1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 9
Текст из файла (страница 9)
И = [аУЧ, где Р— полный импульс системы. Но для замкнутой систе- мы Р есть постоянная величина. Мы видим, следовательно, что изменение выбора начала координат не отражается на постоянстве полного момента замкнутой системы. Обычно принято определять момент системы частиц, выбрав в качестве начала отсчета радиусов-векторов центр инерции системы. Именно такой выбор мы и будем подразу- мевать в дальнейшем. Определим производную по времени от момента импуль- са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ- ведения имеем — „; =- —,— [гр1 = ~[ —, р [+ [г — „ «г Так как — есть скорость о частицы, а р=-т«г, то первый Н член есть т(оо1 и равен нулю, поскольку равно нулю век- торное произведение любого вектора самого на себя.
Во втором члене производная — — есть, как мы знаем, действуюлр сн щая на частицу сила Р. Таким образом, —,= [г Г1. Ж «Й Векторное произведение (гр! называют моментом силы (относительно заданной точки О); мы будем обозначать его посредством К: К= [гр(. Аналогично сказанному выше о моменте импульса можно сказать, что величина момента силы равна произведению величины силы Е на ее «плечо» й, т. е. на длину перпенди- куляра, опущенного нз точки 0 на направление действия силы К=«т'г. Таким образом, скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту действующей на нее силы: Ж вЂ” = К.
йг 4э ф 15) мОмент импульсл Полный момент импульса замкнутой системы сохраняется; это значит, что производная по времени от суммы моментов, входящих в систему частиц, равна нулю: — „и,,'-с„-;-...) = — „'+„; ...==о. Отсюда следует, что к,+к,—; —... =-о. й1ы видим, что в замкнутой системе не только сумма действующих на все частицы сил ($ 7), но и сумма моментов снл равна нулю. Первое из этих утверждений эквивалентно закону сохранения импульса, а второе — закону сохранения момента импульса.
Существует глубокая связь между этими свойствами замкнутой системы и основными свойствами самого пространства. Пространство Однородно. Это значит, что свойства замкнутой системы не зависят от ее местоположения в пространстве. Представим себе, что система частиц испытывает бесконечно малое смещение в пространстве, при котором все частицы в ней перемещаются на одинаковое расстояние в одном и том же направлении; обозначим вектор этого смещения через 4444.
Над 4ей частицей при этом производится работа, равная ЕфВ Сумма всех этих работ должна быть равна изменению потенциальной энергии системы; по независимость свойств системы от ее местоположения в пространстве означает, что это изменение равно нулю. Таким образом, должно быть г,ж+гж+... =~);+к,+...) ж=-о.
Поскольку это равенство должно иметь место при любом направлении вектора дгт, то отсюда следует, что должна быть равна нулю сумма сил г,+Г,+... Мы видим, что происхождение закона сохранения импульса связано со свойством однородности пространства. Аналогичная связь имеется между законом сохранения момента импульса и другим основным свойством пространства — его изотрюпией, т. е. эквивалентностью всех направлений в нем. В силу этой изотропии свойства замкнутой системы не изменятся прн любом повороте системы как [гл. ~ МЕХАИИКА ТОЧКИ целого, а потому должна быть равна нулю производимая при таком повороте работа.
Можно показать, что из этого условия вытекает равенство нулю суммы моментов сил в замкнутой системе (мы вернемся еще к этому вопросу в З 28). й 16. Движение в центральном поле Закон сохранения момента выполняется для замкнутой системы, а не для отдельных входящих в ее состав частиц. Но возможен случай, когда он выполняется для одной частицы, движущейся в силовом поле.
Для этого необходимо. чтобы поле было центральным. Х(ентральньпк называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частипы является функцией только от расстояния г до определенной точки — центра поля: Хl=-Х/(г). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния г и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля. Хотя частица, движущаяся в таком поле, и пе представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля.
Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. бх Согласно уравнению — = К отсюда следует, что Х.=сонэ(. Поскольку момент Х,=-ш[гв[ перпендикулярен направлению радиуса-вектора г, то из постоянства направления Х. следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной направлению Х.. Таким Образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам— орбитам„лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.
Закону сохранения момента импульса при таком «плоскомх движении можно придать наглядную форму. Для этого запишем Х, в виде Х.=т[гв)=т [г — ~ =-тп — ' бэ 1 !гба[ б1 б' б1 й 16) ДВЯЖЬПИЕ В ЦЕПТРЛЛЬНОИ ПОЛЕ где да†вектор перемещения материальной точки за время аг'. Величина векторного произведения двух векторов геометрически представляет собой, как известно, площадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенною па векторах дл и г, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора ОАА' !рис. !7), описанного радиусом-векторам движущейся точки за время а!. Обозначив эту площадь через Ж, можно записать величину момента в виде !. =-2т — „ Величина — называет- !!5 и! ся сектора алькой ско- Рнс. !7.
ростью. Таким образом, закон сохранения момента импульса можно сформулировать как постоянство секториальной скорости: радиус-вектор движущейся точки описывает за равные времена равные площади. В таком виде это утверждение называется вторым законом Кеплера. Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к пей сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек — так называемая задача двух тел.
Рассмотрим это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарным импульс частиц равен нулю: т,т!! + тес!, = О, где е„т!,— скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц т! = е! — т!,. Из этих двух равенств легко получить формулы т1 — Ю, т,-1-т, выражаюп!ие скорости каждой из частиц через их относительную скорость: 52 (ГЛ.
2 МЕХАИИКА ТОЧКИ Подставим эти формулы в выражение полной энергии частиц где 0(г) — взаимная потенциачьная энергия частиц как функция их относительного расстояния г (т. е. абсолютной величины вектора г =㻠— н«). После простого приведения т»2 членов получим Е = —,+(l (г), где л2 обозначает велиг чину т= т»т 2 т,+т« * называемую приведенной массой частиц. Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой гп двинг гачась со скоростью н= — в центральном внешнемполес = К2 потенциальной энергией У(г).
Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле. Если зта последняя задача решена (т. е. найдена траектория г=г(2) «приведенной» частицы), то можно непосредственно найти и реальные траектории двух частиц «п« и л22 по формулам т, т» Г'2 = г, г,=— г. т,+т, ' т,+т, связывающим радиусы-векторы частиц г„и г» относительно их центра инерции с их взаимным расстоянием г=г,— г« (эти формулы вытекают из соотношения т»ю'2+т«г»=0 и соответствуют приведенным выше аналогичным формулам для скоростеи т22 = — и 222 =- — . Отсюда видно„что й; кг,~ 1= «и 2=,22 Обе частицы будут двигаться относительно центра инерции системы по геометрически подобным траекториям, отличающимся лишь своими размерамн, обратно пропорциональными массам частиц: «2 т„ Г« т» В течение движения частицы всегда находятся на концах некоторой прямой, проходящей через центр инерции.
Глава П ПОЛ Е $17. Электрическое взаимодействие В предыдущей главе мы дали определение понятию силы и связали силу с потенциальной энергией. Теперь мы перейдем к конкретному разбору некоторых из тех взаимодействий, которые лежат в основе различных физических явлений. Одним из наиболее важных видов взаимодействия в природе является электрическое взаимодействие. В частности, силы, действующие в атомах и молекулах. имеют в основном электрическое происхождение; поэтому главным образом это взаимодействие определяет внутреннюю структуру различных тел. Силы электрического взаимодействия связаны с существованием особой физической характеристики частиц— электрического заряда. Тела, не несущие электрических зарядов, электрически между собой не взаимодействуют. Если тела можно рассматривать как материальные точки, то сила электрического взаимодействия между ними пропорциональна произведению зарядов этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Это положение называется законом Кулона. Обозначив силу электрического взаимодействия через Г, заряды тел через е, и е, и расстояние между ними через г, можно записать закон Кулона в виде Г= — сопй — --. е,е, гм Сила г направлена по прямой, соединяющей заряды, и может, как показывает опыт, в одних случаях приводить к притяжению, а в других — к отталкиванию заряженных тел. Поэтому говорят о зарядах разных знаков: тела, заряженные зарядами одного знака, отталкиваются друг от полк )гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
