1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вместе с ним не будет уже совпадать с той же осью (а также и с направлением й) и вектор момента Т.. Однако, если основное вращение гироскопа достаточно быстро, а внешние силы не слишком велики, скорость поворачивания оси гироскопа будет относительно мала и вектор Й, а с ним и ь будут все время близки по направлению к оси гироскопа.
Поэтому, зная, как изменяется вектор Е., мы тем самым будем знать, 1Ю' как приблизительно движется ось гироскопа. Изменение же момента определяется уравнением н ж=К Г Р где К вЂ” момент приложен- У ных к телу сил. Ряс. в. Пусть, например, к концамоси гироскопа (осью на рис. б) прикладывается пара сил Е, действующих в плоскости уг. Тогда момент К пары направлен вдоль оси х и в эту же сторону будет направлена производная Ж/пг. Другими словами, момент Т., а с ним и ось гироскопа отклонятся в сторону оси х.
Таким образом, приложение к гироскопу некоторой силы вызывает поворачивание его оси в направлении, перпендикулярном направлению силы. Пример гироскопа представляет собой волчок, опертый в одной своей нижней точке. (Трением волчка об опору в следующих ниже рассуждениях мы пренебрегаем). Волчок находится под действием силы тяжести, имеющей постоянное направление — вертикально вниз. Эта сила равна весу волчка Р=-Мй (М вЂ” масса тела) и приложена к его центру тяжести (точка С на рис.
7). Ее момент относительно точки опоры 0 по величине равен К=Р(гйп О (1 — расстояние ОС; й — угол между осью волчка и вертикалью) и направлен всегда перпендикулярно плоскости, проходящей через ось волчка и вертикальное направление. Под действием этого момента вектор ! (а тем самым и ось волчка) будет (гл. щ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА поворачиваться, оставаясь постоянным по величине и сохраняя постоянный угол О с вертикалью, т. е. описывая конус вокруг этого направления.
Легко определить угловую скорость прецессии волчка. Обозначим ее через т» в отличие от угловой скорости собст- венного вращения волчка вок- 9 руг своей оси, которую обозначим через А),. За бесконечно малый про- фи ь 'Уб межуток времени М вектор й С вЂ” получает перпендикулярное себе приращение НТ.= К й, лежащее в горизонтальной ! ~-'4 Ла плоскости. Разделив его на ве- личину проекции вектора Х.
С на эту плоскость, мы получим угол дср, на который эта про~г // екция повернегся за время Й: Р Производная е(тр/й есть, очевидно, искомая угловая скорость прецессии. Таким образом, К "=смпЕ. Подставив сюда К= Ма( гй и 0 и й = М, (где 1 — момент инерции волчка относительно его оси), получим окончательно Мф ОЗ= —. гпа Напомним, что вращение волчка предполагается достаточно быстрым.
Мы можем теперь уточнить это условие: должно быть й,)) а. Поскольку м Ма1 и, гп.е то мы видим, что указанное условие означает, что потенциальная энергия волчка в ноле тяжести (Мфсозй) должна быть мала по сравнению с его кинетической энергией ('l. (()'). ф 31) 93 СИЛЫ ИИБРИИИ 3 3!. Силы инерции До сих пор мы рассматривали движение тел по отношению к инерциальным системам отсчета. Лишь в 9 23 речь шла о системе отсчета, совершающей ускоренное поступательное движение (ускоренно движущаяся ракета). Мы видели, что с точки зрения наблюдателя, движущегося вмесге с ракетой, неинерциальность сисгемы отсчета воспринимается как появление силового поля, эквивалентного однородному полю тяжести. Добавочные силы, возникающие в иеинерциальных системах отсчета, называют вообще силами инерции.
Их характерной общей особенностью является пропорциональность массе тела, на которое они действуют. Именно это свойство делает их аналогичными силам тяготения. Рассмотрим теперь вопрос о том, как происходит движение по отношению к вращающейся системе отсчета и каковы появляющиеся здесь силы инерции. Такой системой отсчета является, например, сама Земля; в силу суточного вращения Земли связанная с ней система отсчета, строго говоря, неинерциальна, хотя благодаря медленности вращения возникающие силы инерции сравнительно малы. Для простоты представим себе, что системой отсчета является равномерно вращающийся (с угловой скоростью»)) диск, и рассмотрим простейшее движение на нем— равномерно движущуюся вдоль края диска частицу. Обозначим скорость этой частицы относительно диска через о„ (индекс «н» служит для указания на то, что система отсчета неинерциальна). Скорость этой же частицы относительно неподвижного наблюдателя (инерциальная система отсчета) и«будет равна, очевидно, сумме о„и скорости точек края самого диска.
Последняя равна г)», где» вЂ” радиус диска. Поэтому ои и»+ ')» Легко определить ускорение ш„частицы по отношению к инерциальной системе отсчета. Так как частица равномерно движется по окружности радиуса » со скоростью и», то ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ [ГЛ. 1П Посмотрим теперь, как будет рассматривать это движение наблюдатель, находящийся на диске и считающий его неподвижным. Для него частица также равномерно движется по окружности радиуса г, но ее скорость равна о„. Поэтому ускорение частицы относительно диска будет равно 1 "и в « и направлено к центру диска. Считая диск неподвижным, наблюдатель умножит в„ на массу частицы и скажет, что это произведение представляет собой силу Г„, действую- щую на частицу, Г„= тв„. в„= в„— 2йо, — г««г, Замечая, что и учитывая, что лко„=г, получим Р„= Р— 2тйо„— тй»г.
Мы видим„таким образом, что по отношению к вращающейся системе отсчета на частицу, помимо «нстинной» силы г, будут действовать две добавочные силы: — тьг»г и — 2т»«о„. Первая из этих сил инерции называется центробежной, а вторая — силой Кориолиса. Знаки минус показывают, что в данном случае обе эти силы направлены от оси вращения диска.
Центробежная сила не зависит от скорости о„. Другими словами, она существует и в том случае, когда частица неподвижна относительно диска. Для частицы, находящейся на расстоянии г от оси вращения системы отсчета, эта сила всегда равна т»г«г и направлена по радиусу от оси вращения. Введя понятие о центробежной силе, мы можем ввести н понятие о центробежной энергии как о потенциальной энергии частицы в поле центробежных сил.
Согласно общей формуле, связывакдцей силу с потенциальной энергией, Умножив это ускорение на массу частицы т, мы найдем силу г, действующую на частицу в инерциальной системе отсчета, г =тв,. й Зц СИЛЫ ИНЕРЦИИ имеем Л/ Ненераб тазг ие откуда елйеее ~/„,„, 4= — — +сонэ(. Произвольную постоянную естественно выбрать равной нулю, т. е.
отсчитывать потенциальную энергию от значения на осн вращения (г=0), где центробежная сила равна нулю. Центробежная сила может достигать огромных значений в специально построенных центрифугах. На Земле же она очень незначительна. Она наиболее велика на экваторе, где равна для частицы с массой в 1 г ИЛ~К=1. ( 4 е .зо) ° бЗ 10'дин=--З,Здин ()с=б,З 10' си — радиус Земли). Эта сила уменьшает вес тела на З,З дины на каисхый грамм, т. е. примерно на 0,3% веса тела. Вторая сила инерции, сила Кориолиса, по своему характеру резко отличается от всех сил, с которыми мы имели дело до снх пор. Она действует только на движущуюся (относительно данной системы отсчета) частицу и зависит от скорости этого движения. В то же время эта сила оказывается не зависящей от положения частицы относительно системы отсчета.
В рассмотренном выше примере она равна по величине 2гле)о„и направлена от оси вращения диска. Можно показать, что в общем случае кориолисова сила инерции, действующая на частицу, движущуюся с произвольной скоростью э, относительно вращающейся (с угловой скоростью 11) системы отсчета, равна 2т (п„й). Другими словами, она перпендикулярна оси вращения и скорости частицы, а по величине равна 2то„(1 япО, где О— угол между ае и 11. При изменении направления скорости ае ца обратное меняется на обратное также и направление силы Кориолиса.
Поскольку кориолисова сила всегда перпендикулярна направлению движения частицы, она не производит над движение твегдого телА (гл. 1п ней никакой работы. Другими словами, она лишь отклоняет направление движения частицы, но не меняет величины ее скорости. Хотя действующая на Земле сила Корнолиса обычно н очень мала, но она приводит к некоторым специфическим эффектам. Благодаря этой силе свободно падающее тело должно двигаться не точно по вертикали, а несколько отклоняться на восток. Это отклонение, однако, очень незначительно. Расчет показывает, например, что отклонение прн падении с высоты 100 м (на широте 60') составляет всего около 1 см.
С силой Корнолнса связано поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы силы Кориолиса не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие этой силы приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления с угловой скоростью, равной Йяп ч, где И вЂ” угловая скорость вращения Земли, а ф — широта места подвеса маятника. Большую роль играет сила Кориолиса в метеорологических явлениях. Например, пассаты — ветры, дующие от тропиков к экватору,— без вращения Земли должны были бы нцтя непосредственно с севера на юг (в северном полушарии) нли с юга на север (в южном полушарии).
Под влиянием корнолисовой силы они отклоняются к западу. Глава ЛУ КОЛЕБАНИЯ й 32. Гармонические колебания Мы видели в $ 13, что одномерное движение, совершаемое частицей в потенциальной яме, является периодическим, т. е. повторяется через равные промежутки времени. Такой промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом движения, Если Т вЂ” период движения, та в моменты времени г' и г+Т частица имеет одно и то же положение н одну и ту же скорость. Величина, обратная периоду, называется чиспютой. Частота, которую мы будем обозначать через т, 1 '= т' определяет, сколько раз в секунду повторяется движение. Эта величина имеет, очевидно, размерность 1/сек.
Единица измерения частоты, соответствующая периоду, равному 1 сек, называется герйем (ги): 1 ги=1 сел г. Существует, очевидно, бесчисленное множество различных видов периодического движения. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус. Поэтому простейшим периодическим движениеМ будет такое дв1пкение, при котором координаты материальной точки изменяются по закону х=-А сох(ы| ', а1, где А, ы, а — некоторые постоянные величины. Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным движением. Величины А и а имеют простой физическии смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
