1611143556-2273da8470727e985a6fa41fb7d7276c (825019), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Иными словами, если хм х„... обозначают х-координаты частиц с массами гп„т„ то х-координата центра инерции определяется формулой Х тох1+тох + " " ' то+ то+... 1В [гл. ~ МЕХАНИКА ТОЧКИ Аналогичные формулы можно написать также для у- и е-координат. Все эти формулы записываются в векторной форме в виде одного выражения для радиуса-векторатт центра инерции: тег, + т„гх+... т1 + т2 + где г„г„...— радиусы-векторы отдельных частиц. Центр инерции обладает замечательным свойством— он движется с постоянной скоростью, в то время как отдель- ные частицы, входящие в состав замкнутой системы, могут двигаться со скоростями, изменяющимися с течением вре- мени.
Действительно, рассмотрим скорость движения цент- ра инерции. Она равна нг, нг„ и ' Ы+ ' йг+"" %'= — = ~М т,+в~+... нг, лг, Но — - есть скорость первой частицы, — — скорость второй ж ~Ы частицы и т. д. Обозначив эти скорости через е„ю„..., получим т,и~+ т,п,+... т~+т~+... Числитель этого выражения представляет собой полный импульс системы, который мы обозначали через Р.
Поэтому окончательно Р Ф'= —, М' где М вЂ” сумма масс всех частиц: М=гп,+ги,+... Так как полный импульс системы сохраняется, то не из- меняется со временем и скорость центра инерции. Переписав полученную формулу в виде Р=М$г, мы видим, что полный импульс системы, скорость движения ее центра инерции и сумма масс всех входящих в систему частиц связаны таким же соотношением, как и импульс, скорость н масса отдельной частицы. Мы можем рассматривать полный импульс системы как импульс одной материальной точки, находящейся в центре инерции системы н имеющей массу, равную сумме масс всех частиц в системе.
Скорость центра инерции можно рассматривать 19 УСКОРЕНИЕ как скорость движения системы частиц как целого, сумма же масс отдельных частиц выступает как масса асей системы. Мы видим, таким образом, что масса сложного тела равна сумме масс его частей. Это утверждение очень привычно и может показаться само собой разумеющимся. В действительности, однако, оно отнюдь не тривиально и представляет содержание физического закона, являющегося следствием закона сохранения импульса. Так как скорость центра инерции замкнутой системы частиц не меняется со временем, то„ связав с ее центром инерции сиотему отсчета, мы получим некоторую инерциальную систему отсчета. Она называется сиапамой центра инерции. Полный импульс замкнутой системы частиц равен, очевидно, в этой системе отсчета нулю. При описании явлений в такой системе отсчета исключаются усложнения, вносимые в картину движением системы частиц как целого, и яснее выявляются свойства происходящих в ней внутренних процессов.
По этой причине система центра инерции часто используется в физике. 9 6. Ускорение В общем случае движения материальной точки ее скорость непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению. Пусть за время г1г скорость изменилась на йе. Если отнести это изменение к единице времени, то мы получим вектор ускорения материальной точки, который будем обозначать через ев: и'в ев=- —.
<Ы ' Таким образом, ускорение определяет изменение скорости частицы н равно производной от скорости по времени. Если направление скорости не изменяется, т. е. материальная точка движется по прямой, то ускорение направлено по этой же прямой и равно, очевидно, ~Ь Ы= —. М Легко также определить ускорение в том случае, когда скорость, оставаясь постоянной по величине, изменяется (гл. ~ МЕХАНИКА ТОЧКИ только по направлению.
Этот случай имеет место при равномерном движении материальной точки по окружности, Пусть в некоторый момент времени скорость частицы равна э (рис. 3). Отложим вектор и на вспомогательном графике от некоторой точки С (рис. 4). При равномерном и РКС. 3. Рис. 4. движении частицы по окружности конец вектора в (точка А) также равномерно движется по окружности радиуса и, равного абсолютному значению скорости. Ясно, что скорость перемещения точки А будет ускорением исходной частицы Р, так как перемещение точки А за время й равно ле де, и, следовательно, скорость точки А равна в .
Эта ско- тт ' рость, имея направление касательной к окружности С, перпендикулярна е. На рисунке она обозначена буквой тв. Если мы построим вектор тв у точки Р, то он будет, очевидно, направлен к центру окружности О. Таким образом, ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности, направлено к центру окружности, т. е. перпе~щркулярно скорости. Определим величину. ускорения тв. Для этого нужно найти скорость точки А, движущейся по окружности радиуса и. За время полного обращения точки Р по окружности О, которое мы обозначим через Т, точка А пробежит всю окружность С, т. е. пройдет путь 2пи.
Поэтому скорость тзчки А, равная и, будет 2_#_и И/ =- —" Т ф 7] 21 СИЛА 2И« Подставляя сюда значение периода Т==, где г — радиус траектории частицы Р, получим окончательно »» Итак, если скорость меняется только по величине, направление ускорения совпадает с направлением скорости; если же скорость меняется только по направлению, то векторы скорости и ускорения взаимно перпендикулярны. В общем случае, когда скорость меняется как по величине, так и по направлению, ускорение имеет две составляющие: одну вдоль скорости и другую — перпендикулярную ей.
Первая, так называемая касательная нли гпангенциальяая составляющая, равна производной от величины скорости по времени, Вторая составляющая ускорения,ш„, называется нормальной. Она пропорциональна квадрату скорости частицы и обратно пропорциональна радиусу кривизны траектории в данной точке. ф 7. Сила Если материальная точка совершает свободное движение, т. е.
не взаимодействует с окружающими телами, то сохраняется ее импульс. Если, напротив, частица взаимодействует с окружающими телами, то ее импульс меняется со временем. Мы можем, следовательно, рассматривать изменение импульса материальной точки как меру воздействия на нее со стороны окружающих тел. Чем больше это изменение (отнесенное к единице времени), тем интенсивнее воздействие. Естественно поэтому для определения воздействия рассматривать производную от вектора импульса материальной точки по времени. Эта производная носит название силы„действующей на материальную точку.
Такое определение характеризует одну сторону взаимодействия, а именно, оно касается степени «реагирования» материальной точки на воздействие на нее со стороны окружающих тел. Но, с другой стороны, изучая взаимодействие [гл. МЕХАНИКА ТОЧКИ материальной точки с окружающими телами, можно связать силу этого взаимодействия с величинами, характеризующими состояние материальной точки и состояние окружающих тел. Силы взаимодействия между материальными точками оказываются (в классической механике) зависящими только от их расположения.
Иными словамн, силы, действующие между частицами, зависят только от расстояний между ними, но не от скоростей частиц. Характер зависимости сил от расстояний между частицами может быть во многих случаях установлен, исходя из изучения тех физических явлений, которые лежат в основе взаимодействия между материальными точками.
Обозначим через г выражение для силы, действующей на рассматриваемую материальную точку, в зависимости от ее координат, а также от величин, характеризующих свойства и расположение окружающих тел. Мы можем тогда записать равенство двух выражений для силы— изменения импульса материальной точки р в единицу времени и Р: Это равенство называется уравнением движения материальной точки. Так как р=то, то уравнение движения материальной точки можно записать также в виде во т — = ет.
вг Таким образом, сила, действующая на материальную точку, равна произведению ускорения материальной точки на ее массу. Это утверждение составляет содержание так называемого второго закона механики Ньютона. Подчеркнем, однако, что этот закон приобретает конкретный смысл только после того, как установлен вид Р как функции координат частицы. В этом случае, т. е. если вид функции Г известен, уравнение движения позволяет, в принципе, определить зависимость скорости и координат материальной точки от времени, иными словами, найти траекторию ее движения. При этом, помимо вида функции Р, т. е. закона взаимодействия частицы с окружающими ф 7) сила телами, должны быть заданы, как говорят, начальные усло. вая: положение и скорость частицы в некоторый момент времени, принимаемый в качестве исходного.
Поскольку уравнение движения определяет приращение скорости Р частицы за каждый интервал времени Й (Нп= — Жг), а по скорости определяется изменение положении частицы в пространстве (сЬ'=п~й), то ясно, что задания начального положения я начальной скорости частицы действительно достаточно для полного определения ее дальнейшего движения. Именно в этом заключается смысл сделанного в З 2 утверждения о том, что механическое состояние частицы задается ее координатами и скоростью. Уравнение движения является векторным уравнением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
