1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

ОМ 3 чА к пяаг чикгл е!х 4. Выведите формулу Резерфорда для угла отклонения в а-частицы в поле ялра в зависимости от ее скорости в бесконечности и прицельного параметра. 11б О. У=-— э г Ле1 1. Известно, что эллипс можно получить пересекая пря- мой круговой цилиндр плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под некоторым углом. Используя это, выве- лите формулу для плошади эллипса. 2. Траектория движения тела, уходяшего в бесконеч- ность, состоит из двух ветвей.

Какой смысл имеет вторая ветвь этой кривой? Нарисуйте годограф скорости, соот- ветствующий этой ветви. 3. Вычислите угол между полярной осью и прямолинейной асимптотой уходящей в бесконечность траектории для заданных сь и оа. 5. Подумайте, как по расположению Луны на небосводе определить направление орбитального движения Земли в пространстве. Для упрощения задачи предположите, что плоскости орбит Земли и Луны совпадают.

6. Попробуйте качественно понять, как изменились бы траектории движения, если бы сила тяготения изменя- лась с расстоянием ие по закону обратных квадратов. Х. КОЛЕБАНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. АМПЛИТУДА. ПЕРИОД И ЧАСТОТА Рассмотрим движение массы ш, прикрепленной к пружине с жесткостью й. При отклонении от положения равновесия на расстояние х потенциальная энергия 1эшйхэ/2, и закон сохранения энергии приводит к щ з = с. П) Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае масса гл будет совершать периодическое движение вокруг положения равновесия, отклоняясь от него на расстояние аи определяемое уравнением 1 2 = с. (2) Максимальное отклонение а, от положения равновесия называется амплитудой, а время Т, по истечении которого процесс повторяется, -периодом колебаний.

Обратная периоду величина называется частотой 1 У= —. Т' КАчестВенные метОДы АнАлизА кОлеБАний Существует много разных периодических движений. Нетрудно сформулировать условия, когда происходят колебания. Для этого надо, чтобы потенциальная энергия системы У(х) имела минимум, а полная энергия не превосходила некоторой величины. Для случая, изображенного на верхней части рис.1, колебания возможны возле точки О, соответствуюшей х=б, если полная энергия не превосходит величины ближайшего к точке 0 максимума д„. При л>а, система в своем движении будет проходить положе- П ние равновесия и уйдет к минимуму потенциальной энергии при х-ыс.

Размах колебаний определяется реше. Ек' НИЕМ ураВНЕНИя гэ'(х ) =с, (4) В окрестности минимума потенциальной энергии зто уравнение имеет два корня: хг и хз, отвечавшие одному н тому же значению энергии. В этих точках потенциальная энергия равна всей энергии системы и на кинетическую ничего не остается, т.е. скорость обращается в нуль и в следуюший момент времени меняет знак - происходит изменение направления двиэкения. Поэтому точки х1 и Рисл. Питенииакьнин энереин и фиэиеые траекснории мишкине- хэ называют точками поворота. ской сисн~емы 117 ол ия Другой взгляд на колебательное движение можно составить, если рассматривать одновременно положение и скорость тела. Воспользуемся для этого уравнением энергии а(х, и) = Т(е) + сГ(х) . (5) Здесь Т(о) - кинетическая энергия тела.

Уравнение (5) при заданной энергии с(х,и) = сонат представляет какую-то кривую на плоскости (х,о). Эту плоскость называют фазовой плоскостью, кривую а(х,и) = сопмз - фазовой траекторией. На нижней части рис.! изображено несколько фазовых траекторий. Так как положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии, кинетическая энергия, а вместе с ней и скорость максимальны при прохождении точки равновесия. При движении справа к точке равновесия и«0. Поэтому точка, изображающая движение механической системы, проходит фазовую траекторию по часовой стрелке. Из рис.1 видно, что колебаниям соответствуют замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку равновесия О.

Непериодическому движению отвечают незамкнутые траектории. Границей между этими двумя возможными типами движений оказывается фазовая траектория а(х,ц) = с, гле х - значение потенциальной энергии в точке максимума. Ее называют сепаратриссой. Отметим, что сепаратрисса имеет характерную точку самопересечения, которая соответствует приходу системы в точку махсимума на графике потенциальной энергии с нулевой скоростью. Наиболее общее представле- ние о движении механической Х системы можно получить из трехмерного графика зависимости энергии системы от положения Рмсдзмммшмесммммлемммегмммчыхея тела х и скорости е.

На рис.2 изосиииемм от хеоРдимзммм м скелестм. бражен такой график для потенциальной функции, показанной на рис.1. Сечение поверхности на рис.2 плоскостью и=О дает график потенциальной функции (1(х), пересечение плоскостью с = соплз- график фазовой траектории. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Из предыдущего ясно, что выбором физических тел и их расположения можно осуществить огромное разнообразие потенциальных функций и вместе с тем получить еще большее разнообразие возможных движений этих тел. Пусть на потенциальной кривой оказалось несколько минимумов.

Каждый из них определяет некоторое положение устойчивого равновесия. При умеренных отклонениях из любого положения равновесия система окажется способной совершать колебательное движение вокруг него. Если отклонение превзойдет некоторый предел, станут возможными более 118 сложные периодические движения, охватывающие сразу несколько положений равновесия. При очень больших отклонениях некоторые механические системы могут распасться - составлявшие их теда окажутся способными уйти в бесконечность. При малых отклонениях от равновесия, потенциальную функцию можно почти всегда достаточно хорошо аппроксимировать квадратичной параболой. Для грузика на пружинке это справедливо до тех пор, пока верен закон Гука, 9 т.к.

пока возврашаюшая сила пропорциональна отклонению. Другой пример такой аппроксимации дает рассмотрение колебаний под действием силм веса массы т, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной (рис.З). Такая колебательная система называется математическим маятником. Считая потенциальную энергию в РиеЗ.Маитиих положении равновесия (йтв) равной нулю, получим, что при отклонении на угол ф (Г(~р) = тдй = тд(1 — 1соаи) = 2тд)шпз — ез, зи ти) з (б) 2 2 т.е.

действительно потенциальная энергия математического маятника при малых отклонениях квалратично зависит от Чь ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Угилиеиик гхгмоничлсхих халлкзиии. Оидлл гкшлиил Колебания, при которых Усх' называются гармоническими. При гармоничесхих колебаниях сила пропорциональна первой степени отклонения от положения равновесия и направлена в положение равновесия, нз-за чего ее называют возврашаюшей.

Изучим гармонические колебания, понимая, что их можно рассматривать как наиболее типичный и часто встречающийся случай малых колебаний любых систем. Продифференцировав уравнение энергии (1) по времени, нетрудно получить трп+йхх=О, откупа после сокращения на п=х следует уравнение гармонических колебаний: хе ыьзх=О.

(7) Здесь А шо = (8) постоянный численный коэффициент, называемый собственной частотой гармонического осциллятора. Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, особенностью которого является пропорциональность второй производной по времени от неизвестной функции х(г) значению этой функции с обратным знаком. С подобным уравнением мы встречались, рассматривая декартовы проекции ускорения точки, врашаюшейся с постоянной угловой скоростью а вокруг оси (П.ЗЗ), что позволяет записать решение уравнения гармонических колебаний в виде х(т) = ар сваг(те г О, ).

(О) олк лгктод кккгогныкднлгглым Сделанное замечание относительно совпадения уравнения гармонических колебаний с соотношением, связывающим положение вращающейся точки с ее ускорением, позволяет изображать гармоническую величину как проекцию вращающегося с угловой скоростью ы вектора на некоторую неподвнзсную ось. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний оа, а начальное положение относительно осн на которую производится проектирование, определяется углом Ва - так называемой начальной фазой колебаний.

Представление гармонической величины как проекции вращающегося вектора называется векторной диаграммой. Принято на векторной диаграмме изображать положение векторов, относящееся к начальному моменту времени. Так как сумма проекций нескольких векторов равна проекции их векторной суммы, построение векторной диаграммы представляет удобный метод решения массы задач, связанных с суммированием гармонических функций с одинаковой частотой. Суть этого метода состоит в: 1. построении векторных диаграмм для кажлой из рассматриваемых гармонических величин; 2. геометрическом суммировании этих векторов путем построения со- ответствующей ломаной и ее замыкающей 3. и, наконец, построения проекции этой замыкающей при ее вращении с нужной угловой скоростью относительно некоторой неподвижной оси. Дифференцированием общего решения гармонических колебаний (9) нетрудно получить «(Г) = оооао вш(мог ' сто)= по»за соа(ыог+чаа + 2 ~' ( )- ° (10) х(Г) = -аоыа со~ма«во) = ааааа сов(озат «'ро о и) Из полученного соотношения для скорости следует, что изображающий о ее вектор повернут на пс2 вперед по отношению к вектору положения колеблющейся точки и имеет в шо раз большую амплитуду.

Аналогично, вектор, представляющий ускорение х опережает вектор положения на х н Рисе дек"'»Рю'ски»ср» ~м»локон»и»и имеет в ыа раз большую амплитуду. скорости и усиореиия таски лри юрм»- ниле»кики»я»я»и»як. На рис.л приведены векторные диа- граммы для координаты, скорости и ускорения при гармонических колебаниях. ПКГНОД и ЧЛСГОГ» ГЛРМОННЧ Кок»ГО ОСЦНЛЛКГОКС Так как период косинуса равен 2л, то период колебаний 2х Т= —.

ааа Он не зависит от амплитуды. 120 Сформулируем рецепт, следуя которому можно определить период колебаний. Для этого нужно записать уравнение колебаний в стандартном виде (7) и, извлехая квадратный корень из коэффициента в правой части его, найти сначала частоту собственных колебаний мс, а затем с помощью соотношения (11) определить период колебаний Т. Для массы на пружинке (А 2п (т (12) Для малых колебаний математического маятника уравнение энергии тй( 2 2 ' ' 2 2 ~-у(~р) = — фз + — Ф~ = созиж После дифференцирования его по времени и сокращения на ф приходим к стандартному уравнению гармонических колебаний ф = -(Е/фр, откуда в соответствии с определениями частоты и периода (л 2 П мс -- )( — и Т = — = 220 ( — .

Характеристики

Список файлов книги