1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Мы видим, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы В, и существенно зависит от соотношения между частотой этой силы са и собственной частотой системы сэа. Если затухание у мало, то наибольшего значения амплитуда колебаний достигает пРиблизительно пРи совпадении частот Ва и Ваа или, как говорят, при резонансе; это максимальное значение В =- .л макс д~~ка 1, Оно обратно пропорционально коэффициенту затухания у. По этой причине в явлении резонанса нельзя пренебрегать трением в системе, даже если оно мало.
Интересно сравнить значение Вм,„, с тем смещением, которое испытало бы тело под действйем постоянной (статической) силы, равной Е . Это смещение (обозначим его В„„) можно получить из общей формулы для В, положив в йей ы=О: В„„=-Е,,йиаа'. Отношение резонансного смещения к статическому Вмакс ~~а йссас Кт Мы видим, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе (по сравнению со статическим отклонением) определяется отногцением частоты собственных колебаний к коэффициенту затухания. Для систем с малым затуханием это отношение может быть очень большим.
Это обстоятельство разъясняет огромное значение явления ре зонанса в физике и технике. Им широко пользуются, если хотят усилить колебания, и всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательному росту колебаний, Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между КОЛЕБАНИЯ (гл.
ш фазами вынУждающей силы г и скоРости ш ПРи са-лала между ними существует определенный сдвиг фаз. Поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила г"„и направлена противоположно скорости, т. е. как бы стремится замедлить движение, вместо того чтобы ускорять его. При резонансе же фазы силы н «и~в скорости совпадают (см. векторную диаграмму на рнс. 6), так что сила всегда действует а в направлении движения, поА7юв стоянно «подталкивая» его. Вблизи резонанса (т.
е. ш»В а когда разность )аэ — саа~ мала по сравнению с самой резонансной частотой с»а) формулу Рис. 6. для амплитуды вынужденных колебаний можно представить в более простом виде. Написав в ее знаменателе а໠— ыа'=(аэ+ааа)(са — с»а), мы можем приближенно заменить сУммУ си+«Ба на 2ы„а также заменить са на саа в члене 4У»са». В результате получим В =- са ~.. УТ'=М'Т; Эту формулу можно переписать также в виде е'( — а)'+т' где В„а„, = — — максимальное значение амплитуды Ра Элиасу пр и резонансе. На рис. 7 изображены отвечающие этой формуле резонансные кривые — зависимость амплитуды колебаний от частоты при различных значениях коэффициента затухания у (на оси ординат отложено отношение В~В„,»а).
До тех пор, пока абсолютная величина разности аа — в, мала по сравнению с т, амплитуда В мало отличается от своего максимального значения. Существенное уменьшение амплитуды наступает при (с« †с~ у. На этом основании говорят, что «ширина» резонансной кривой порядка величины у. Высота же максимума (при заданном га) обратно про- з 35! аыникдеиннг. колсвлния 111 порциональна у. Поэтому чем меньше затухание, тем острее резонансный максимум — тем выше и уже резонансная кривая.
Выше мы говорили, что движение колебательной систечы, находящейся под воздействием периодической внешней силы, представляет собой наложение вынужденных и собственных колебаний. Если отвлечься от малого затухания собственных колебаний, то будет происходить сложение нвух гармонических колебаний — с частотами сс и сн, н некоторыми амплитудами А и В Если мы находимся вблизи Резонанса, то частоты ы и юи близки дРУг к дРУгУ, т. е. Разность О=)сн — вс~ мала но сРавненню с ы и в,.
ВыЯсЮФ ним характер возникающего при этом результирующего движения. Для этоговоспользуемся векторной диаграммой, на Л 'Рг гээ Рис. 7. Рис. а. которой каждое из колебаний изображается своим вектором— А и В на рис. 8. С течением времени, по мере изменения фаз колебаний, эти векторы равномерно вращаются с угловыми скоростями сс и сн (за время одного периода Т вектор производит полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2п; его угловая скорость есть 2п)Т, т. е. совпадает с циклической частотой колебания). Суммарное же колебание изображается геометрической суммой обоих векторов — вектором С. Длина этого вектора в отличие от длин А и В не будет постоянной, а будет меняться со временем, так как благодаря разнице в угловых скоростях ь и сн угол между векторами А и В меняется.
Очевидно, что изменение длины С будет происходить в пределах от С„„„=А+В, когда направления векторов А и В совпадают, до С„„„=1А — В~, когда их направления противоположны. Это изменение 112 [гл. щ КОЛЕБАНИЯ происходит периодически с частотой о [этой величине равна угловая скорость вращения векторов А и В друг относительно друга).
В рассматриваемом случае близких частот м„и сн векторы А и В быстро вращаются, одновременно медленно поворачиваясь по отношению друг к другу. Изменение результирующего вектора С можно при этом рассматривать как РНС, 9. равномерное вращение с той же частотой сн,жо> (пренебрегая разницей между сн, и ы), с одновременным медленным [с частотой П) изменением его длины.
Другими словами, результирующее движение представляет собой колебание с медленно меняющейся амплитудой. Явление периодического изменения результирующей амплитуды при наложении колебаний с близкими частотами называют биениями, а величину й — частотой биений. На рнс. 9 изображены биения при А=В. $ 36. Параметрический резонанс Незатухающие колебания могут возбуждаться не только под действием внешней периодической силы, но также и при периодическом изменении параметров колебательной системы. Такое возбуждение колебаний называют параметрическим резонансом. В качестве примера можно привести раскачивание качелей человеком, регулярно приседающим и поднимающимся и тем самым периодически перемещающим положение центра тяжести системы. Для выяснения механизма этого способа возбуждения колебаний обратимся к простому примеру — маятнику, длину подвеса которого можно менять, подтягивая и отпус- й Зб) ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС ыз кая нить, переброшенную через блок (рис.
10). Представим себе, что в момент каждого прохождения через равновесное (вертикальное) положение маятник подтягивается внешней силой г' на некоторую небольшую высоту п (Аиалую по сравнениюсдлиной 1маятника), а в каждом крайнем положении нить отпускается на ту же длину а. В течение каждого периода, следовательно, маятник будет дважды удлинен и дважды укорочен; другими словами, частота периодического изменения параметра (длины маятника) будет вдвое больше частоты его собственных колебаний.
Поскольку удлинение нити пронсхо- а дит при наклонном положении маятника, то в эти моменты он опускается на тд высоту а соз ТР, (сг, †углов амплитуда колебаний маятника), меньшую высоты Рис. 10. а его подъема в моменты подтягивания нити. Поэтому за каждое подтягивание и отпускание нити действующая на нить внешняя сила производит против силы тяжести работу, равную 1 Глац (1 СОЗ Рс) 2 ~ЮПТРО (так как Угол тра пРедполагаетсЯ малым, то соз сй, ж1 — — ~ . то 1 Кроме того, внешняя сила г' производит работу против цент- «~ РО робежной силы (растягивающей нить), равной —" (о,— максимальная скорость маятника) в нижнем положении маятника и равной нулю в его крайних положениях (в этих положениях равна нулю скорость маятника).
Таким образом, суммарная работа внешней силы за период колебаний маятника равна (~ ИЮРС А=2~ — тяагг,+ — а~. ~2 Но оа — — 1сроса, где га = ~~ — — частота колебаний маятника; -Гл поэтому а тиас А=б — — '. 2 Лолеахння [гл. ш Мы видим, что работа, производимая внешней силой над маятником, положительна и пропорциональна его энергии. Поэтому энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропора циональное самой этой энергии и величине — . 1 ' В этом и заключается механизм параметрического ре- зонанса.
Периодическое изменение парамегров колебатель- ной системы (с частотой, удвоенной по сравнению с собст- венной частотой системы) приводит к систематическому воз- растанию ее средней энергии Е, причем скорость этого возрастания пропорциональна Е: йŠ— „=- 2кЕ, где я — некоторая (малая) постоянная. Зто соотношение такого же вида, как и при затухающих колебаниях, с тем, ИЕ однако, отличием, что производная — положительна а Ф не отрицательна. Зто значит, что энергия (а с нею и амплитуда) колебаний экспоненциально возрастает со временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
