1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из этого выражения можно сделать следующее интересное заключение. Отложим на прямой ОС (рис. 2) отрезок ОО'=-й Представим себе теперь, что маятник подвешивается за ось, проходящую через точку О'. Приведенная длина полученного таким образом нового маятника будет равна 1 =а'+ —,. ° го Но а'=( — а=1,1лла, поэтому Р=1. Таким образом, приведенные длины, а потому н периоды колебаний маятников, подвешенных на осях, находящихся на расстоянии 1 друг от друга, одинаковы. [гл. Нг КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим, наконец, кррпшльиые колебания диска, подвешенного на упругой нити (рис. 3).
МОА1ент сил упругости, возникающих при закручивании нити н стремящихся вернуть диск в исходное положение, пропорционален углу ~ поворота диска: Кх=- — ЬГ, где й — постоянный коэффициент, зависящий от свойств нити. Если момент инерции диска (относительно его центра) равен 1, то частота колебаний С Ъ й 34. Затухающие колебания До сих пор мы рассматривали движение тел (в гом ~исле колебания) так, как если бы оно происходило совершенно беспрепятственно. Однако если движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает сопротивление движению, стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела со средой представляет собой сложный процесс, приводящий, в конце концов, к переходу энергии движущегося тела в тепло,— как говорят в физике, к рассеянию или диссипаг(ии энергии.
Этот процесс не является уже чисто механическим и его детальное изучение требует привлечения также и других разделов физики. С чисто механической точки зрения он может быть описан путем введения определенной дополнительной силы, появляющейся в результате самого движения и направленной противоположно ему. Эту силу называют силой трения. При достаточно малых скоростях движения она пропорциональна скорости тела г,р — — — ЬО, где Ь вЂ” некоторая положительная константа, характеризующая взаимодействие тела со средой, а знак минус указывает, что сила направлена в сторону, обратную скорости. Выясним, как влияет наличие такого трения на колебательное движение.
Будем считать при этом, что сила трения настолько мала, что вызываемая ею потеря энергии тела (за время одного периода колебания) относительно мала. )05 $ 341 злтухлющиа колаалния Потеря энергии телом определяется как работа, произведенная силой трения. За время йг' эта работа, а с ней и потеря энергии дЕ, равна произведению силы Г,л на смещение тела дх=о Н: 6Е = Е Дх =- — Ьол й откуда Лд, гЬм л лол лт т 2 При сделанном нами предположении о малости силы трения мы можем применить эту формулу к средней потере энергии за время одного периода, заменив при этом также и кинетическую энергию — оло ее средним значением. Но мы видели ) 2 в 2 32, что среднее значение кинетической энергии колеблющегося тела равно половине его полной энергии Е.
Таким образом, можно написать и'Б Ж --= — 2уЕ, где у=й/2т. Мы видим, что скорость уменьшения энергии пропорциональна самой энергии. Переписав это соотношение в виде находим )п Е=- — 2Т1+сопз1. откуда окончательно Е= — Е„е ", где Ел — значение энергии в начальный момент времени ( 1=0). Такил1 образом, энергия колебаний убывает нз-за трения по экспоненциальному закону.
Вместе с энергией убывает также и амплитуда колебаний А. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то А =- Аал Степень убывания амплитуды определяется величиной у, которую называют коэффициентом зотухпни . За время т=--1)т ал|плитуда уменьшается в е раз; это время называют временем жизни колебаний.
Сделанное нами выше 106 (гл. Нт КОЛЕБАНИЯ предположение о малости силы трения означает, что т предполагается большим по сравнению с периодом Т=2гу'вл колебаний, т. е. что за время жизни происходит большое число п=т/Т колебаний. Величину, обратную и, называют логарифмическим декренентом затухания. На рис. 4 изображен график зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях х = А соз (в1 + а) = =-А е пс4м(вз1+а).
Пунктирная линия изображает ход убывания Ряс. 4. амплитуды. Трение влияет также и на частоту колебаний. Замедляя движение, оно увеличивает период, т. е. уменьшает частоту колебаний. Однако при малом трении это изменение очень мало (и потому выше мы не принималн его в расчет): можно показать, что относительное изменение частоты пропорционально квадрату малого отношения у/вв. Напротив, прн достаточно большом трении замедление может оказаться настолько значительным, что затухание движения произойдет без колебаний, как говорят, апериодически. й 35.
Вынуащенные колебания Во всякой реальной колебательной системе всегда происходят те и.ии иные процессы трения. Поэтому свободные колебания, возникающие в системе под влиянием начального толчка, с течением времени затухают.
Для того чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением. Такая компенсапия может производиться внешними (по отношению к колебательной системе) источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы г,„, изменяющейся со временем по гармоническому закону рвв = в'в соз ыв й 35) Вннгждснные колевлиия юу с некоторой частотой гв (в отличие от этой частоты мы будем обозначать теперь частоту собственных, свободных колебаний системы через «»„).
Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колебания называются вынужденнычв. Движение системы будет при этом представлять собой, вооГлще говоря, наложение оГюих колебаний — собственных с частотой «в, и вынужденных с частотой гв. Свободные колебания мы уже изучили. Расслютрим теперь вынужденные колебания н определим их амплитуду.
Запишем эти колебания в виде х = — В соз (ьлг — ()), где  — амплитуда, а р — некоторый, пока неизвестный сдвиг фаз между внешней (или, как говорят, вынуждающей) силой и вызываемыми ею колебаниями. Мы написали р со знаком минус, т. е. как запаздывание по фазе, в соответствии с тем, что, как мы увидим ниже, фактически имеет место.
Ускорение гв тела, совершающего вынужденные колебания, определяется одновременным действием трех сил: восстанавливающей силы — Йх, внешней силы Е,„и силы трения Е, == — во. Поэтому тгв:=- — йх — 6о+ В»». Разделив это равенство на массу т, вспомнив, что й/т= =ы», и снова обозначив й~гл=2у, перепишем его в виде 1 гв = — в»»'х — 2уо )- — В,„. Воспользуемся теперь удобным графическим методом изображения колебаний, основанным на том, что величину х==Всоз «р (где гр — фаза колебания) можно рассматривать геометрически (на некотором вспомогательном чертеже— векторной диаграмме) как проекцию на горизонтальную ось радиуса-вектора, имеющего длину В и образующего с осью угол ~р.
(Во избежание недоразул«ений подчеркиелк что эти «векторы» не имеют отношения к понятию вектора как физической величины.! Каждый член в написанном только что равенстве представляет собой периодически меняющуюся величину (гл. ш КОЛЕБАНИЯ с одинаковой для всех членов частотой м, но с различными для разных членов сдвигами фаз. Рассмотрим, например, момент времени /=О, когда фаза внешней силы В,„=В„соз ы/ равна нулю, так что величина Р /т изобразится горизонтальным вектором длины гБ/пг (рис. 5). Величина ю,'х= = — в3В соз (ы/ — р) колеблется с опозданием по фазе на р; Рис.
З. она изобразится вектором длины о,'В, повернутым на угол р (против часовой стрелки) по отношению к вектору силы. Далее, ускорение и имеет (как мы видели в З 32) амплитуду оРВ и знак, противоположный знаку координаты х; оно изобразится поэтому на графике вектором, противоположным х. Наконец, скорость О имеет амплитуду мВ и опережает х по фазе на угол и/2; величина 2уо изобразится вектором длины 2уыВ, перпендикулярным вектору х. Согласно равенству ~и~ к + )„ колебание величины Г„,/т должно совпадать с суммой колебаний трех членов в правой стороне равенства. На нашем графике это означает, что сумма горизонтальных проекций трех последних векторов должна совпадать с Р,/и. Для этого, очевидно, векторная сумма этих векторов должна быть равна вектору Р„и/т. Из рисунка (на котором изображены отдельно случаи в- а„н а(а„) видно, что такое равенство выполняется, если (2угяВ)е+ ВЯ (ые — о4)' =- ( — ') $35) ВННЭЖДВННЫВ КОЛВВЛНИЯ Отсюда находим искомую амплитуду колебаний В= )' (саа — «а)а+4таа~а Из тех же графиков можно определить и фазовый сдвиг р: мы не будем выписывать здесь соответствующее выражение, отметив лишь„что угол запаздывания колебаний х относительно вынуждающей силы острый или тупой соответственно пРи са(ьа или оа)ьаа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
