1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поле тяготения, которое как бы появляется в ускоренно движущейся ракете, однородно по всему обьему ракеты — его напряженность везде равна одной и той же величине — «в. Между тем истинные гравитационные поля всегда неоднородны. Поэтому и «исключение» истинного гравитационного поля путем перехода к неинерциальной системе отсчета возможно лишь в небольших участках пространства, на протяжении которых поле меняется настолько мало, что его можно с достаточной точностью считать однородным. В этом смысле можно сказать, что эквивалентность гравитационного поля и неинерциальной системы отсчета имеет «локальный> характер. ф 24.
Кеплерово движение Рассмотрим движение двух тел, прнтягивающихся друг к другу по закону тяготения Ньютона. Предположим сперва, что масса одного из тел М значительно больше массы другого тела гл. Если расстояние г между телами велико по сравнению с размерами тел, то мы имеем дело с задачей о движении материальной точки т в центральном гравитационном поле, создаваемом телом М, которое можно считать неподвижным. Простейшим движением в таком поле является равномерное движение по окружности с центром в центре поля (т. е.
в центре тела М). Ускорение прн этом направлено к центру окружности и равно, как мы знаем, о«/г, где и— скорость точки гл. Умноженное на массу т, оно должно бьп ь равно силе, действующей на частицу со стороны тела М: мо» тМ Г г» й 24) кеплеРОВО движение откуда Пользуясь этой формулой, можно, в частности, определить скорость земного спутника, движущегося в непосредственной близости от земной поверхности. Заменяя в этом 0М случае г на радиус Земли й» и вспоминая, что —., представ»ке лает собой ускорение силы тяжести й, получим следующее выражение для скорости спутника или так называемой первой космической скорости: - /0М о»= й — ==Уй)с. й Подставляя сюда »г 080 -,е„з, Р = 6500 км, найдем о =8— сек Полученная формула для о позволяет установить соотношение между радиусом орбиты г и периодом обращения по ней Т.
Полагая епе '= Т найдем йМ Мы видим, что квадраты периодов обращения пропорциональны кубам радиусов орбит. Это соотношение называется третьим закопал» Кеплера, по имени астронома И. Кеплера, открывшего эмпирически в начале ХЪ'П столетия по наблюдениям движения планет основные законы движения двух тел под влиянием гравитационного взаимодействия (такое движение называют кеплеровым).
Эти законы (второй закон„устанавливающий постоянство секториальной скорости при движении в центральном поле, был рассмотрен в $ (6) сыграли важную роль в открытии Ньютоном закона всемирного тяготения. Определим теперь энергию частицы т. Ее потенциальная энергия равна, как мы знаем, »З»кМ (.» = — — —. с [гл. и пола тО~ Прибавив к У кинетическую энергию —, найдем полную энергию частицы тэ~ бтМ Е= —— 2 не меняющуюся с течением времени.
При движении по окружности бтж Рш Г и поэтому «пФ бтМ 2 2г Мы видим, что при движении по окружности полная энергия частицы отрицательна. Это находится а соответствии с результатами $ 13, согласно которым, если потенциальная энергия на бесконечности обращается в нуль, то движение будет финитным при Е(0 и ннфннитным при Е)0. Мы рассмотрели простейшее круговое движение, происходящее под действием силы притяжения бтМ Р= —— рй Однако в таком поле движение частицы может совершаться не только по окружностям, но также по эллипсам, гиперболам и параболам.
Для всех этих конических сечений один из фокусов (для параболы — единственный) находится в центре сил (в этом заключается мрвый закон Кеплера). Эллиптическим орбитам соответствуют, очевидно, отрицательные значения полной энергии частипы Е(0 (так как движение финнтно). Гиперболическим орбитам с уходящими в бесконечность ветвями соответствуют положительные значения полной энергии Е) 0 и, наконец, при движении по параболе Е=О.
Это значит, что прн движении по параболе скорость частицы на бесконечности равна нулю. Используя формулу для полной энергии частицы, легко найти ту минимальную скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по параболической орбите, т. е. ушел нз сферы земного притяжения. Полагая г=-Р в формуле тэ~ бт~н Е= —— 2 г й 241 кеплвгово двнжвяив и приравнивая Е нулю, найдем эту скорость, которая называется впюрой космической скоростью, Сравнение с формулой для первой космической скорости показывает, что о,=1 2о,=11,2 —. Разъясним теперь, чем определяются параметры эллиптических орбит.
Радиус круговой орбиты можно выразить через энергию частицы: а г= —, 2)Е~ где введено обозначение а=-бгяМ. При движении частицы Риа 7. по эллипсу такой же формулой определяется большая полуось эллипса а, а а= —. 2~Е~ ' Малая же полуось эллипса Ь зависит не только от энергии, но и от момента Е, Ь= )Г2ю ) Е ( Чем меньше момент Е, тем больше (при заданной энергии) вытянут эллипс.
Период обращения по эллипсу зависит только от энергии и выражается через большую полуось эллипса: а 7Е ~гл. и пОле До сих пор мы рассматривали случай, когда масса одного из тел М значительно больше массы другого тела и, и считали поэтому тело М неподвижным. В действительности, конечно, движутся оба тела, причем в системе центра инерции оба они описывают геометрически подобные траектории — конические сечения с общим фокусом в центре инерции. На рис.
7 изображены такие геометрически подобные эллипсы, размеры которых обратно пропорциональны массам тел. Написанные выше выражения для полуосей а и Ь относятся при этом к траектории «приведенной» частицы, следует лишь заменить в них и на тМ "=т+М сохранив прежнее значение а=бтМ. Глава П1 ДВИ)КЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА й 25. Виды движения твердого тела До сих пор мы изучали движения тел, которые можно было рассматривать в данных условиях как материальные точки.
Теперь перейдем к изучению таких движений, при которых существенна конечная протяженность тел. При этом мы будем считать тела лыердыми. Под твердым понимается в механике такое тело, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения. Такое тело выступает при движении как единое нелое. Простейшим движением твердого тела является движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Такое движение называется посшуиииельяым.
Если, например, плавно двигать компас в горизонтальной плоскости, то его стрелка, сохраняя постоянное направление с юга на север, будет совершать при этом поступательное движение. При поступательном движении твердого тела все его точки име1от одинаковую скорость н описывают траектории одинаковой формы, только смешенные по отношению друг к другу. Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях„ перпендикулярных оси вращения. Если за время дГ тело поворачивается на угол йр, то путь еЬ, проходимый за это время какой-либо точкой Р тела, будет равен, очевидно, де= Ыф, где г — расстояние от точки Р до оси вращения.
Разделив гЬ на И, найдем скорость точки Р: [гл, ш 78 движвняв твагдого тала Величина -~ одинакова для всех точек тела и представйр З ляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Зта величина называется дгловой скороаиью тела; мы будем обозначать ее буквой Р..
Таким образом, скорости различных точек вращающегося вокруг некоторой оси твердого тела определяются формулой где г — расстояние точки до оси вращения; скорость пропорциональна этому расстоянию. Величина О, вообще говоря, меняется с течением времени. Если вращение происходит равномерно, т. е. с постоянной угловой скоростью, то Р можно определить, зная период вращения Т~ Вращение характеризуется направлением оси вращения и величиной угловой скорости.
Их можно объединить вместе, введя вектор угловой скорости Й, имеющий направление оси вращения и равный по величине угловой скорости. Из двух направлений оси вращения вектору угловой скорости принято приписывать то, которое связано с направлением вращения так называемым правилом винта, т. е. то направление, в котором ввинчивается винт (с правой резьбой), вращающийся одинаково с твердым телом. Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела — поступательное движение и вращение — особенно важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним.
Разъясним это.на примере тела, движущегося параллельно некоторой плоскости. Рассмотрим два последовательных положения тела А, и А, (рис. 1). Из положения А, в положение А, тело можно перевести, очевидно, следующим образом. Переведем сперва тело нз положения А, параллельным переносом в положение А' так, чтобы в результате переноса какая-либо точка О тела попала в свое конечное положение. Если затем повернуть тело вокруг точки О на определенный угол ~р, то оно перейдет в конечное положение А,. 5 251 виды движения твзгдого твлх 79 Мы видим, что общее перемещение тела складывается из поступательного движения, переводящего тело из положения А, в положение А', н вращения вокруг точки О, окончательно переводящего тело в положение А,.
Очевидно, точка О является при этом соверщенно произвольной: можно с равным успехом произвести параллельный перенос тела из положения А, в положение А", при котором какая- либо другая точка О', а не точка О, попадает в свое конечное положение, а затем сделать поворот вокруг точки О', переводящий окончательно тело в положение А,. Существенно, что при этом угол по- 9 ворота будет в точности таким д же, как и при повороте вокруг ! ! !Д точки О; длина же пути посту- ~~ 7д! нательного перемещения точек ! О и О', вообще говоря, раз- А( х~и лична.
Рассмотренный пример поРис. 1. казывает — и это является в действительности общим правилом,— что произвольное движение твердого тела можно представить в виде совокупности поступательного движения всего тела со скоростью какой-либо его точки О и вращения вокруг осн, проходящей через эту точку. При этом поступательная скорость (которую мы обозначим через «г) зависит от того, какая именно точка тела выбрана в качестве основной. Угловая же скорость»» от этого выбора не зависит: при любом выборе точки О проходящая через нее ось вращения будет иметь одинаковое направление и будет одинаковой величина угловой скорости»«. В этом смысле можно сказать, что угловая скорость Й имеет «абсол!отный» характер,— можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая при этом, через какую именно его точку проходит ось вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
