1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Скорость в ней минимальна и противоположна по знаку скорости в перигелии. При увеличении кинетической энергии тела параметр залачи е уменьшается. Это приводит к удалению афелия от силового центра. При е=1 афелий уходит в бесконечность - гравитационная система тел распалась. При дальнейшем увеличении кинетической энергии г„ становится отрицательной, и точка, соответствующая афелию замкнутых траекторий появляется с той же стороны разомкнутой траектории, что и начальная, но расположена она на другой ветви кривой, описываемой уравнением (14).
Смысл этого формального слелствия из найденного уравнения траектории предлагается разобрать в одной из задач к настоящей главе. Пройдем от перигелия до афелия замкнутой внешней траектории по кривой годографа скорости. Перигелий - точка Р - самая высокая точка го- 110 ЛАВА! дографа. Скорость в ней максимальна. При движении по траектории соответствующая точка годографа скорости перемещается вдоль окружности. Величина скорости — расстояние от точки О до некоторой точки окружности годографа - уменьшается и достигает минимума в самой нижней точке графика. Это точка - афелий траектории. Обратим внимание, что в ней знак скорости противоположен скорости в пернгелии. -0.6-0.г 0.2 0.2 О.Я О.б Рис 5. Годографы скорости внааник траекторий, укодтцик в бесконечность, дяя е= 1 и в= 0.75.
Скорость отнесена к скорости на исждной окружности. Риске Внешние триектории, укодкшие в бесконечность. Все рахчеры отнесены к радиусу неводной круговой орбиты. Значения наранетри е равны уи О. 75. При 0<1 запаса кинетической энергии оказывается достаточным, чтобы тело ушло в бесконечность. Внешняя траектория при этом перестает быть замкнутой и движение перестает быть периодичным. Соответствуюшие этому случаю траектории и годографы скорости для критического значения с =1 и для с =0.70 приведены на рис.й и рис.5. о„ Для уходяших в бесконечность траекторий Р топограф скорости находится выше полярной оси.
Это показано на рис.б. Особый интерес представляет точка В касания прямой, проведенной нз начала координат, с окружностью голо- графа скорости. Отрезок ОВ представляет вектор скорости. Определим направление радиуса-веко тора положения тела г лля этого момента Из (12) следует, что г перпендикулярен к радиусу Рис.б. Годограф скорости окружности годографа скорости, проведенному в укодшиейв бесконечность точку наблюдения.
В нашем случае это значит, что г перпендикулярен к радиусу СВ, т.е. по направлению совпадает с касательной ОВ. Оказывается, в точке В скорость тела направлена вдоль прямой, соединяюшей его с силовым центром, т.е. траектория улетающего в бесконечность тела выходит на прямую и дальнейшее движение происходит вдоль этой прямой. В этом как раз и проявился отмеченный ранее выход траектории распадающейся системы тел на прямолинейную асимптоту в бесконечности. Понятно, что точке В на годографе скорости отвечает бесконечно удаленная точка траектории.
111 ВИУтРенние тРАпстОРии Рисл. Годограф скорости для внутрентвл траетнории. Единицей скорости выбрана скорость на круговой орбите. Рис.7. Внутреюиве траектории. Вт раз- меры отнесены к радиусу исходной круговой орбиты.
Завершим рассмотрение возможных траекторий, предположив, что в момент прохождения телом точки на полярной оси его скорость мгновенно уменьшается. При этом кинетическая энергия тела уменьшаегся, полная энергия следует за кинетической и уменьшается тоже, параметр задачи а возрастает. При уменьшении полной энергии тело начинает падать на силовой центр, и траектория его при уменьшении скорости располагается внутри исходной.
На рис.7 и рис.й приведены несколько внутренних траекторий и соответствующие им годографы скорости. Все внутренние траектории оказались замкнутыми. Прн этом самой близкой к силовому центру оказалась точка, полярный угол которой ьр = л. ЗАКОНЫ ККНЛКРА 112 Пришло время показать, что из полученного решения следуют законы Кеплера. Это значит, нам надо показать, что замкнутая орбита представляют собой эллипс с Солнцем в одном из фокусов, и что квадрат времени обращения по эллиптической орбите пропорционален кубу большой полуоси орбиты. ВТОРОЙ ЗАЕОН КЕПЛЕРА Ранее, при постановке задачи мы отметили, что центральность силы тяготения уже сама по себе приводит в сохранению момента импульса тела, откуда немедленно следует постоянство секторной скорости, т.е. второй закон Кеплера.
ПЕРВЫЙ ЗАЕОИ КЕПЛЕРА Полученное уравнение траектории (14) хорошо известно в математике с давних пор. Обычно в него вводят тралиционные обозначения р = 2/е, е = 2/е — 1 (17) и переписывают в виде гт А г р гз 1. есовчз (18) Величину р называют параметром траектории, е - зксцентриситетом. Как следует ю решения задачи Кеплера, обе эти характеристики траектории определены параметром задачи а и между ними существует соотношение р=1+е. (19) Удобно все размеры отнести к расстоянию го, используя его в качестве масштабной единицы. При этом все величины, представляющие линейные размеры, превратятся в безразмериме числа, показывающие сколько выбранных нами масштабных отрезков располагаются на длине той или другой линии.
Сохранив для радиуса-вектора и декартовых координат тела прежние обозначения, перепишем уравнение траектории в виде 1ч-е 1ье соей (20) Введение естественных для конкретной физической задачи масштабов называется переходом к безразмерным переменным. Это - стандартный прием анализа решения фюической задачи. 1ье х л 1-е 2е х 1-е хр =1 е х 1-е 1 а = ОВ = РВ =— 1-е /1~-е Ь=ВСы)(— 'з1 — е 113 Рис.й Основные точки орбиты и нл координаты: Р и А " вершины, для замкнутой орбиты - пернвелий и офелию 0 и р -фокусы; С - Нентр; а н Ь -большая и малая полуоси. дсе размеры отнесены к г„ Разберемся, какие кривые представлены уравнением (20). Отметим, что кривая, заданная этим уравнением, пересекает полярную ось в точкак Р и А с координатами хр = 1 и х„= -(1+ в)/(1 — е), соответствующими значениям полярного угла ф=0 и ср=п (рис.9).
Назовем эти точки вершинами орбиты. Полезно ввести представление о центре орбиты, поместив его как раз посередине между вершинами, т.е. в точке на полярной оси с декартов- ской координатой хс =(хр хл)/2=-е/(1-е). Определим на полярной оси точку Р, симметричную силовому центру О относительно центра орбиты. Ее декартова координата окажется хг = -2е/(1 -е).
Учитывая, что гсовср = х, перепишем уравнение траектории тела (20) в виде гьех =1ье . (21) Рассмотрим некоторую точку М на орбите с координатами (х, у). Определим расстояния г, и гз от точек О и РдоМ. В соответствии с теоремой Пифагора окажется дадАчддддддса г,=х ьу, (22) 2 гз =(х-~ — ~ ьу . Преобразуем г,' следующим образом 4ех 4е 4(1+ е -г,) 4ез гз"=х еу" ь ь з =г~ е 1-е (1-е)з ' 1-е (1-е)' 4г, 4 4 4(1-ье) 4е- ( 2 =г,'- — ' гь + 1 — е (1 — е) (1 — е)з 1 - е (1 — е)з (. 1 - е) откуда немедленно следует, что 2 гз -~г1 — — ~ = ~гз +й — — )~г, -г, ь — е~ = О.
(23) Полученное соотношение показывает, что орбиты могут быть двух типов. Для первого из ннх орбита представляет собой геометрическое место точек сумма расстояний которых от двух заданных точек О и г постоянна. Это известный еще древним грекам эллипс. Точки О и Р для него называются фокусами. Таким образом, нам удалось показать, что решение задачи приводит к первому ~акопу Кеплера.
Орбиты второго типа представляют собой геометрическое место точек разность расстояний которых от двух заланных точек О н Р постоянна. Это тоже известная еще от античных времен гипербола. О существовании таких орбит до работы И. Ньютона никто не знал.
Математика оказалась выдающимся творцом н привела к открытию новой, ранее неизвестной стороны гравитационного взаимодействия. угкглл зллон «кплвел Найдем период обращения планеты по эллиптической орбите. Проще всего воспользоваться для этого постоянством секторной скорости 1 <Ьр 1 (24) сг= — гз — = — и г. <дг — 2 о а. Так как секторная скорость представляет собой плошадь, заметаемую радиусом-вектором планеты за единицу времени, то период обращения Я (25) а где Я - площадь эллипса. Из геометрии известно что зта плошадь определяется длиной большой а и малой 6 полуосей эллипса Я = яаб. (2б) Большая ось определена как отрезок прямой между вершинами эллипса.
Используя результаты предыдущего раздела и умножив для перехода к размерным переменным все линейные размеры на длину масштабного отрезка г,, нетрудно установить, что большая полуось ге гс ге с ге ~~. е Г 2 с гс ~1е ) Омгл 1-е 2-2(е 2 е — 1 2 ~д) т — 1 2 ")уе~- т 2Я Оказалось, что этот размер орбиты определяется только полной энергией. 114 ГЛАВА Малая полуось поперечна к большой и проходит через центр зллипса. Из треугольника ОСВ на рнс.9, нетрудно получить ее величину (30) 2 Ь= ОВ -ОС = го з-го, =го 2 2 г 1 2 е ~1+е (28) (1-е)2 ' (1-е)2 о)~1- Используя вычисленные размеры полуосей зллипса (27)-(28), можем найти площадь, ограниченную орбитой планеты Теперь не составит труда найти период обращения планеты по орбите; ЛГИ Я 2 ягоз Е~-е 2аго 1 )1~-е 2яго(а ~ 2 и оого1-ет1-е о, 1-ет1-е ио (,гог 2В 22 ,г'ОМ откуда после возведения в квадрат следует третий закон Кеплера 4яз з Тз= — а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
