1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поток будет отличен от нуля только через эти грани. Поэтому согласно теореме Гаусса 2БЕ = 4ле = 4лЗО, где 5 — площадь грани, а а — заряд, приходящийся на еди- ницу площади плоскости (поверхностная плотность за- ряда). Таким образом, Е=2ла. Мы видим, что поле бесконечной плоскости оказывается не зависящим от расстояния до этой плоскости. Другими словами, заряженная плоскость создает с каждой стороны от себя однородное электрическое поле.
Потенциал равномерно заряженной плоскости является линейной функцией расстояния х от нее, ~р = — 2лах -р сопз(. 5 22. Гравитационное поле Наряду с электрическим взаимодействием чрезвычайно важную роль в природе играет гравитационное взаимодействие. Это взаимодействие присуще всем телам, независимо от того, являются они электрически заряженными или нейтральными, и определяется только массами тел. Гравитационное взаимодействие заключается в том, что все тела притягивакпся друг к другу, причем сила этого взаимодействия пропорциональна произведению масс тел.
Если тела люжно рассматривать как материальные точки, то сила гравитационного взаимодействия оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и пропорциональной произведению их масс. Обозначая массы тел через ги, и гле и расстояние между ними через г, можно записать гравитационную силу, действующую между ними, в виде где 0 — универсальный коэффициент пропорциональности, не зависящий от природы взаимодействующих тел; знак минус указывает на то, что сила Г является всегда силой геквптгционпов полк притяжения. Зта формула выражает закон тяготения Ньютона.
Величина 6 называется граеитаг[ионной постоянной. Очевидно, б представляет собой силу, с которой притягиваются друг к другу две материальные точки с массами в один грамм, находящиеся на расстоянии в один сантиметр. Гравитационная постоянная имеет размерность [Е[[г[а (г.си сек а)сна сна рк[а гг г. сека и равна б бу, [[[-г см Чрезвычайно малая величина б показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае очень больших масс.
По этой причине гравитационное взаимодействие не играет никакой роли в механике атомов и молекул. С ростом массы роль гравитационного взаимодействия возрастает, и движение таких тел, как Луна, планеты, а также спутники, полностью определяется гравитационными силами. Математическая формулировка закона тяготения Ньютона для материальных точек аналогична формулировке закона Кулона для точечных зарядов.
Обе силы, как гравитационная, так и электрическая, обратно пропорциональны квадрату расстояния между материальными точками, причем роль массы в гравитационном взаимодействии играет заряд во взаимодействии электрическом. Однако в отличие от электрических сил, которые могут быть как силами притяжения, так и силами отталкивания,силы гравитационные всегда являются силами притяжения. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона мы положили равным единице и этим определили выбор единицы заряда, Очевидно, можно было бы поступить аналогичным образом и с законом тяготения Ньютона. Именно, если положить равной единице гравитационную постоянную, то тем самым мы установили бы некоторую единицу для массы.
Эта едпница будет, очевидно, производной по отношению к единицам см и сек, и ее размерность по относгаа шению к ним будет —. Новая единица массы представляег сгк' ' 1гл. и полк собой такую массу, которая сообщает равной ей массе, находящейся от нее на расстоянии 1 см, ускорение в 1 см/геке. Обозначая эту единицу массы через р, мы можем написать С=6,67.10 е =1 откуда р=-1,5 10' г=-15 тонн. Ясно, что эта новая единица неудобна и поэтому ею ие пользуются.
Однако мы видим, что, в принципе, можно построить систему единиц, в которой единственными произвольными единицами будут только единицы длины и времени, для всех же остальных величин, включая и массу, могут быть построены производные единицы. Такая система единиц на практике не применяется, но возможность ее построения лишний раз указывает на условность системы СГС. Имея выражение для силы гравитационного взаимодействия между двумя материальными частицами, легко найти их потенциальную энергию 17.
Действительно, написав общее соотношение — =-Р= — — С аи а,т, связывающее !/ и г, найдем и=- — С вЂ” —, причем мы положили произвольную постоянную и !/ равной нулю, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль при бесконечно большом расстоянии между частицами. Эта формула аналогична формуле !7 е1ею Г для потенциальной энергии электрического взаимодействия. Мы написали формулы для силы н потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух материальных точек.
Но эти же формулы справедливы для сил тяготения между любыми двумя телами, если только расстояние между ними велико по сравнению с размерами тел. Для тел же сферической формы формулы справедливы при любых расстояниях между теламн (в этом случае г обозначает расстояние между центрами сфер). Я 22) ггхвиткционпое поле бз Пропорциональность действующей на частицу силы тяготения массе этой частицы дает возможность ввести понятие о напрялгвнноети гравитационного поля (или поля тяготения) подобно тому, как это было сделано для электрического поля.
Именно, действующую на частицу с массой т силу Р представим в виде Р=та; где напряженность поля хг есть величина, зависящая только от масс и расположения тел, создающих поле. Так как гравитационное поле подчиняется закону Ньютона, математически аналогичному закону Кулона для поля электрического, то для гравитационного полн также справедлива теорема Гаусса. Разница будег заключаться только в том, что вместо заряда в теореме Гаусса будет фигурировать теперь произведение массы на гравитационную постоянную. Таким образом, поток гравитационного поля через замкнутую поверхность равен — 4птС, где т — сумма всех масс, находящихся внутри этой поверхности; знак минус связан с притягивательным характером сил тяготения.
Пользуясь этой теоремой, можно, например, определить напряженность гравитационного поля внутри однородного шара. Эта задача в точности соответствует рассмотренной в $ 2! задаче об однородно заряженном шаре. Воспользовавшись полученным там результатом, мы можем сразу' написать 4я д = — — Срг, з где теперь р — плотность массы шара. Силу тяготения, действующую на тело вблизи земной поверхности, называют весом тела Р. Расстояние от тела до центра Земли есть )г+г, где Я вЂ” радиус Земли, а г — высота тела над ее поверхностью. Если высота г очень мала по сравнению с )г, то ею можно пренебречь, и тогда вес тела т~И Р--С л— где М вЂ” масса Земли. Если представить эту формулу в виде Р= ту, [гл.
и поле то Постоянную величину д называют в этом случае ускорением силы тяжести. Это есть ускорение свободного падения тела в поле тяготения Земли. На высотах г, иа которых силу тяжести можно считать постоянной, потенциальная энергия тела выражается следующей формулой: (/ .=- Ре = п3Я, Это видно из полученной в $ 10 общей формулы для потенциальной энергии в однородном поле, если учесть также, что в данном случае сила направлена вниз, т. е. в сторону уменьшения г. Ускорение силы тяжести ц в действительности неодинаково в разных точках земной поверхности, так как последняя не имеет точно сферической формы. Кроме того, следует иметь в виду, что благодаря вращению Земли вокруг своей оси возникает центробежная сила, которая действуег в сторону, противоположную силе притяжения.
Поэтому следует ввести эффективное ускорение силы тяжести, которое меньше ускорения силы тяжести на гипотетической покоящейся Земле. Это ускорение равно на земных полюсах л=-983,2 с" , а на экваторе у=978,0 -'--„-. сек' ' ык- "' Иногда значение д фигурирует в определении единиц измерения физических величин (например, силы и работы). Для этих целей условно пользуются стандартным значением 980 885 сл очень близким к ускорению силы тяжести на широте 45'. й 23. Принцип эквивалентности Пропорциональность силы тяготения массе частицы, на которую она действует (Р'=ту), имеет очень глубокое физическое содержание.
Так как приобретаемое частицей ускорение равно действующей на нее силе, деленной на массу, то ускорение тв, в 23) пгинцнп эквив»леятмости 71 испытываемое частицей в гравитационном поле, совпадает с напряженностью этого поля: «в =-я; т. е. не зависит от массы частицы. Другими словами, гравитационное поле обладает замечательным свойством: все тела, независимо от их массы, приобретают в нем одинаковые ускорения (это свойство было впервые открыто Галилеем в его опытах над падением тел в поле тяжести Земли). Аналогичное поведение тел мы обнаружили бы в пространстве, в котором на тела не действуют никакие внешние силы, если наблюдать их движение с точки зрения неинерциальной системы отсчета.
Представим себе, например, ракету, совершающую свободное движение в межзвездном пространстве, где можно пренебречь воздействием на нее сил тяготения. Предметы внутри такой ракеты будут «парить», оставаясь неподвижными по отношению к ней. Если же ракета получит некоторое ускорение «в, то все предмегы в ней будут «падать» на пол с ускорением — я. Таким же образом вели бы себя тела в ракете, движущейся без ускорения, если бы в ней действовало однородное гравитационное поле с напряженностью — чв, направленной к полу ракеты.
Никаким экспериментом нельзя было бы отличить, находимся мы в ускоренно движущейся ракете или же в однородном поле тяготения. Эта аналогия между поведением тел в гравитационном поле и в неинерциальной системе отсчета представляет собой содержание так называемого принципа эквивалентности (фундаментальный смысл этой аналогии выясняется полностью в теории тяготения, основанной на теории относительности). В изложенном рассуждении мы говорили о ракете, движущейся в пространстве, свободном от поля тяготения. Эти рассуждения можно и «обратить», рассмотрев ракету, движущуюся в гравитационном поле, скажем в поле тяготения Земли.
«Свободно» (т. е. без двигателей) движущаяся в таком поле ракета приобретает ускорение, равное напряженности поля а. Ракета представляет собой при этом неинерциальную систему отсчета, причем влияние неинерциальности на движение относительно ракеты находящихся в ней тел как раз компенсирует влияние поля тяготения )гл. и поля В результате возникает состояние «невесомости», т. е. предметы в ракете ведут себя так, как если бы они находились в инерциальной системе отсчета в отсутствие какого- либо поля тяготения.
Таким образом, рассматривая движение по отношению к надлежащим образом выбранной неинерциальной системе отсчета ~в данном случае по отношению к ускоренно движущейся ракете), можно как бы «исключить» гравитационное поле. Это обстоятельство является, разумеется, другим аспектом того же принципа эквивалентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
