1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если же 1(Г) не периодична, но ограничена, то время Т берут достаточно большим и переходят к пределу г,— т — ) П')д', Т и (25, 11) предполагая, нонечно, что предел существует. Если 1(1) есть 'производная оградф ниченной функции по времени: 1=-- ., то 1=- О. Действительно Ш' г+т 1' дф, . гр(1+Т) — ~р(1) )= Пгп — ~ —, Ш'= 11щ т'„Т,') д( ', „т ной кривой (л' = У (х) (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородное поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действием силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле У вЂ” У (х), если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию.
Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катался по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку А (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге АМВ между крайними точками А и В. Если его поместить в точку Р, то он сможет преодолеть потенциальный барьер ВЛгС и «уйти на бесконечность».
6. Для финитных движений справедлива так называемая гнеорема вириала, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована н доказана Клаузнусом (1822 — 1888). Для произвольной системы материальных точек можно написать 142 (ГЛ. 1Ч РАБОТА И ЭНЕРГИЯ Имея это в виду, усредним соотношение (25,9) по времени, устремляя Т к беско- нечности. Тогда для фнннтного движения последнее слагаемое в (25.9) даст нуль, н мы получим — 1 ъч К= — — ГЕ. 2 (25, 12) ЗАДАЧИ 1. Определить отношение потенциальных энергий деформации (?г и Уз двух пружин с коэффициентами упругости й, и йз в двух случаях:а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом Р (рнс.
46, а); б) пружины висят параллельно, причем груз Р подвешен в такой точне, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46, 6). Деформацией пружин под действием собственного веса пренебречь. лг Ответ. а) ---= — —; б) .— =- —. (?А й? и, й, О.,=й, и, Когда одна из пружин — очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенцяальиая энергия будет запасена в случае э) в более мягкой, а в случае б) — в более жесткой пружине, 2. Два протона с энергией Е = а) б) =0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое стол кРис.
46. ноаенне. Как близко могут сойтись они, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними? е' О та е т. г= . —, где е — заряд протона. Для вычислений формулу целе- 2Е' сообразно преобразовать, положив Е = еК.
Тогда г= — — = 1,4. 1О ы см е 27 (2)г =!0' В), Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен 10 'з см. Поэтому при расчете столкнове- ния протонов, энергии которых превосходят примерно 0,5МэВ, помимо электро- статических сил надо учитывать также ядерные силы. 3.
Трн электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильнопз треугольника со стороной а = 1 см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания. Определить предельное значение их ско- ростей. / 2ез О т не т. о= ' — =2,2 !О' смгс. /пп 4. Решить задачу 3 длн релятивистских скоростей.
Прн каких расстояниях а можно пользоваться нерелятнвистским приближением? ез еа 2шесз -+- Ответ. о=с а аз етзсз -'-— В случае фияитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно средвему по времени значению вирнала сил, действующих в си- стеме. Это и есть теорема вириала Клаузиуса. 4гш АБСОЛЮТНО НБУПРУГИЙ УДАР Нерелятивнстское приближение спраидливо при еа а)) —,=2,8 10 "см. т„са 5. При каких расстояниях а в залаче 3 кзантовыс поправки не играют роли? Ьз Ответ. При а)) — = 10 т гм. 2те' 6.
Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершинах квадрата со стороной а =- 1 см. После этого они начинают двигаться под деиствисм взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей. 'т' 2) еа О т в е т. о = )/ ) 2+ — ) — = 2,6 1от см,'с. 2)та 7. Материальная точка совершзет одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота хл н х !см. рнс, 45). Показать, что время движения ее от точки хл к точке х равно времени обратного движения от точки х, к точке х .
8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупругой силы г =- — Ах шгвершает колебания вдоль оси Х вокруг положения равновесия. Пользуясь теоремой вириала, показать, чэз средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы, 9. Идеально упругий шарик движется вверх и нннз в однородном поле тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической К и потенциальной и энергий. Р е ш е н и е, Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось Х вертикально нверх. Тогда сила давления пола на шарик не будет влиять на неличину вириала, так нак она действует только в таких положениях шарика, когда х = О. Надо учитывать только силу тянгести г =- — тд )минус потому, что сила г действует вниз, т.
е. в отрицательном направления оси Х). Вириал 1 1 1 этой силы равен — — Гх=- -тех= — и. По теореме вириала находим 2 2 2 й 26. Абсолютно неупругий удар 1. Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсол!сптио неупруеий удар.
Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе н движутся дальше как одно тело. Примером может служить попадание ружейной пули в подвижную мишень, например в ящик с песком, подвешенный на веревках. Пуля, застряв в песке, остается в ящике и движется дальше вместе с ним. Шары из пластилина или глины пр~ столкновении обычно слипаются и затем движутся вместе. Такое столкновение также может служить примером практически абсолютно неупругого удара. Точно так же столкновение двух свинцовых шаров можно с хорошим приближением рассматривать как абсолютно неупругий удар.
Физические явления при столкновении тел довольно сложны. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и РАБОТА И ЭНЕРГИЯ !ГЛ. 1Ч силы трения, в телах возбуждаются колебания и волны и т. д. Однако, если удар неупругий, то в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело. Вго скорость можно найти, не вдаваясь в механизм явления, а исполь- З зуя только закон сохранения импульса. иг Рассмотрим абсолютно неупругий лтг лг удар на примере столкновения шаров. Пусть шары движутся вдоль прямой, Рис. 47.
соединяющей их центры, со скоростями оз и тгз (рис. 47). В этом случае говорят, что удар является 2(ентральным. Обозначим через чз общую скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает гп1о1+гп2о2 (гп1+т2) о где тз и т, — массы шаров. Отсюда получаем Гпгсн + Шзвэ о= ГП„+ Гпз (2б.!) Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответственно 1, 1, 1 211 = 2 пзто1+ 2 тзоз 112 2 (гпз+гпз) о . Пользуясь этими выражениями, нетрудно получить 1 зтз )(2 2 Р'( 1 2) (26.2) где р = г"""* — приведенная масса шаров. Таким образом, /П1+ ГЛ2 при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на «вадра относите>гьной скорости, 2.
Неупругое столкновение тел всегда должно сопровождаться лотерей кинетической энергии макроскопического движения. действительно, согласно теореме Кенига, кинетическая энергия механической системы складывается из двух частей: 1) кинетической энергии движения системы как целого со скоростью ее центра масс; 2) кинетической энергии относительного движения материальных точек, на которые мысленно можно разбить систему, около ее центра масс. Обе части как кинетические энергии существенно положительны. Первая из них в результате столкновения тел не меняется в силу теоремы о движении центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
