1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 3
Текст из файла (страница 3)
5 31). 12 [гл. мехьннкк точкн 5 2. Скорость Изучение законов движения естественно начать с движения тела, размеры которого достаточно малы. Движение такого тела происходит наиболее просто, так как мы можем не принимать во внимание вращение тела, а также перемещение различных частей тела друг относительно друга. Тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь, называется материальной точкой и является основным объектом рассмотрения механики.
О материальной точке мы будем часто говорить также как о «частице». Возможность рассматривать движение некоторого тела как движение материальной точки определяется не одними только абсолютными размерами тела, а зависит от условий физической задачи. Например, рассматриная движение Земли вокруг Солнца, можно считать Землю материальной точкой. Однако Землю никак нельзя рассматривать как материальную точку при изучении ее суточного вращения вокруг своей оси. Положение материальной точки в пространстве полностью определяется заданием трех ее координатх например, трех декартовых координат х, у, г; в этой связи говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы.
Совокупность трех величин х, д, г образует радиус-вектор частицы г, направленный из начала координат в точку, в которой находится частица. Движение материальной точки характеризуется ее скоростью. При равномерном движении значение скорости определяется просто как путь, проходимый частицей в единицу времени. В общем случае, когда движение неравномерно и меняет свое направление, скорость частицы следует определить как вектор, равный частному от деления вектора бесконечно малого перемещения частицы дв на соответствующий бесконечно малый интервал времени аг'. Обозначая вектор скорости через о, имеем, следовательно, ав 9=- — .
= ве Направление вектора скорости о совпадает с направлением Йв, т. е. скорость в каждый момент времени направ- 1З й 21 скогость лена по касательной к траектории частицы в сторону движения. На рис. 1 изображена траектория движения некоторой материальной точки и отмечены ее радиусы-векторы г и г+аг в моменты времени 1 и г+аг.
Пользуясь правилом сложения векторов, легко убедиться, что бесконечно малое смещение точки йа равно разности радиусов-векторов частицы в начальный и конечный моменты времени, йв=йг, Поэтому скорость е можно представить в виде ВР ч» = в» т. е. скорость есть производная от радиуса-вектора движущейся частицы по времени. Поскольку компонентами радиуса-вектора г являются координаты х, у, уточки, то компоненты или проекции скорости на оси координат х, у, г равны производным ах ву ае в»' Р и' ' а ОР— —— о Скорость, наряду с положением, является основной величиной, характеризующей состояние движения материальной точки.
Состояние частицы определяется, следовательно, шестью величинами: тремя координатами и тремя компонентами скорости. Установим связь между значениями скоростей и и ю' одной и той же материальной точки в двух различных системах отсчета К и К'. Если за время аг материальная точка переместилась относительно системы отсчета К на величину йв, а система К переместилась относительно системы К' на а$, то из правила векторного сложения следует, что смещение материальной точки относительно системы К' будет ав'=-ав+а5.
Разделив обе части этого равенства на интервал времени й» и обозначив скорость системы К относительно К' через $», найдем е'=ч»+ 1». Эта формула, связывающая скорости одной и той же материальной частицы в разных системах отсчета, называется правилом сложения скоростей. [гл. ~ МЕХАНИКА ТОЧКИ На первый взгляд правило сложения скоростей представляется совершенно очевидным. Необходимо, однако, иметь в виду, что оно основано на молчаливо сделанном предположении об абсолютном течении времени. Именно, мы считаем, что интервал, времени, за который частица смещается на величину дз в системе К, равен интервалу времени, за который частица смещается на величину тЬ' в системе ц". Это предположение в действительности оказывается, строго говоря, неправильным, но следствия, вытекающие из неабсолютности времени, начинают проявляться только при очень больших скоростях, сравнимых со скоростью света.
В частности, при таких скоростях >же не выполняется правило сложения скоростей. Мы в дальнейшем будем рассматривать лишь достаточно малые скорости, когда предположение об абсолютности времени хорошо оправдывается. Механика, основанная на предположении об абсолютности времени, называется ньютоновской или классической; только эту механику мы и будем здесь изучать. Основные законы этой механики были сформулированы Ньютоном в его математических началах натуральной философии», опубликованных в 1687 г.
й 3. Импульс При свободном движении материальной точки, когда она не взаимодействует с другими телами,, скорость ее в инерциальных системах отсчета остается неизменной. Напротив, если материальные точки взаимодействуют друг с другом, то скорости их меняются с течением времени. Изменения скоростей взаимодействующих друг с другом частиц не являются, однако„полностью независимыми, а связаны между собой.
Чтобы выяснить, какова эта зависимость, введем понятие замкнутой сиопеми, под которой будем понимать совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом и не взаимодействующих с окружающими телами. Для замкнутой системы существует ряд величин, связанных со скоростями и ие меняющихся с течением времени. Эти величины играют, естественно, особенно важную роль в механике.
5 31 ИМПУЛЬС Одной из таких неизменяющихся или, как говорят, сохранлкхЧихса величин является полный импульс сштемы. Он представляет собой векторную сумму импульсов каждой из материальных точек, входящих в состав замкнутой системы. Вектор же импульса материальной точки связан простым соотношением с ее скоростью: он пропорционален ей. Коэффициент пропорциональности является характерной для каждой материальной точки постоянной и называется массой материальной точки. Обозначая через р вектор импульса частицы и через т ее массу, мы можем написать р=те, где е — скорость частицы. Сумма векторов р, распространенная на все часгицы замкнутой системы, представляет собой полный импульс системы: Р=р,+р,+...
=т,е1+т,е,+ ..., где индексы нумеруют отдельные частицы. Эта величина не меняется с течением времени: Р= сопз1. Итак, полный импульс замкнутой системы сохраняется. Это утверждение называется законом сохранения импульса. Мы вернемся еще в ~ 15 к вопросу о происхождении этого закона.
Так как импульс есть вектор, то закон сохранения импульса распадается на три закона, выражающих постоянство во времени трех компонент полного импульса. В закон сохранения импульса входит новая величина— масса частицы. Используя этот закон, можно определить отношения масс частиц. Действительно, представим себе, что две материальные точки сталкиваются друг с другом. Обозначим их массы через т, и т, Пусть е, и е, обозначают скорости частиц до столкновения, а е,' и е,' — после столкновения.
Тогда из закона сохранения импульса следует, что Лгге1 + тэе1 = т1е1 ~~ т1еа. Обозначая через Ле, и Ле, изменения скоростей обеих час. тиц, перепишем это соотношение в виде т, Ле,+и, Леэ=О, (гл. ыеххникх точки откуда Таким образом, изменения скоростей двух взаимодействующих частиц обратно пропорциональны их массам. Пользуясь этим соотношением, можно по изменению скоростей частиц определить отношение их масс. Поэтому мы должны условно выбрать массу какого-либо тела за единицу и относить к ней массу всех других тел.
В качестве такой единицы массы в физике обычно принимается грамм (см. 5 8). й 4. Реактивное движение Закон сохранения импульса представляет собой один из фундаментальных законов природы и проявляется в целом ряде явлений. В частности, он лежит в основе реактивного движения.
Покажем, как найти скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы. Обозначим скорость ракеты в некоторый момент времени г через о, а массу через М. Пусть в этот момент времени начинают выходить выхлопные газы, скорость ~Г которых относительно ракеты равна и. Через время !(! масса ракеты уменьшится и станет равной М +дМ, где — дМ вЂ” масса вышедшего газа, а скорость увеличится и станет равной и+ !(о. Сравним теперь импульсы системы ракета + выхлопные газы в моменты времени ! и Г '-!(!. Первоначальный импульс равен, очевидно, Мо. Импульс ракеты в момент времени г+г(! равен (М+НМ) (и- рсЬ) (величина !(М отрицательна), а импульс выхлопного газа равен — дМ(п — и), так как скорость газа относительно Земли равна, очевидно, и — и (рис. 2).
Согласно закону сохранения импульса мы должны приравнять величины импульсов в оба момента времени: Мп = — (М + 1(М) (О+ й3) — г!М(п — и), 5 б1 пгитг инвгции откуда, пренебрегая бесконечно малой второго порядка дМ оЬ, получим М ой+ и о1 М '= О, или оМ Ла М и Мы будем считать, что скорость истечения газа не меняется с течением времени. Тогда последнее равенство можно переписать в виде о11пМ = — д —,, откуда следует, что 1и М+ —,=сопз1. Значение сопэ1 определяется из условия, что в начале движения ракеты, т. е.
при о=О, масса ракеты равнялась М„: сопз1 = 1п Мо. Подставляя зто значение в полученное соотношение, найдем !пМ+ — =1п М, откуда окончательно Мо о=и1п — о М ' Эта формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы. й б. Центр инерции С законом сохранения импульса связано важное свойство массы — закон сохранения массы. Чтобы разъяснить содержание этою закона, рассмотрим для замкнутой системы частиц точку, называемую центром инерции системы, Координаты центра инерции представляют собой средние значения координат частиц, првчем координата каждой частицы считается столько раз, сколько единичная масса содержится в массе частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
