1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Тогда мы придем к третьему закону Ньюпвна: Силы взаимодействия двух материальных точек равны по ве. личине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки. Одну из сил, л"-, или т.„согласно Ньютону иногда называют дейспзвием, а другую — противодейспшием, и формулируют тре- » 121 ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА тий закон следующим образом. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия».

Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление. Лействие — давление камня на стол— обусловлено деформацией камня, противодействие — давление стола на камень — обусловлено деформацией стола. В основе подразделения сил на с<действующие» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие. Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега. Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда.

Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую из сил Р, или ,г» назвать действием и какую противодействием — это в большинстве случаев вопрос соглашении. 2.

Третий закон Ньютона мы сформулировали для замкнутой системы, состоящей из двух взаимодействующих материальных точек. Постулируем теперь его справедливость для системы из произвольного числа материальных точек. Мы исходим из представления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного взаимодеиствия между материальными точками. Пусть г<<» — сила, с которой <ся материальная точка действует на к-ю, а»ч»< — сила, с которой й-я точка действует на»тю. Третий закон утверждает, что обе этн силы направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки, причем Р<» — -- — Р»<.

В таком понимании третий закон Ньютона позволяет выполнить переход от механики отдельной материальной точки к механике сисп<емы материальных точек. В частности, он позволяет распространить закон сохранения импульса на случай системы произвольного числа и взаимодействующих материальных точек.

Рассмотрим этот вопрос, а также другие связанные с ним важные вопросы. Силы, действующие на материальные точки системы, можно разделить на внутренние и внеи<ние. Внутренние силы — это силы взаимодействия между материальными точками самой системы. Выше мы обозначили их символами г<» с двумя индексами < и й, которые указывают, какие точки взаимодействуют. Внешние силы— это такие силы, с ксторыми на материальные точки системы (гл. н ЗАКОНЫ НЬЮТОНА действуют внешние тела. Согласно третьему закону Ньютона Р,» = = — Р»), т. е. Р(» + Р»( =- О.

Отсюда следует, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Запишем этот результат в виде собтношения К,«)+Рт))+...+Р()>=О, снабдив каждую силу верхним индексом (1), который указывает, что речь идет о внутренних силах. Нижний индекс обозначает номер материальной точки, на которую действует сила. Таким образом, Ро), например, обозначает полную внутреннюю силу, действующую на первую материальную точку. Обозначим далее СИМВОЛаМН Р(е), Р(Р), ...

ВНЕШНИЕ СИЛЫ, ДЕйСтВУЮЩНЕ На МатЕРИаЛЬНЫЕ точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона можно написать ри р()) 1 ре) ~У ,( е е ре р()) ) р.(е] или ~Р Р(е) Ф (12.3) где р — импульс всей системы, Р(е) — равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Таким образом, производная по времени от импульса системы материальных точек равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона. Уравнение (!2.3) является обобщением соответствующего уравнения для одной материальной точки. Допустим теперь, что геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (это имеет место, например, для замкнутой системы). 6(р Тогда -Р =О.

Производная постоянной величины равна нулю. л( Справедливо и обратное утверждение: если производная некоторой величины равна нулю, то эта величина постоянна. Поэтому нз последнего уравнения следует, что р = сопз(. Итак, если геометрическая сумма внешних сил, действующих на ссссо)ему, равна нулю, то импульс системьс сохраняется, т, е. не меняется со временем. В частности, это имеет место, когда система замкнута. Сложив почленно эти уравнения и приняв во внимание соотношение (12,2), найдем .— '((р(+ре+...+р.) = р~()+~()+.

+ р(), В1 ТРЕТИИ ЗАКОН НЬЮТОНА $121 Допустим теперь, что лай ~ О, однако равна нулю проекция силы,Р«) на какое-либо направление, например, на направление оси Х. Тогда из уравнения (12.3) следует, что для этой проекции — =О, а потому р„= сопз(. Таким образом, полный импульс (и системы не сохраняется, но сохраняется проекция импульса на направление оси Х. Например, импульс свободно падающего тела не может сохраняться, так как на тело действует вниз сила тяжести.

Под действием этой силы вертикальная составляющая импульса непрерывно изменяется. Однако горизонтальная составляющая импульса при свободном падении остается неизменной. (Мы учитываем действие только силы тяжести и отвлекаемся от силы сопротивления воздуха и прочих сил.) 3.

Относительно приведенного вывода закона сохранения импульса надо сделать следующее замечание. Вывод предполагает, что материальные точки замкнутой системы взаимодействуют между собой попарно, и это взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона. Для справедливости результата достаточно потребовать выполнения более слабого условия (12.2). Достаточно, чтобы обращалась в нуль геометрическая сумма внутренних сил, действующих в системе. Соблюдение этого условия, как будет показано в 3 38, является следствием весьма общего свойства пространства— его однородности.

Возможно, что и это более слабое условие не является необходимым. Возможно, что закон сохранения импульса останется справедливым даже в тех случаях, когда теряет смысл разделение системы на части и нельзя пользоваться представлением о силах взаимодействия между ними, а также другими представлениями и понятиями классической механики. Возможно, что такая ситуация встречается внутри атомных ядер илп при превращениях «элементарных» частиц. Опыт показывает, что закон сохранениг импульса, надлежащим образом обобщенный, является фундаментальным законом прирсдь1, не знающим никаких исключений.

Однако в таком широком понимании он уже не может рассматриватьсикак следствие законов Ньютона. 4. В нашем изложении закон сохранения импульса для замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек был постулирован. Его доказательством служил опыт.

Это было сделано для того, чтобы ввести понятие массы. Но можно ввести это понятие иначе, а именно определить отношение масс сравниваемых тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами. Зтот способ не требует предварительного измерения сил. Достаточно лишь располагать критерием равенства сил. Например, если на два тела последовательно подействовать одной и той же пружиной, растянутой на одну и ту же длину, то можно утверждать, что действующие на них силы одинаковы. В сущности, способ определения массы, использованный нами в $10, является частным 82 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [Гл. н случаем этого второго, более общего способа.

Он использует то обстоятельство, что два тела, приведенные во взаимодействие, подвергаются согласно третьему закону Ньютона, воздействию сил, равных по величине. Понятно, что если при определении массы не опираться на третий закон Ньютона, а пользоваться каким-либо другим независимым способом, то при доказательстве закона сохранения импульса не потребуется особо выделять случай двух взаимодействующих материальных точек. И в этом случае закон сохранения импульса будет теоремой механики. Определение массы, принятое нами в 2 10, обладает, однако, тем преимуществом, что оно не нуждается в указании дополнительного критерия, позволяющего судить о равенстве действующих сил. В общем случае такой критерий, не опирающийся на третий закон Ньютона, указать затруднительно. 5, Иногда взаимодействие двух тел А и В осуществляется посредством третьего тела.

Тогда мы имеем дело с системой трех тел, и надо принимать во внимание уравнение движения этого третьего Рис. 23. тела. Между тем во многих случаях рассуждают так, как если бы этого третьего тела совсем не было. Выясним, когда такой способ рассуждения допустим и не приводит к ошибкам. Для этого рассмотрим следующий пример. Тела А и В связаны между собой нерастяжнмой нитью (рис. 23). На тело А действует сила Р, натягивающая нить, вследствие чего оба тела А и В движутся с одним и тем же ускорением а.

Характеристики

Список файлов книги