принимает различные значения от очень больших до очень малых. Зто обусловлено тем, что относительная точность любого измерения тем меньше, чем меньше измеряемая величина. Не представляет, например, особо большого труда измерить длину в один метр с точностью до одного миллиметра, т. е. с относительной точностью 1/!000. Но измерить с такой же относительной точностью длину в один миллиметр значительно труднее. Чем меныпе М, тем меньше точность, с которой Лх мы вычисляем отношение —. Если ОГ уменьшать беспредельно, ДГ ' Лх то вычисленные значения отношения не будут стремиться ни к какому определенному пределу. Зто показывает, что в рассматриваемом примере из-за ошибок измерений предельный переход к Л1 — «О не может быть осуществлен в строго математическом смысле.
Вычислить истинную скорость или производную о = х из физических намерений можно лишь приближенно, отождествляя Лх ее с отношением конечных приращений —. Оптимальная величина дг' КИ Н ЕМ АТИ К А 1гл. ь времени Лу, при которой точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями. Малые, но конечные приращения Лх и Л(, отношение которых с достаточной точностью аппраксимирует производную х, физик называет бесконечно малыми или, полнее, физически бесконечно малыми величинами. Он обозначает их посредством с(х и Ж и обращается с ними как с математическими дифференциалами. Таким образом, в физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений функйии и аргумента, а не как предел этого отношения. Однако не только ошибки измерений могут сделать невозможным практическое выполнение предельного перехода в строго математическом смысле.
Такая невозможность может быть и принципиальной, обусловленной самой природой физических величии н физических законов. Так, точное выполнение предельного перехода невозможно из-за соотношения неопределенностей (5.1) Действительно, если промежуток времени Л1 стремится к нулю, то при этом будет стремиться к нулю и проходимое расстояние Лх. Неопределенность бх в ьзмерении проходимого расстояния не должна превосхоАх дить Лх. Иначе вычисление средней скорости по формуле о,р —— потеряло бы всякий смысл.
Таким образом, при Л1- О должна ,стремиться к нулю и неопределенность в координате Ьх. Но тогда, согласно соотношению (5.1), неопределенность скорости бо будет стремиться к бесконечности, Это значит, что ошибка, которую мы делаем при вычислении скорости о по формуле (3.3), сколь угодно велика по сравнению с самой скоростью о. 2. Изложенные выводы относятся не только к производной координаты, но и к производным всяких физических величин. Допустим, например, что требуется определить плотность вещества в какой-либо точке пространства. С этой целью можно поступить следукщим образом.
Окружим рассматриваемую точку замкнутой поверхностью, ограничивающей объем Л'р', Обозначим через Лт массу вещества, содержашегося в этом объеме. Отношение Ьт Рср называется средней плотностью вещества в объеме Л$'. Средняя плотность, вообще говоря, зависит от величины и формы объема Л Г, внутри которого находится рассматриваемая точка. Чтобы исключить эту зависимость, вводят понятие истинной плотности вешества, определяя ее путем предельного перехода Л'р'- О.
Обычно говорят, что при этом средняя плотность р,р стремится к определенному пределу р, который и называется истинной плотностью вещества в рассматриваемой точке пространства: Лп1 ат р= 1пп — = —. ър апр (6.1) $6] О СМЫСЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА Истинная плотность определяется, таким Образом, кан производная массы по сбъелгу. Эта величина зависит только от положения точки, к которой она относится.
Однако, если в формуле (6.1) предельный переход понимать буквально в строго математическом смысле, то для реальных тел он выполнен быть не может из-за атомистической структуры вещества. При уменьшении объема в нем рано или поздно окажется лишь небольшое число молекул, например, одна или даже ни одной молекулы. Кроме того, молекулы совершают беспорядочные тепловые движения, одни молекулы уходят из объема ЛУ, другие вступают в него. Ввиду этого число молекул в фиксированном малом объеме ЛУ весьма быстро и беспорядочно меняется во времени.
При уменьшении ЛУ отношение дпг — будет быстро и беспорядочно меняться от нуля, когда внутри объема ЛУ нет молекул, до очень больших значений, когда в него попадет одна илн несколько молекул, При бесконечном умеиьшеЛы нии ЛУ отношение — не будет стремиться к определенному преЛр делу.
Ввиду этого при определении истинной плотности вещества нельзя брать величины Лггг и ЛУ сколь угодно малыми. Объем ЛУ должен иметь макроскопическне размеры, т. е. содержать еще очень большое число молекул. Но он должен быть и достаточно мал, чтобы содержащееся в нем вещество могло рассматриваться приближенно как макроскопически однородное. Еслгг оба этн требоЬгг~ вання выполняются, то отношение — — будет иметь практически лг' вполне определенное значение, не меняющееся прн дальнейшем уменьшении макроскопического объема ЛУ. Это отношение мы и принимаем в физике за производную массы т по объему У.
Величины Лт и ЛУ, удовлетворяющие указанным двум требованиям, в физике рассматриваются как физически бесконечно малые, и с ними физика обращается как с математическими днфференцналамн. Математически этому соответствует замена реального тела идеализированной моделью с непрерывным распределением масс. 3. Совершенно так же обстоит дело с понятием интеграла. В математике интеграл определяется предельным переходом ~ г" (х) г(х = 1 пи ~ г" (х;) Лхп Ьк. 0 Числовой промежуток (а, Ь) разбивается на и частичных промежутков Лх,, Лх.„.,., Лх„.,((лина каждого из ннх Лх; умножается на значение функции ) (х) в произвольной точке, лежащей внутри рассматриваемого частичного промежутка.
Затем составляется сумма ХГ (хг) Лх; и выполняется переход к пределу и — ОО в предположении, что длина каждого из часпгчных промежутков стремится к нулю. В физике, однако, из-за ошибок измерений или по 48 кинемхтикк принципиальным соображениям (например, из-за атомистической структуры вещества) деление промежутка (а, Ь) на частичные промежутки меньше определенной длины (величина которой зависит от конкретных условий) теряет смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
