1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По определению векторного произведения имеем К =Ггяпй, где 8 — угол между Г и г (на рис. 4 ось с перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О; А есть точка приложения силы). Иначе можно записать Кг=М где Л„=тяп 0 — плечо силы отг носительно оси (расстояние от оси до направления действия ! .
ф силы). Согласно установленной в $ 15 связи между скоростью изРис. 4. менения момента импульса и моментом действующих сил мы можем написать теперь равенство Жг.г аы — = Кг или ! — = Кг. НС Ж Это и есть уравнение двизкения вращаклиегося тела, Про- вг) изводную — можно назвать угловьии ускорением.
Мы ви- аг дим, что оно определяется моментом действующей на тело силы, подобно тому как ускорение поступательного движения определяется самой силой. Если па тело действует несколько сил, то под К в написанном уравнении следует, конечно, понимать сумму их моментов. При этом надо помнить о векторном происхождении величины Кг и приписывать разные знаки моментам снл.
стремящимся повернуть тело в противоположных направлениях вокруг оси. Положительный знак имеют моменты сил, под действием которых тело поворачивается в направлении, отвечающем условленному направлению отсчета угла ср поворота тела вокруг оси (ср есть тот угол, производная которого по времени есть угловая скорость вращения тела: ь)= — '"6. — Й!. В 28! УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА В» Отметим также„что в твердом теле можно, не изменяя свойств движения, любым образом смещать точку приложения силы вдоль направления ее действия. Очевидно, что такой перенос не изменит плеча силы, а потому не изменится и ее момент.
Условие равновесия тела, могущего вращаться вокруг некоторой оси, заключается, очевидно, в равенстве нулю суммы моментов действующих на него сил, Это — так называемый закон моменщэв. Его частным случаем является известное правило рычага, устанавливающее условИе равновесия стержня, могущего вращаться вокруг одной из своих точек. Существует простая связь между моментом действующей на тело силы и работой, производимой ею при вращении тела.
Работа, производимая силой Р при повороте тела вокруг оси на бесконечно малый угол гйр (рис. 4), равна произведению перемещения г!э= » с!Гр точки А'приложения силы на составляющую»,=» Гйп 0 силы вдоль направления движения: с г!э.= Р» з! п 8 гйр = К гйВ, Мы видим, что момент силы относительно оси совпадает а производимой ею работой, отнесенной к единичному угловому перемещению. С другой стороны, произведенная над телом работа равна убыли его потенциальной энергии. Поэтому можно написать, что К Игр = — г!сг, откуда ш ЙР Таким образом, момент силы равен взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по углу поворота тела вокруг данной оси.
Обратим внимание на анапош гию между этим соотношением и формулой»=- — —, свядх ' зывающей саму силу с изменением потенциалыюй энергии при движении материальной точки или при поступательном перемещении тела. Легко убедиться в том, что уравнение движения вращающегося тела находится, как и должно было быть, в согласии с законом сохранения энергии.
Полная энергия тела есть [гл. гп движения твввдого талл а ее сохранение выражается равенством По правилу дифференцирования функции от функции имеем ли аи лч — = — — = — К й. ле ~я Д Ю Производная же — й'=2й —. Подставив эти выражения и щ а' сократив общий множитель л1, мы снова получим известное лп уже нам уравнение 1 — =Кю й В конце 9 15 было указано, что существует связь между законом сохранения момента импульса замкнутой системы и изотропией пространства. Установление этой связи сводится к доказательству того, что обращение в нуль суммы моментов всех действующих в системе сил является следствием неизменности свойств замкнутой системы при любом повороте ее как целого [т.
е. как если бы она представляла Лl собой твердое тело). Если применить соотношение — „= — К др к внутренней потенциальной энергии системы, понимая при этом под Кх суммарный момент действующих на все ее Частицы сил, то мы увидим, что условие неизменности потенциальной энергии при повороте замкнутой системы вокруг любой оси действительно означает равенство нулю суммарного момента сил. 9 29.
Равнодействующая сила Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно„ что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил. Наиболее важный случай такого рода — сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение % 29) РАВнолейстауюн[Ая силА 89 сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела. Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвопьно выбранной горизонтальной оси (ось А на рис.
5). Сила тяжести, действующая на элемент т; тела, равна т;д, а ее плечо есть координата к; этого элемента. Поэтому ~ — тх) — ~ СМИР ! суммарный момент всех д — — -+— л' 1 сил равен ! ! Кх=т,йх,-(-т,фх,+ ... Равнодействующая сила по величине равна полному весу тела (т,+ Рис. з.
+ т,+...)д, и если обозначить координату ее точки приложения через К, то тот же момент К запишется в виде Кх=-(т1+тх — ', ...)ах. Приравняв оба выражения, найдем Ацх,+т,х,+... т,+т.,+... Но это есть не что иное, как х-координата центра инерции тела. Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяхсеспш.
Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пари сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма Кх моментов таких двух сил относительно любой оси 7, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины Е на (гл. ш даижаииг тввгдого тела расстояние й между направлениями действия обеих сил (плечо лары): '(х= гн Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, за- висит только от этого, как говорят, момента лары.
й 30. Гироскоп В 5 27 мы нашли проекцию(,х момента импульса тела на ось вращения. Для тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, существенна только эта проекция вектора А. Простая зависимость ее от угловой скорости вращения (ь„=-!Й) приводит к тсв|у, что и все движение имеет простой характер. Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор ь в его зависимости от вектора угловой скорости ь).
Эта зависимость, однако, имеет более сложный характер: компоненты вектора ь являются линейными функциями компонент Я, но направления этих векторов, вообще говоря, различны. Это обстоятельство существенно усложняет в общем случае характер движения тела. Мы рассмотрим здесь лишь один пример движения тела со свободно ориентирующейся осью вращения — так называемый гироскоп, т.
е. осесиммегричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси. При таком вращении вектор момента ь тоже (как и вектор угловой скорости й) будет направлен вдоль оси тела. Это очевидно уже без вычисления, просто из соображений симметрии: в силу осесимметричности движения нет никакого другого избранного направления, куда мог бы быть направлен вектор ь. До тех пор, пока на гироскоп не действуют никакие внешние силы,егоось будет сохранять свое направление в пространстве: в силу закона сохранения момента направление (как и величина) вектора ь остается неизменной.
Если же приложить к гироскопу внешние силы, его ось начнет отклоняться. Именно это движение оси гироскопа нас и будет интересовать; его называют прецессией. Изменение направления оси гироскопа представляет собой его вращение относительно некоторой другой осн, так 91 в зо) Гигоскоп что вектор суммарной угловой скорости уже не будет направлен вдоль геометрической оси теча.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
