1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 11
Текст из файла (страница 11)
одному джоулю: 'ЖЮ= 1 к е=-1 дж. й 20. Теорема Гаусса Введем теперь важное понятие полюка электрического поля. Геля того чтобы придать ему наглядный характер, представим себе, что занимаемое полем пространство заполнено некоторой воображаемой жидкостью, скорость б! й 20) ТЕОРЕМА ГАУССА которой в каждой точке пространства совпадает по величине с напряженностью электрического поля. Объем этой жидкости, проходящей через какую-либо поверхность в единицу времени, и представляет собой поток электрического поля через эту поверхность. Определим поток электрического полн, создаваемого точечным зарядол1 е„через сферическую поверхность радиуса г с центром в этом заряде. Напряженность поля по закону Кулона равна в этом случае Е=-е!г'.
ПоэтолГу скорость воображаемой жидкости также будет равна е/г', поток же жидкости равен произведению ее скорости па величину 4лг' поверхности сферы. Таким образом, поток поля равен Е 4лг'==4ле. Мы видим, что этот поток пе зависит от радиуса сферы, а определяется только зарядом. Можно показать, что если заменить сферу любой другой замкнутой поверхностью, окружающей заряд, то поток электрического поля через иее не изменится и также будет равняться 4ле. Подчеркнем, что зто важное обстоятельство является специфическим следствием того факта, что в законе Кулона фигурирует обратная пропорциональность именно квадрату расстояния. Рассмотрим теперь поток электрического поля, создаваемого не одним, а рядом зарядов. Этот поток можно определить, используя свойство суперпозиции электрического поля. Очевидно, поток поля через, произвольную замкнутую поверхность будет равен сумме потоков, происходящих от отдельных зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
Так как каждый такой поток равен заряду, умноженному на 4л, то общий поток электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхяосги, умноженной на 4л. Это положение носит название теоремы Гаусса. Если внутри поверхносги нет зарядов, или если сумма зарядов равна нулю, то поток электрического поля через эту поверхность равен нулю. Рассмотрим узкий пучок силовых линий, ограиичеииый поверхностью, которая также образована силовыми линиями (рис.
3). Пересечем такой пучок или, как мы будем говорить, силовую трубку двумя эквипотеициальными полк ~гл. и поверхностями 1 и 2 и определим поток поля через замкнутую поверхность, образованную боковой поверхностью силовой трубки и эквипотенциальными поверхностями 1 и 2. Если внутри этой замкнутой поверхности нет зарядов, то общий поток через нее будет равен нулю. С другой стороны поток через боковую поверхность трубки также, очевидно, равен нулю; поэтому потоки через поверхности 1 и 2 должны быть одинаковыми.
Для наглядности наш пучок силовых линий можно уподобить струе жидкости. Рис. 3. Обозначим напряженно- сти поля в сечениях! и 2через Е, и Е, и площади самих сечений через 3, иЯ,. В силу предположения об узости силовой трубки поля Е, и Е, можно считать постоянными вдоль каждого из сечений ! и 2. 11оэтому мы можем записать равенство потоков через поверхности 1 и 2 в виде 5,Е, =ЗэЕ, (так как поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, то поток равен просто произведению напряженности поля на плошадь поверхности).
Так как число силовых линий Л',, проходящих через сечение Яо равно числу силовых линий Л'„проходящих через сечение Я„то можно написать ~Ч, У з!п1 зла ' Величины и,= — Лг,/Я, и п,=й/,/5, представляют собой числа силовых линий, приходящихся на единицы площади поверхностей 1 и 2, ортогональных силовым линиям. Л1ы видим, таким образом, что плотность или густота силовых линий пропорцяональна напряженности поля: и, Е Е~ ' Таким образом, графическое изображение поля с помощью силовых линий не только показывает направление ф 21] электРические поля а пгостейшнх слгчлях 63 поля, но и позволяет судить о его величине.
Там, где силовые линии лежат гуше, напряженность электрического поля больше; где силовые линии разрежены, там поле слабее. $ 2Е Электрические поля в простейших случаях Теорема Гаусса дает возможность в ряде случаев находить поле, создаваемое сложными заряженными телами, если заряды в них расположены достаточно симметрично. В качестве первого примера определим поле симметрично заряженного шара.
Поле такого шара направлено по его радиусам и зависит только от расстояния до центра шара. Отсюда легко вычислить поле вне шара. Определим для этого поток поля через сферическую поверхность радиуса г, центр которой совпадает с центром заряженного шара. Этот поток равен, очевидно, 4лг'Е.
С другой стороны, по теореме Гаусса он равен 4ле, где е — заряд шара. Поэтому 4лг'Е=4ле, откуда Е= —. е ге Таким образом, поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равного заряду шара и расположенного в центре шара. Соотвегственно этому и потенциал этого поля совпадает с потенциалом поля точечного заряда Ч' = г Поле внутри шара зависит от того, как расположены заряды в шаре.
Если заряды расположены только на поверхности шара, то поле внутри шара будет равно нулю. Если заряд распределен равномерно по объему шара с плотностью р (р представляет собой заряд единицы обьема шара), то поле внутри шара может быть найдено с помошью теоремы Гаусса, примененной к сферической поверхности радиуса г, лежащей внутри шара: Е4лг' = — 4ле„ где е„— заряд, находящийся внутри сферической поверхности. Этот заряд равен произведению плотности заряда на объем сферы радиуса г, т.
е. е„= з г'р. Таким образом, 4л 4лг'Е = 4л — г'р 4л э [гл. и полк откуда 4п Е = — рг. 3 Мы видим, что поле внутри шара, равномерно заряженного по объему, пропорционально расстоянию ог его центра, а вне шара — обратно пропорционально квадрату этого расстояния. На рис. 4 изображена зависимость поля такого шара от расстояния до центра (а обозначает радиус шара). Рис. 4. В качестве второго примера определим поле заряженной прямолинейной нити, вдоль которой заряды распределень1 равномерно. Предполагая длину нити достаточно большой.
мы можем пренебречь влиянием ее концов, т. е. считать ее как бы бесконечно длинной. Из соображений симметрии ясно, что создаваемое такой нитью поле не может иметь составляющих в ту или другую сторону вдоль нити (поскольку обе эти стороны совершенно эквивалентны), т. е. должно быть направлено в каждой точке перпендикулярно нити. Пользуясь этим, легко определить поле нити. Рассмотрим для этого поток поля через поверхность цилиндра радиуса г и длины ( с осью вдоль нити (рис.
5). Так как поле перпендикулярно оси. то поток через основания циляндра будет равен нулю. Поэтому полный поток поля через рассматриваемую замкнутую поверхность сводится к потоку через боковую поверхность цилиндра. Он равен, очевидно, Е 2лгй С другой стороны, по теореме Гаусса он равен 4пе, где е †зар, находящийся на длине ( нити; если обозначить через д заряд, приходящийся на единицу длины 211 ЭЛЕКТРИ'!ЕСНИЕ ПОЛЯ В ПРОСТЕЙШИХ СЛУ'!АЯХ нити, то е=ф. Таким образом, имеем 2иг(Е = 4пе = 4П!)1, откуда Е= —.
Мы видим, что поле, создаваемое равномерно заряженной нитью, обратно пропорционально расстоянию у от нее. Определим потенциал этого поля. Поскольку поле Е направлено в каждой точке вдоль радиуса, то его радиальная проекция Е, совпадает с полной величиной Е. В силу общего соотношения между напряженностью и потенциалом имеем поэтому !Яр 2л — — =Е=— а!а откуда Рр = — 2д!пг+сопз1. Мы видим, что в данном случае потенциал зависит от расстояния до нити логарифмически. Для определения константы в этой формуле нельзя пользоваться условием обращения потенциала в нуль на бесконечности, так как написанное выражение обращается В бЕСКОНЕЧНОСтЬ Прн Г-нсо. ЗтО обстоятельство связано с предположением о бесконечной длине нити и означает, что полученной формулой можно пользоваться лишь для расс!Ояний г, малых по сравнению с фактической длиПОЙ нити.
Найдем еше поле равно- РИС. б. мерно заряженной неограниченной плоскости. Из соображений симметрии очевидно, что поле будет направлено перпендикулярно плоскости и будет иметь одинаковые значения (но противоположные направления) на одинаковых расстояниях по обе стороны от нее. Рассмотрим поток поля через замкнутую поверхность прямоугольного параллелепипеда (рис. 6), две грани которого параллельны заряженной плоскости, делящей 3 Л, д. Ландау н др. [гл. и ПОЛЕ параллелепипед пополам (па рисунке заштрихована часть этой плоскости, лежащая внутри параллелепипеда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
