1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поступательная же скорость такого «абсолютного» характера не имеет. Обычно в качестве «основной» точки О выбирают центр инерции тела. Поступательная скорость У есть при этом скорость перемещения центра инерции. Преимущества такого выбора выяснятся в следующем параграфе. А' ! (гл. ш движение твеедого теле Каждый из векторов к и 11 задается значениями своих трех компонент (относительно некоторой системы координат). Поэтому всего нужно задать шесть независимых величин для того, чтобы знать скорость любой точки твердого тела. На этом основании говорят, что твердое тело представляет собой механическую сисгему с шестью степенями свободы.
й 26. Энергия движущегося твердого тела Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто где $~ — скорость тела, а М вЂ” его полная масса. Это выражение — такое же, как если бы со скоростью е'двигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки. Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела.
Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если т; есть масса 1-го элемента, а ге — его РасстоЯние До оси вРащения, то его скорость равна о;=ген, где Й вЂ” угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента равна — т;о; и, просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела 1 1, 1 Е„„, = ~ т1в, + — т,с,', +... =- — Й (т,г1+ тег',+...). Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения.
Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментои инерции тела относительно данной оси. $26! энеггия движу'щвгося тввгдого тель Ы Обозначим его буквой 1: 1 = т,г,'+ гл»г,'+ .. Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой М и радиусом 11) относи- 2 тельно оси, проходящей через его центр, равен 1= — М1г~; момент инерции тонкого стержня (длины»1 относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середи- 1 ну, равен 1= — МР. 12 Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде »о» ~»»» Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения„ отличаясь от него тем, что вместо скорости Ъ' стоит угловая скорость »», а вместо массы — момент инерции.
Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе прн поступательном движении. Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной н вращательной энергий, если в описанном в предыдущем параграфе способе разделения двух движений выбрать основную точку 0 в центре инерции тела.
Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, н мы имеем полную аналогию с рассмотренным в 2 12 разделением движения системы частиц на движение системы как целого и квнутреннее» движение частиц относительно центра инерции. Мы видели там, что на соответствующие две части разбивается и энергия системы. Роль «внутреннего» движения играет теперь вращение тела вокруг центра инерции. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем »Л~» / о» + о-» 2 2 [гл. ш дВижение таегдого телА Индекс «О» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.
[Следует отметить, однако, что в таком виде эта формула имеет реальпьш практический смысл лишь, если в процессе движения ось вращения сохраняет постоянное направление в теле. В противном случае момент инерции должен браться в разные моменты времени относительно различных осей, т. е. перестает быть постоянной величиной[. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси У, не проходящей через центр инерции.
Кинетичес- 1 кая энергия этого движения есть Е,„„=- — 1й», где !в момент инерции относительно оси У. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью Р' центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью»«) вокруг оси, проходяшей через центр инерции параллельно осн У. Если а есть расстояние центра инерции от оси 2, то его скорость Ь'=а»2. Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде Сравнивая оба выражения, найдем 1=12-'-Ма'. Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции.
Очевидно, что 1 всегда больше, чем 1„. Другими словами, прн заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции. Если твердое тело движется в поле тяжести, то его полная энергия Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим в качестве примера движение шара по наклонной плоскости (рис.2). Потенциальная энергия шара равна Мг»г, где М вЂ” масса шара, а г — высота его центра.
Поэтому закон сохранения энергии имеет вид Е =- — Мр'« -[- — 1«()2+ Мдг = сопз(. 2 % 271 ВРлшдтельный момент Будем предполагать, что шар скатывается без скольжения. Тогда скорость п точки его соприкосновения с наклонной плоскостью будет равна нулю. С другой стороны, эта скорость складывается из скорости 1Г поступательного перемещения вниз по плоскости вместе с шаром в целом и направленной в обратную сторону (вверх по плоскости) скорости точки в ее вращении вокруг центра шара. Последняя скорость равна л)т(, где )с— радиус шара.
Из равенства о=В' — ОП=О имеем Подставив это выражение в Ряс. 2. закон сохранения энергии и считая, что в начальный момент времени скорость шара равна нулю, найдем скорость центра инерции шара в мо. мент, когда он спустился на расстояние Ь; Эта скорость, как и следовало ожидать, меньше скорости свободного падения материальной точки или невращающегося тела (с той же высоты й), так как уменьшение потенциальной энергии Л(йй идет не только на увеличение кипе. тической энергии поступательного движения, но и на увеличение кинетической энергии вращения шара.
ф 27. Вращательный момент При вращательном движении тела мол|ент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента' вдоль этой оси (назовем ее осью 2).
Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного ((-го) элемента движвняв тввелого тель (гл. т есть т;®;ф;], где 1с; — радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О иа оси Е, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скорость и; касательна к этой окружности. ч) Разложим вектор Р; на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой (г;) — перпендикулярен ей. м; Тогда произведение т,]г;е;! даст как раз ту часть момента импульса, котог лт рая направлена параллельно оси 7 (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плос- Я', кости, проходящей через эти векторы). Так как векторы г; и ть взаимно перпендикулярны (раднус окружносги и касательная к ней), то величина произведения ]г;и;1 есть просто г;он где г, — расстояние элемента т, от оси Ряс, 3.
вращения. Наконец, поскольку о;=ага то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элемента т,. вдоль оси вращения равна тгг';О. Образовав сумму т,г]О+т,г',Й+..., мы и получим искомую проекцию Ее полного момента импульса тела на ось У. Эту величину называют также моменаюм импульса (или вращательным моментом) тела относительно данной оси. Вынеся в написанной сумме общий множитель Р за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерции 1.
Таким образом, получим окончательно й,=и, т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно осн вржцения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением н выражением тн для импульса частицы: вместо скорости и стоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции. ф 28) гвлвнение движения вглщлющегося тедл 85 Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью И. Постоянство И следует при этом из постоянства 7е в силу подразумеваю- щейся нами неизменности самого тела при вращении, т.
е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так„чтобы произведение 1И оставалось постоянным. Если, например, на вращакицейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведения )И приведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения. ф 28.
Уравнение движения вращающегося тела Уравнение движения материальной точки связывает, как мы знаем, скорость изменения ее импульса с действующей на нее силой (8 7). Поступательное движение твердого тела мало чем отличается от движения материальной точки и уравнение этого движения заключается в такой же связи между полным импульсом тела Р=М Ч и полной действующей на него силой Г". еР не и» вЂ” =- »"и — = Р. Для вращательного движения аналогичную роль играет уравнение, связывающее скорость изменения момента импульса тела с моментол1 действующих на него сил. Выясним, как выглядит эта связь, причем снова ограничимся простейшим случаем вращения тела вокруг определенной закрепленной оси (ось е).
Момент импульса тела относительно оси вращения мы уже определили. Обратимся теперь к действующим на тело силам. Ясно, что силы, направленные параллельно оси вращения, могут только сдвинуть тело вдоль этой оси, но ие могут произвести вращения тела. Мы можем поэтому не принимать во внимание таких сил и рассматривать только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения. движение твеелого талл [гл. ш Момент Кг такой силы Г относительно оси Я дается величиной векторного произведения [г)"), где г — вектор расстояния точки приложения силы от оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
