1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Так как период косинуса равен 2я, то период движения Т 4 л. д. лавашу и хг. [гл. г< колевляия связан с гл соотношением 2п т =- —. Отсюда видно, что в отличается множителем 2п от частоты гл ьз =- 2ит. Величину в называют циклической (круговой) частотой; в физике пользуются обычно для характеристики колебаний именно этой величиной н часто говорят о ней просто как о частоте. Так как максимальное значение косинуса равно единице, то максимальное значение координаты х равно А.

Это максимальное значение называется амплитудой колебания. Величина х изменяется в пределах от — А до А. Аргумент косинуса <»<+а носит название фазы колебания; а есть начальная фаза (в момент <=0). Скорость частицы равна о = — = — Ав з!п (г»<+а). 0х =~И= Мы видим, что скорость тоже изменяется по гармоническому закону, но только вместо косинуса сюда входит синус. Написав это выражение в виде о = Аы соз ( ы» т а+ —" ), 2~' мы можем сказать, что изменение скорости <опережает по фазе» изменение координаты на величину — ". Амплитуда 2 же скорости равна произведению амплитуды смещения на частоту ь».

Выясним теперь, какова должна быть сила, действующая на частицу, для того, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого ускорение частицы при таком движении: ги= — = — Аы соз(гэ1+сг). йс ~й Эта величина изменяется по такому же закону, что и координата частицы, но отличается от нее по фазе на я. Умножив гя на массу частицы т и замечая, что А соз (в1+а)=х, $32) Глгмоняческив колевлния получим следующее выражение для силы: Р= — пка х. Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания, действующая на нее сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Простой пример: сила, действующая на тело со стороны растянутой (или сжатой) пружины, пропорциональна ее удлинению (или укорочению) н всегда направлена так,что пружина сгремится принять свою нормальную длину. Такую силу называют восстанавливаюи(ей. Зависимость силы от положения частицы, имеющая описанный характер, встречается в физических задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении устойчивого равновесия (пусть это будет точка х=О) и мы немного сместим его из этого положения в ту нли другую сторону„ то возникнет сила Г, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия.

Как функция положения тела х сила Р=Е(х) изобразится некоторой кривой, пересекающей начало координат: в точке х=О сила Е=-О, а по обе стороны от этой точки она имеет противоположные знаки. В небольшом интервале значений х эта кривая может быть приближенно представлена в виде отрезка прямой линии, так что сила оказывается пропорциональной величине отклонения х. Таким образом, если тело испытало небольшое отклонение от положения равновесия, после чего предоставлено самому себе, то при его возвращении в положение равновесия возникнут гармонические колебания. Движения, при которых тело мало смещается относительно положения равновесия, называются малыми колебаниями.

Мы видим, что малые колебания являются гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если сила связана со смещением соотношением где й — некоторый коэффициент, называемый лсеапкоапью, то из сравнения этого выражения с выражением для силы при гармоническом колебательном движении Г= — пкз'х [гя.

пг колевхния следует, что частота колебаний равна Подчеркнем то обстоятельство, что частота оказывается зависящей только от свойств колеблющейся системы (жесткости закрепления тела н от его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разным размахом, совершает их с одинаковой частотой. Это— очень важное свойство малых колебаний. Напротив, амплитуда колебаний определяется ие свойствами самой системы, а начальными условиями ее движения, т.

е. начальным «толчкомз, выводящим систему из состояния покоя. Колебания системы, возникающие в результате начального толчка, после которого система предоставляется самой себе, называют ообсниннными колебаниями. Потенциальную энергию колеблющейся частицы легко найти, заметив, что И/ — = — Е=- йх. ох Отсюда У = — + сопз(. яхл 2 Выбрав постоянную так, чтобы потенциальная энергия была равна нулю в положении равновесия (х=О), получим окончательно и='— ,"', т.

е. потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения частицы. Складывая потенциальную энергию с кинетической, найдем полную энергию колеблющейся частицы то2 Ьх2 тА'-ея тАЧЯ Е =- — + — = ып (Ы+а)+ сов~ (М+а), 2 пли тА~оР 2 Таким образом„полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Обратим внимание на то, что маятник кинетическая и потенциальная энергии изменяются как з1п'(мГ+<х) и созз(юГ+я), так что когда одна из них увеличивается, другая — уменьшается. Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние (за период колебания) значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и каждое из них равно Е(2. й ЗЗ. Маятник В качестве примера малых колебаний рассмотрим колебания мшпематического маятника — материальной точки, подвешенной на нити в поле тяжести Земли. Отклоним маятник из положения равновесия на некоторый угол ~р и определим действующую при этом на маятник силу. Общая сила, действующая на маятник, равна пц„ где т — масса маятника и д — ускорение силы тяжести. Эту силу мы разложим на две составляющие (рнс.

1): одну вдоль нити и другую— перпендикулярную нити. Первая составлающая компенсируется натяжением нити, а вторая вызывает движение маятника. Эта составляющая равна, очев но, Г= — тдзш~р. /'Ж л7я В случае малых колебаний угол ~р мал. При этом гйп ср приближенно равен пас. и самому углу ср, так что Р— тйчр. Замечая, что пр (где 1 — длина маятника) представляет собой путь к, пройденный материальной точкой, запишем Г в виде ИЯ Р =- — — х.

Отсюда видно, что коэффициент жесткости в случае ма. лых колебаний маятника й=тд/Е Поэтому частота колеба ний маятника будет )/К Период колебаний маятника равен 2я Т= — =2п у —. И Я колеэкняя (гл. ьт Отметим, что длина маятника с периодом Т=-Ь сек (для стандартного значения ускорения силы тяжести, см. стр. 70) равна (=24,8 см. Зависимость периода маятника от его длины и ускорения силы тяжести может быть просто определена и из соображений размерности. В нашем распоряжении имеются характеризующие данную механическую систему величины ги, 1, д' с размерностями (т1=-г, яс ам, ~д) =ем/секэ.

Только от этих величин и может зависеть период Т. Поскольку из всех этих величин размерность г содержит только и, а размерность искомой величины (Т) = — сек не содержит г, то ясно, что Т вообще не может зависеть от т. Из двух оставшихся величин 1 и д можно исключить размерность см (не содержащуюся в Т), образовав отношение (/д. Наконец, извлекая корень Г Я, мы получим величину размерности гак, причем из изложенных рассуждений ясно, что это есть единственный способ образовать такую величину.

Поэтому мы можем утверждать, что период Т должен быть пропорционален )~ Я; численный же коэффициент пропорциональности этим способом определить, конечно, нельзя. Мы до сих пор говорили о малых колебаниях, как о колебаниях одной материальной точки. Но полученные нами результаты относятся в действительности и к колебаниям более сложных систем. В качестве примера рассмотрим колебания твердого тела, могущего вращаться вокруг горизонтальной оси под влиянием силы тяжести. Такое тело называют физическим малшником.

Мы видели в $ 28, что законы движения вращающегося тела формально пе отличаются от законов движения материальной точки, причем роль координаты х играет угол поворота тела ср, роль массы — момент инерции тела У (относительно оси вращения), а вместо силы Е надо говорить о моменте силы Кх. В данном случае момент сил тяжести относительно оси вращения равен К-= — кида з1п ~р, где и — масса тела, а— расстояние его центра тяжести С от оси вращения (она проходит через точку О перпендикулярно плоскости рис.

2), ф — угол отнлонения линии ОС от вертикали; знак минус юз в зз) нлятник выражает тот факт, что люмент Кх стрелштся уменьшить угол ~р. При малых колебаниях угол ~р мал, так что Кхж = — ллда ~р. Сравнивая это выражение с выражением для восстанавливающей силы г"= — Ах при колебаниях матери- л альной точки, мы видим, что роль ко- ол.

эффициента жесткости А играет теперь величина гада. Таким образом, по ана- ~Р~. логии с формулой ы=р ~~~рд можно написать следующее выражение для частоты колебаний физического маят- Сравнив это выражение с формулой для частоты колебаний математнческо- Щ го маятника (ы= $' д/1), мы видим, Рьс. 2. что свойства движения физического маятника совпадают со свойствами движения математического маятника с длиной ! Ее называют приведенной длиной физического маятника. Написав 1=1,+тол (где 1,— момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести), представим приведенную длину в виде ! 1=а+ — '.

Характеристики

Список файлов книги