1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Расстояние от силового центра до ближайшей точки траектории обозначим г,. Из закона сохранения мо- мента импульса следует, что в перигелии величина г минимальна, а и,- максимальна. Обозначим скорость тела а перигелии ио. Максимум попе- речной скорости означает, что скорость перпендикулярна к раднусу-век- тору положения тела, т.е.
и = о,. Из привеленных рассуждений следует, что Ь = тьог„ после чего из опрелеления поперечной скорости (4) и за- кона сохранения момента импульса (3) можно получить 4> лого (5) Сформулируем результат проведенных рассужлений: задача Кеплера будет решена, если мы сумеем найти решение системы нз лвух уравнений (1) и (5), удовлетворяющее в точке Р условиям йр --О, ьр = ью гг -- го . РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГОРОГРАФ скогосг» Обратим внимание, что как ускорение тела, так и угловая скорость оказались обратно пропорциональными кволрату расстояния. Это позволяет исключить г нз залечи„поделив (1) на (5). В результате получаем 10б глв~ о(ч 6М вЂ” =- — е„.
(6) Появившуюся в правой части этого уравнения постоянную удобно прел- ставить следующим образом 6М 6Мт 1 оо 6Мт 2 с (7) Напомним, что потенциальная энергия в поле тяготения двух тел отрицательна, из-за чего в (8) появился знак абсолютной величины. Назовем е параметром задачи. Он - безразмерный. Как мы увидим в дальнейшем, именно параметр задачи сосредоточил в себе основные особенности движения и определяет индивидуальность траектории Он же опрелеляет и величину полной энергии взаимодействующих тел тло 6Мт тоо Ео = 2о + Уо = — — — = — (1 - а) . (9) го После подстановки вместо е, его величины из (2) и замены коэффициента правой части в соответствии с (7) задача сводится к уравнению ~Ь сг "о 2 (е* совр+ ег ашт) (10) в Полученное уравнение очень простое и его легко решить.
Прежде всего проведем разделение переменных, переписав (10) в виде ггч = -по — (е сеато + ег ядр)йр. Не составляет трупа проинтегрировать полученное уравнение ч = сонях -оо — ) (е„сов то+ е„аш В)сйр = (11) = сопят — ио — (е, япв- ег сову). Векторную постоянную сопят, появляющуюся после интегрирования, определим из начальных условий. Использовав в качестве последних во=0 и чо = егоо, нетрудно найти из (11), что сопят = атно(1- с/2) полставим это значение в уравнение годографа (11) н, чтобы уяснить геометрический смысл полученного решения, проведем некоторые простые преобразования тригонометрических функций, перейля от угла оо к углу на х72 большему, ч=е о 1 — — -о — (е япр-е соа<р)= т ог 2~ о2(* У =е и 1- — ~ и — ~ е,сов( — +В~ е агп( — +то)) (12) 107 где через е обозначено отношение абсолютной величины потенциальной энергии в перигелии к кинетической энергии тела в этой же точке 6Мт 2 ((ус! а= (8) ч = ОС+Сьг Рисц.
Годограф скорооии тела. огпо - окружность радиусом Стг с иентром е точке С. За время, в течение которого тело переместится из начального нололыния на полярной оси е точку Л, вектор скорости повернется из вертикаеииио поломения в поломение Оуг При мпом радиус окрумности на годографе скорости повернется на тот ме угол, что и радиус-вектор теки. леонора СЧ и г всегда перпендикулярны. В результате описанных действий нам удалось найти из уравнений лвижения зависимость скорости от углового положения тела на траектории.
Если зависимость г(ау) представляет собой полярное уравнение траектории тела на координатной плоскости (х, у), то аналогичная зависимость для скорости ч(гр) представляет полярное уравнение так называемого годографа скорости на плоскости (о., оз). Немного поразмышляв, нетрудно сообразить, что геометрически формула (12) представляет собой окружность радиусом о, е/2 с центром на вертикальной оси в точке езоа(1-а/2) (рис.1). При движении тела по траектории рааиус-вектор его положения поворачивается из начальной точки на угол ау. Вектор, изображающий скорость тела, поворачивается при этом из начального положения на вертикальной оси в положение Оьг и представляет собой векторную сумму постоянного вектора ОС, направленного вдоль вертикальной оси, и вектора Сьг, направленного вдоль радиуса из центра окружности С.
Самое важное в том, что зто второе слагаемое в векторе скорости поворачивается вместе с радиусом-вектором положения тела и всегда ему перпендикулярно, опережая радиус-вектор на н/2. Тгляятогля гкяп Разобравшись с голографом скорости, можно найти поперечную к радиусу-вектору положения тела компоненту скорости а ( 6! ос = оа — + оа 1 — — ) созга, после чего из уравнения сохранения момента импульса получить траекторию тела в полярных координатах (г, гр) гана 2гг г = — = га 1 е (2(а — 1) совр (!4) АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ Перейдем к заключительной и важнейшей части решения физической задачи - анализу полученного решения. При этом мы рассмотрим несколько 108 гдавазх частных случаев, постараемся заметить и сформулировать некоторые общие закономерносги. ОБВГИБ ЗВЯОИОМВРИОСГИ ЛВ ИМЯ НОЯ Из-за четности озае нз полученного решения (14) следует, что траектории не изменяются при замене знака у ч.
Геометрически это приводит к симметрии траектории относительно полярной оси. Периодичность соам приводит к таму, что если тело по истечении какого-то времени Т возвращается в исходную точку траектории, то после этого движение повторяет все ранее пройденные фазы, т.е.
оказывается периодическим с постоянным периодом по времени Т. Очевидно, однако, что при достаточно большой скорости в перигедии полный запас энергии может оказаться достаточно большим, чтобы движущееся тело могло уйти от силового центра в бесконечность, сохранив там некоторую скорость. Ясно, что такое тело никогда не вернется назад, и будет удаляться от силового центра с постоянной скоростью, навсегда покинув его. Движение по такой траектории продолжается неограниченно долго, результат его - распад системы гравнтируюших тел на лва свободных разлетающихся тела. Условие распада очевилно - полная энергия системы тел должна быть положительной. Из (9) при этом следует ВК1, (15) т.е. в самой близкой к силовому центру точке кинетическая энергия тела, способного улететь в бесконечность, дол:кна превосходить потенциальную.
Движению с постоянной скоростью соответствует прямолинейная траектория. Значит, траектория движения при распале системы гравитируюшнх тел имеет прямолинейную асимнтоту в бесконечности. ВРРГОВАВ тгяяя ТОРия Простейшее решение соответствует значению параметра задачи е=2.
Нетрудно видеть из (12), что для такого значения В годограф скорости - окружность с радиусом ие и с центром в начале координат. Так как эксцентриситет траектории при в=2 обращается в нуль, то столь:ке проста и траектория - тоже окружность с ралиусом ге. Викшиия тглгктогии Следующим шагом проанализируем, как изменится траектория движения, если в момент прохождения телом перигелия ему мгновенно будет сообщаться некоторое приращение скорости. Кинетическая энергия при этом возрастает, атак как потенциальная энергия в перигелни остается без изменений, то параметр задачи В уменьшается. Полная же энергия возрастает.
Это лолжно привести к тому, что движущееся тело покинет предыдущую траекторию н за счет полученной дополнительной кинетической энергии сможет уйти дальше от силового центра - его траектория окажется снаружи исходной. Назовем поэтому анализируемую в настоящем разлеле ситуацию внешними траекториями. На рис.2 для разных значений параметра задачи а приведены несколько замкнутых внешних траекторий. Соответствующие им графики годографа скорости показаны на рнс.З. 109 Збдлчл кдддхеа .! Ршбь Вшшние занкнутые траектории. Рисд.
Годограф скорости для внешних Значения параметра задачи указашч рядом замкнутых траекторий. Знанения тзрас соотеетстеуюшей орбитой. Все размеры метра задачи указаны рядом с соотеетст- отнесен» к радиусу исходной круговой ор- вуюиши графиком.
Единицей скорости еыфгты. С увеличением скорости е лершелии брона скорость на круговой орбите. Срослараметр еуменыоаюлся. Орбцгна при том скорослзи е лернгелни окружность знюм выошгнеиетсл. годогрибю скорости смешается терх и радиус ее уменыиается. На каждой траектории наряду с точкой Р на полярной оси, которая соответствует полярному углу ф = О, может быть определена точка А, отвечающая полярному углу ф= л. Из уравнения траектории нетрудно определить, что эта точка находится на расстоянии 2!е 1 (16) от центра. В астрономии для замкнутых траекторий эту точку принято называть афелием. Нетрудно видеть, что афелий - наиболее удаленная точка замкнутой траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
