1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Проходя друг мимо друга, они взаимодействуют между собой, в результате чего могут происходить самые различные процессы — тела могут соединиться вместе, могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место маххннкл точки [гз. т упругое аполкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением вяутреннега состояния тел, называются неупругили. Происходящие в обычных условиях столкновения обычных тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими — уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т.
е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль, так как с такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений. 1-1о и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими. Рассмотрим упругое столкновение двух частиц с массами и, и и,. Обозначим скорости частиц до и после столкновения соответственно через ю,, п, и е,', и,'. Будем считать, что одна из частиц — пусть это будет частица и,— до столкновения покоилась, т.
е. п,=О. Поскольку при упругом столкновении внутренние энергии частиц не меняются, то их можно вообще не учитывать при применении закона сохранения энергии, т. е. считать как бы равными нулю. Так как до и после столкновения частицы предполагаются невзаимодействуюшими, т. е. свободными, то закон сохранения энергии сводится к сохганению кинетической энергии: гп1п1 т101~ + пхни (обший множитель 1/2 мы опустили).
Закон же сохранения импульса выражается векторным равенством глРг = %пз + шгпа ° Очень прост случай, когда масса первоначально покоившейся частицы значительно больше массы налетаюшей на нее частицы, т. е. т,>)т,. Из формулы 9', = — (Ф, — Ф[) т, следует, что при и -'эгтг скорость э,' будет очень малой. Аналогичное заключение можно сделать и об энергии этой первоначально покоившейся частицы, так как произведе- ф 141 уджуГие столкновения ние т,а'дд будет обратно пропорционально массе и,. Отсюда можно заключить, что энергия первой (налетающей) частицы в результате столкновения не изменится, т. е.
не изменится и абсолютное значение скорости этой частицы. Таким образом, при столкновении легкой частицы с тяжелой может измениться только направление скорости легкой частицы, величина же ее скорости останется неизменной. Если массы сталкивающихся частиц одинаковы, то законы сохранения приобретают вид Фд = юд + тдд ~ ой и'д 1 и'2 Первое из этих соотношений показывает, что векторы ед, дд,' и чд', образуют треугольник, а из второго соотношения следует, что этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой чдд.
Таким образом, при столкновении частиц с одинаковыми пд У пУ массами, они разлетаются под прямым 8 углом (рис. 11). Рассмотрим далее «лобовое» столкновение двух частиц. В результатета- Рис. 11. кого столкновения обе частицы будут двигаться вдоль одной прямой, совпадающей с направлением скорости налетающей частицы. В этом случае мы можем заменить в законе сохранения импульса векторы скоростей их величинами, т. е. записать его в виде тдп,', = тд (од — о,'). Присоединив сюда закон сохранения энергии, согласно которому дпдод =Гюд (Од — од ), можно выразить пд' и о,' через о,. Разделив второе уравнение на первое, получим о,' = о,+о'„и, следовательно, 2дад С = — 6 .
тд+ Ид ° /Ид — /Лд од= Юд, /пд+ жд Налетаюдцая (первая) частица будет продолжать двигаться в том же направлении или же изменит свое направление на обратное, в зависимости от того, больше или меньше ее масса тд массы первоначально покоившейся частицы та. махлника тОчки [гл. ~ Если массы т, и и одинаковы, то и,' = О, о,' = — ам т. е. обе частицы как бы обмениваются своими скоростями. Если тД>т„то о, = — о, и о,=О. В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра инерции сталкивающихся частиц. В этой системе суммарный импульс частиц как до„так и после столкновения равен нулю. Поэтому, если обозначить импульсы первой частицы до и после столкновения через р и р', то импульсы второй частицы до и после пв и и столкновения будут — р и — р'.
Далее, приравнивая суммы ки- нетических энергий частиц до и К« после столкновения, мы найдем, что Ряс. 12. должно быть р' =- р', т. е. величина импульсов частиц остается неизменной. Таким образом, единственное, что происходит при столкновении,— это поворот импульсов частиц, изменение нх направления без изменения величины. Вместе с импульсами таким же образом меняются скорости обеих частиц— они поворачиваются, не меняя величины и оставаясь взаимно противоположными, как это изображено на рис. [2 (индекс «нуль» у скоростей стоит для указания на то, что онн относятся к системе центра инерции). Что касается угла, на который происходит поворот скорости, то он не определяется одними только законами сохранения импульса и энергии и зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении.
Для выяснения характера изменения скоростей в исходной или, как говорят, в лабораторной системе отсчета (в которой одна из частиц до столкновения покоилась) применим следующий графический прием. Г!остроим вектор 01, равный скорости п,„первой частицы в системе центра инерции (рис. [3). Эта скорость связана со скоростью ч», той же частицы в лабораторной системе отсчета (являющейся в то же время относительной скоростью обеих частиц) равенством Ф»о=⫠— !' где т,в„+т»в» в, Ф« т«+и» ад+ т» $141 УПРУГИВ СТОЛКНОВЕНИЯ есть скорость центра инерции. Произведя вычитание, получим формулу гис т'1о=ич 1 ги тч.
Скорость первой частицы после столкновения 41,'„получается поворотом скорости 4г, на некоторый угол О, т. е. мо- 1' жег изображаться любым радиусом О!' окружности, начер- и' им ченной на рис. 13. Йля перехода к лабораторной системе отсчета нужно прибавить ко всем А д скоростям скорость центра ШЯ гг 'гфтг инерции 1г. На рис. 13 она изображается вектором АО. Вектор А! совпадает тогда со скоРостью тгг налетающей ча- Рис. 13. стицы до столкновения, а вектор А!' даст искомую скорость той же частицы после столкновения. Аналогичное построение можно сделать для скорости второй частицы.
Рис. 14. На рис. 13 предполагается, что пт, с гпя, так что точка А лежит внутри окружности. При этом вектор А!', т. е, скорость е'„может иметь любое направление. из [гл. ~ мвхлникх точки Если же гл,)глм то точка А лежит вне окружности (рис.
14). В этом случае угол ср между скоростями частицы до и после столкновения (в лабораторной системе) не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего случаю, когда прямая А!' касается окружности. При этом сторона А!' треугольника А!'О будет перпендикулярна стороне О!', так что О!' ми Зщ тмаис Аб Заметим также, что скорость частицы после столкновения не может быть меньше некоторого минимального значения, достигаемого, когда точка !' иа рис. 13 (или на рис. 14) диаметрально противоположна точке !.
Этот случай соответствует лобовому столкновению частиц и минимальное значение скорости равно о = и . ) ги,— в«1 1 мии ф 15. Момент импульса Помимо энергии и импульса, для всякой замкнутой системы сохраняется еще одна векторная величина, называемая моментом импульса или просто моментом. Эта величина складывается из моментов отдельных материальных точек, которые определяются следующим образом.
Пусть материальная точка имеет импульс р, а ее положение относительно некоторого произвольного начала отсчета О определяется радиусом-вектором г. Тогда момент !. этой материальной точки определяется как вектор, по величине равный ! =грз(п0 (где 0 — угол между р и г) и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через направления 1э и г. Последнее условие само по себе еще не определяет полностью направления !., так как остаются две возчожности— «вверх» и «внизи.
Принято определять это направление так: если представить себе винт, вращасмый по направлению от г к !э, то винт будет перемещаться вдоль Х. (рис. 15). Величину !. можно представить еп;е п в другом, более наглядном виде, если заметить, что произведение из(п 0 й 151 юомеят импульсл есть длина Ьр перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса частицы (рис. 16); это расстояние часто называют плечом импульса относительно точки О. Момент частицы равен произведению плеча на величину импульса !.= рйг Приведенное определение вектора е, как раз совпадает с известным из векторной алгебры понятием еекторнога х l Рис.
!5. Рис. 16. произведения: вектор Ь, составленный по указанным правилам из векторов г и р, называют векторным произведением г и р и записывают следующим образом: е. = [гр[ или, поскольку р=тт1, е. =- в [ге). Этой формулой определяется момент отдельной частицы. Моментом системы частиц называется сумма е.= [гхрт)+ [г,рс[+... моментов отдельных частиц. Такая сумма для любой замкнутой системы остается постоянной во времени. В этом и заключается закон сохранения мол!еипа. Обратим внимание на то„что в определении момента фигурирует произвольно выбранное начало О, от которого отсчитываются радиусы-векторы частиц. Хотя величина и направление вектора е. зависят от выбора этой точки, но легко видеть, что эта неопределенность несущественна для закона сохранения момента.
Действителыю, если мы сместим точку О на некоторое заданное (по величине н направлению) расстояние а, то на эту же величину изменятся все мех»ника точки [гл. ~ радиусы-векторы частиц, так что к люменту прибавится величина [ар«1+ [ар»)+ "- ==[а (р1+ р«+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
