1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 6
Текст из файла (страница 6)
9 9. Движение в однородном поле Если на частицу в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю эту совокупность снл называют силоеим полем. В общем случае силы поля могут меняться от одной точки пространства к другой и зависеть также от времени.
рассмотрим простейший случай движения материальной точки в Однородном н постоянном поле, когда силы поля имеют повсюду одинаковую величину и неизменное направление и не зависят от времени. Таково, например, поле притяжения Земли на участках, малых по сравнению с ее радиусоль Из уравнения движения материальной точки йэ гп — =:,г' Ж ДВНЖЕННЕ В ОЛНОРОДНОМ ПОЛЕ ~ри г=сопз1 следует, что 1 „ру+ оо где о — начальная скорость материальной точки. Таким образом, в однородном и постоянном поле скорость является линейной функцией времени. Полученное для о выражение показывает, что движение материальной точки происходит в плоскости, образованной вектором силы Р и вектором начальной скорости о .
Примем эту плоскость за координатную плоскость х, у и направим ось у вдоль направления силы г'. Уравнение„определяющее скорость частицы а, разобьется на два уравнения для проекций скорости о„и о,: у о= — 1+о,, о =о У Л УО х он где оо и о о — начальные значения проекций скорости.
Вспоминая, что проекции скорости равны производным по времени от соответствующих координат частицы„перепишем последние выражения в виде у ду 1о Их — = — 1+о, -=- о ٠— м Уо н1 оо' Отсюда следует, что о у — 2„-, Г +оуо -с уо х — — о„от + хо 'Ъ где х, и уо — начальные зна- Рнс. б. чениякоординатматериальной точки. Этими выражениями определяется траектория движения частицы.
Они упрощаются, если условиться отсчитывать время от момента, когда проекция скорости о обращается в нуль; тогда О,=О. Выбрав также начало координат в точке, где находйтся частица в этот момент, будем иметь х =Ус=О. Наконец, обозначив величину о„, совпадающую теперь с начальным значением величийй скорости, просто как оо, получим У у= — уо, х=-о у. — о ° ~гл. е мехАникА точки Исключая отсюда г, найдем л у= —,ХХ, 2 '0 т. е. уравнение параболы (рис.
б). Таким образом, в однородном поле частица движется по параболе. ф 10. Работа и потенциальная энергия Рассьютрим движение материальной точки в некотором силовом поле Г. Если под действием силы Р материальная точка прошла бесконечно малый путь дз, то величина дА = Рдз соз О, где Π— угол между векторами Г и дз, называется рабощоа силы Г на пути дз.
Произведение абсолютных величин двух векторов а и Ь на косинус угла между ними называет- ся скалярным произведением этих векторов и обозначает- ся аЬ. Поэтому работу можно определить как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения частицы: дА =Еда. Это выражение можно записать также в виде дА=-Е, дз, где Е,— проекция силы Р на направление перемегдения частицы дз. Для того чтобы определить работу сил поля ие на беско- нечно малом, а на конечном пути частицы, нужно разбить этот путь на бесконечно малые участки дз и, определив ра- боту на каждом элементарном участке, сложить все эти ра- боты.
Эта сумма даст работу сил поля на всем пути. Из определения работы следует, что сила, направленная перпендикулярно пути, не производит работы. В частности, при равномерном движении материальной точки по окруж- ности работа сил равна нулю. Постоянное силовое поле, т. е. поле, не зависящее от времени, обладает следующим замечательным свойством: если в таком поле материальная точка движется по замкну- тому пути, так что в результате движения точка возвращает- ся в исходное положение, то работа, совершаемая при этом силами поля, будет равна нулю.
й !о! РАБОТА и нотендднАлънАя энеРГия 3! Из этого свойства следует и другое утверждение: работа сил поля при переносе частицы из одного положения в другое не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек переноса. Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и Ь (рис. 7). Предположим, что частица переводится из точки 1 в точку 2 вдоль кривой а н затем из точки 2 йазад в точку 1 по кривой Ь. Общая работа, которая производится при этом силами поля, равна нулю.
Обозначая работу буквой А,мы можем написать А„, + Адед — — О. РНГ. 7. При изменении направления переноса работа, очевидно, меняет знак, поэтому из написанного равенства следует Ад а= — Адм= Ады т. е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки перехода 1 и 2. Так как работа сил поля не зависит от вида пути переноса, а определяется танько конечными точками пути, то ясно, что она является величиной, имеющей глубокое физическое содержание. С ее помощью можно определить важную характеристику силового поля.
Примем для этого какую-либо точку пространства, которую обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаед1ую силами поля при переходе частицы из этой точки в какую-либо произвольную точку Р. Обозначим эту работу через — У. Величина У, т. е.
взятая с обратным знаком работа при переходе частицы из точки О в точку Р, называется потенциальной энергией частицы в точке Р. Ойа является функцией координат х, !1, г точки Р: и=!1!х, р,.1. Работа же сил поля А„при переходе частицы из какой- либо произвольной точки 1 в точку 2 равна А„=- !1, — и„ где Уд и 11д — значения потенциальной энергии в этих МЕХАНИКА ТОЧКИ точках. Работа равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути. Рассмотрим две бесконечно близкие точки Р и Р'. Работа сил поля при переходе частицы из точки Р в точку Р' будет — Н/. С другой стороны, зта работа равна Р гЬ, где и†вектор, проведенный из Р в Р'; как было указано уже в $ 2, вектор дз совпадает с разностью йг радиусов- векторов точек Р' и Р. Таким образом, мы приходим к равенств У ,Г г/г' = — г///. Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним нз основных соотношений механики.
Написав Р дг= Р г/в= Р,Ф, можно представить это соотношение в виде Это значит, что проекция силы на некоторое направление получается делением бесконечно малого изменения Н/ потенциальной энергии на бесконечно малом отрезке вдоль этого направления на длину г/з этого отрезка.
Выражение Л/ — называют производной от // по направлению з. НЕ Лля пояснения этих соотношений определим потенциальную энергию в постоянном однородном поле. Примем направление силы поля Р за ось г. Тогда Рдг=Р дг; приравнивая зто выражение изменению потенциальной энергии, получим Л//=Р г/г, откуда и = — Ре+ Мы видим, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство имеет общий характер и связано с произволом в выборе исходной точки поля О, ог которой отсчитывается произведенная над частицей работа. Обычно принято произвольную постоянную в выражении для ~/ выбирать так, чтобы потенциальная энергия частицы обращалась в нуль, когда частица находится на бесконечном расстоянии от других тел. Из формул, связывающих проекции силы с потенциальной энергией, можно сделать заключение о направлении силы.
Если в некотором направлении потенциальная энер- % 111 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГНИ гия возрастает ( — )О), то проекция силы на это направ- l гИУ (Ь ление будет отрицательной, т. е. сила будет иметь то направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии. Так как производная Обращается в нуль в точках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и минимума потенциальной энергии равна нулю. й !1. Закон сохранения энергии Тот факт, что работа, совершаемая силами постоянного поля при переходе частицы из одной точки в другую, не зависит от вида пути, по которому происходит переход, приводит к чрезвычайно важному соотношению — закону сохранения энергии.
Чтобы получить это соотношение, напомним, что действующая на частицу сила га равна иэ г=т —. щ Так как проекция ускорения на направление движения рав- 00 па —, то проекция силы на это направление будет др г =т —. Ж Определим теперь работу этой силы на бесконечно малом пути йэ=пйй дА =г,йэ=тпйп, илн ( 2 ) Таким образом работа, совершаемая силой, равна увелиинра чению величины —.Эта величина называется кинегпичгс- 2 кой энергией частицы.
С другой стороны, работа равна убыли потенциальной энергии, йА= — О1/. Поэтому мы можем написать равенство (2 )' 2 Л. Д. Ландау и др. (гл. ~ мвхливкл точки т. е. ((и+ —,' ) =о. ОГюзначая стоящую здесь сумму буквой Е, имеем, следовательно, Е = — +!/ = сопз(. тол 2 Таким образом, сумма кинетической энергии частицы, зависящей только от ее скорости, и потенциальной энергии, зависящей только.от ее координат, не меняется при движении частицы. Эта сумма носит название полной энергии или просто энергии частицы, а полученное соотношение называется законом сохранения энергии.
Силовое поле, в котором движется частица, создается какими-то другими телами. Для того чтобы поле было постоянным, эти тела должны быть неподвижнымн. Таким образом, мы получили закон сохранения энергии в простейшем случае, когда одна частица движется, а все остальные тела, с которыми она взаилюдействует, покоятся.
Но закон сохранения энергии люжет быть сформулирован и в общем случае, когда имеется ряд движущихся частиц. Если эти частицы образуют замкнутую систему, то для них также справедлив закон сохранения энергии, согласно которому сумма кинетических энергий всех материальных точек в отдельности и нх взаимной потенциальной энергии не меняется с течением времени, т. е.
где гл; — масса (-й частицы, о; — ее скорость и У вЂ” потенциальная энергия взаимодействия частиц, зависящая от их радиусов-векторов го Функция (' связана с действующими на каждую из частиц силами аналогично тому, как это имеет место для одной частицы во внешнем поле. Именно, для определения силы Рп действующей на 1-ю частицу, надо рассмотреть изменение потенциальной энергии (l при бесконечно малом смещении 0г; этой частицы при неизменном расположении всех остальных частиц. Производимая при таком смещении над частицей работа Ел(г~ равна соответствующей убыли потенциальной энергии.
35 ф 11! ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Закон сохранения энергии справедлив для всякой замкнутой системы и наряду с законом сохранения импульса является одним из важнейших законов механики. В силу своего общего характера он применим ко всем явлениям. Кинетическая энергия есть величина существенно положительная. Потенциальная же энергия взаимодействия частиц может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия двух частиц определена так, чтобы она равнялась нулю, когда частицы находятся на большом расстоянии друг от друга, то ее знак зависит от характера взаимодействия частиц: имеет лн оно характер притяжения или отталкивания. Поскольку действующие на частицы силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии, то сближение притягивающихся частиц приводит к уменьшению потенциальной энергии, которая оказывается, таким образом, отрицательной геличиной.
Потенциальная же энергия отталкивающихся частиц, напротив, положительна. Энергия (и работа) имеет размерность 1Е) = 1т) !о!Я = г смЯ Поэтому единицей энергии в системе СГС является 1 еек' эта единица называется эргом. Эрг представляет собой работу, совершаемую на пути в 1 см силой, равной 1 дии. В системе СИ пользуются большей единицей энергии, называемой джоулем (дж). Джоуль представляет собой работу силы в 1 н на пути в ! м: ! дж=-1 и м = 10' эрг. Если в качестве единицы силы пользоваться килограммом„то ссютветствующей единицей энергии будет килограммометр (кГм) — работа, производимая салай 1 кГ на пути в ! м. Он связан с джоулем соотношением 1 НГм = 9,8 дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
