1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Описяинк движкния жидкоСти Под действием распределения давления, отличного от статического, жидкость начинает двигаться и в ней создается некоторое поле скоростей. При дви:кении происходит изменение плотности р, которое в свою очередь приводит к изменению потенциальной энергии молекул и к нагреву или охлаждению тех или иных объемов в жидкости. На процесс движения жидкости будет накладываться передача тепла из одних мест потока в другие (теплапроводность) и трение одних слоев жидкости о другие из-за разницы их скоростей (вязкость). Полное описание движения жидкости требует знания в каждый момент времени распределения скорости, 133 плотности, внутренней энергии, а уравнения движения должны включать в себя не только закон изменения скорости под действием давления, но н законы сжимаемости, передачи тепла, трения. Кроме того, необходимо знать, как изменится внутренняя энергия И' при изменении плотности и давления.
Это знание содержится в так называемом уравнении состояния вещества. Уравнение состояния определяется характером взаимодействия молекул, и установление его - одна из самых трудных и серьезных задач физики. Очевидно, что задачи гидродинамики принципиально отличны от задач механики точки или нелеформируемого тела, а течение жидкости должно обладать рядом специфических особенностей, присущих исключительно движению идеально деформнруемой сплошной срелы. С некоторымн простейшими из них мы ознакомимся в следующих разделах.
СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖение нЕсЖимАЕМОЙ и неВЯЗкой жиДкОСГИ Рассмотрим установившееся движение жидкости. Будем предполагать, что потери на вязкое трение невелики и ими можно пренебречь. Такое предположение сильно изменяет существо дела, и нужно быть достаточно осмотрительным, применяя выводы нз теории такой придуманной идеальной жидкости к движению реальных жидкостей. В стационарном потоке частицы жидкости движутся друг за другом, проходя определенные установившиеся траектории.
Их называют линиями тока. Вектор скорости направлен по касательной к линии тока. В каждой точке траектории скорость и ускорение могут быть разными, но важно, что при стационарном движении в заданной точке пространства они всегда одни и те же, т.е. не зависят от времени. Угнвияних нлгнзгывности Выделим объем жидкости, ограниченный совокупностью линий тока, проходяших через некоторый замкнутый контур поперечный к скорости жидкости. Этот объем называют трубкой тока. Рассмотрим два поперечАя, ных сечения достаточно малой трубки тока ЬЯ~ н ЬЯз 1рнс.З). Пусть жидкость течет слева на- Л право.
Тогда через левое сечение 1 трубки така за единицу времени протекает масса жидкости , 1 р~ШЬЯь через правое П - рзцзАЯв Боковая по- верхность трубки тока состоит из линий Р .З. трудна щ тОКа. Эта ЗНаЧИт, Чта СКОРОСТЬ жИдКОСтИ На боковой поверхности направлена по касательной а этой поверхности, н через нее жидкость не протекает. Так как при стационарном лвижении распределение плотности жидкости между рассматриваемыми сечениями! и П во времени не изменяется, то сохранение массы жидкости приводит к уравнению неразрывности стационарного потока: р~мпЯ~ = р азаЯз, (7) откуда следует, что в узкой части потока скорость и плотность жидкости должны возрастать.
134 (10) ПРимеРы Рассмотрим несколько задач о движении жидкости, которые можно просто решить, применяя уравнение неразрывности и уравнение Бернулли. Исте челне хиОДОсги чеууд Огяеусгие В сгеиее сОсудА Найдем скорость и, с какой жидкость будет вытекать из сосуда с поперечным сечением Я через дырку в стенке сечением В, находяшуюся на глубине Л от свободной поверхности жидкости (рис.4).
Из уравнения неразрывности нетрудно получить лля несжимаемой жидкости скорость опускания ее свободной поверхности В и=и— (12) и при малом сечении дырки составит пренебрежимо малую величину, т.е. поверхность жидкости можно считать неподвижной. В таком случае вполне допустимо рассматривать вытекание жидкости через как стационарное течение. УУАВиеииеьееихлли Подсчитаем работу, которую совершают силы давления при перемешении в течение времени Лт массы жидкости Ьт=ргигдЯОЭВ= р игдЯгдз через сечения 1 и П.
Нетрудно видеть, что дгт = РгдЯги,дт — РВЬЯгигдэ = ( — — — )Ьт. Рг Рг Рг Рг Эта работа, естественно илет на изменение энергии жидкости, и если а- полная энергия единицы массы жидкости, то — — =( - ) Р1 РВ1 — -= дт=(е — е )дт, откуда следует, что на кажлой линии тока сохраняется величина Р а ч — = салаг. (2) Р Энергия к состоит нз кинетической иг)2, потенциальной (г' и внутренней энергии )т'единицы массы жидкости. Подставляя в (8) вместо а сумму этих величин, приходим к уравнению Бернулли Р и — + — + сг' '- Вг = сола з. р 2 (Р) Если сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то внутренняя энергия ее не меняется при движении, и уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости приобретает вид „г — э — + (г' = сопаг. 2 При движении вблизи поверхности Земли (г'=ЕЛ и (10) преврашается в Р и — ч — ИБЛ = сопег. р 2 (11) 135 и оо икм г о Рис 5, Распределение скорости с струе на еикоде из отеерстиа 136 Я Записав уравнение Бернулли для линии тока, начинающейся на свободной поверхности н заканчивающейся в вытекающей струе, и учитывая, что давление на свободной поверхности и в струе просто равно атмосферному ро, можно получить 2 — «-йЛ = — н —.
рр о рр (1З) Р 2 Р Из этого уравнения следует, что скорость в струе жидкости и= ~ййЛ. (14) В резудьтате скорость истечения жидкости оказалась в точности равной той величине, которую приобрели бы частицы жидкости при свободном падении с высоты Л. Этот результат впервые был получен итальянским ученым Торричелли и формула (14) названа его именем. Не следует думать, что сечение струи о равно сечению отверстия в стенке сосуда. Дело в том, что на выходе из сосуда давление становится равным атмосферному только на поверхности струи.
В глубине струи оно остается выше атмосферного. Из-за этого скорость жидкости при вытекании ю сосуда только на поверхности струи становится равной своему установившемуся значению (14). В самой струе она меньше. На рис.5 качественно показано зто распределение скоростей по сечению струи с минимумом на оси в момент выхода жидкости за стенку сосуда. После истечения из сосуда и при последующем течении в атмосфере давление в глубине струи выравнивается с атмосферным.
В результате жидкость на оси струи ускоряется. Понятно, что произойдет зто довольно быстро и на небольшом расстоянии от отверстия по порядку величины равному нескольким диаметрам струи. На поверхности же струи скорость остается постоянной. Это следует из уравнения Бернулли, так как давление на поверхности всегда равно атмосферному, а влиянием силы тяжести на небольшом пути горизонтально вытекающей струи можно пренебречь.
Значит, процесс распространения струи после истечения из сосуда сопровождается разгоном только внутренних слоев жидкости, что приводит к увеличению средней скорости движения жидкости и в силу неразрывности потока к сжатию струи к оси. Сжатие струи можно точно вычислить для случая истечения ю цилиндрического насалка, заглублен- ного в жидкость (рис.б).Сечение насадка з будем предполагать малым по сравнению с сечением сон суда Я, чтобы не принимать в расчет движение жидрисд с пест и ко и на стенкахсосУда. Тогда на-енки со стоРоны при еитеканин иг га- жидкости действует просто гндростатическое давлеглфленного насадка.
ние, и из-за наличия в правой стенке сосуда отверПе«ениеетруи -дэ Стня ПЛОщадЬЮ Е На СОСуд В цЕдОМ дЕйСтВуЕт СИЛа г" = рййа, направленная налево. Такая же сила действует на жидкость и вызывает ее ускорение. При этом струя сечением а ежесекундно уносит ЩР импульс — = риси = ров . оз В силу уравнения движения эти две величины должны быть равны. рооз = рд/ьз.
(15) Используя (14) для скорости истечения, нетрудно получить, что сечение струи дол:кно быть ровно в 2 раза меньше сечения насадка, т.е. о/а = 1/2. с окдлглнле сггтл с ллосхостио Пусть плоская струя сечением )ге падает на плоскость под углом а, имея на большом расстоянии от плоскости скорость гч (рис.7). После соударения струя растекается по плоскости. Пренебрегая весом, покажем, что при этом образуются две струи, текущие по плоскости в противоположных направлениях, определим толщину этих струй, найдем силу и максимальное давление, действующее со стороны струи на плоскость, и оценим ширину площадки, подвергающейся действию этого давления. 1 Применяя уравнение Бернулли для свободной поверхности, получим, что скорость жидкости сохраняет свою величину на свободной поверхности.
!11 Это естественно, так как действие сил давления в В О С стационарном случае созлает перпендикулярную к Риал Сшгалеаяесмру» своболной поверхности силу, а такая сила изменяет сллоскооиью.Вывчила только направление, но никак не величину скороскояасти на свааеааол сти частиц жидкости, текущих вдоль поверхности. леверхноолялеолояала Если прелположить, что после соуларения с плоскостью образуется одна струя, то из уравнения неразрывности н условия постоянства скорости на свободной поверхности следует, что ее толшина должна быть равна толщине падающей струи )м.
Предположим, что трения межлу жидкостью и плоскостью нет. Это значит, что на жидкость в горизонтальном направлении не действуют никакие внешние силы, а так как распределение скоростей а жидкости стационарно, то изменение горизонтальной составляющей импульса жидкости, заключенной между сечениями 7 и 11 на рис.7, должно быть нулевым. Но с падающей струей в рассматриваемый объем жидкости через сечение 1 ежесекундно вносится по горизонтали импульс,лю)мовсоаа, а с вытекающей струей через сечение П по горизонтали выносится импульс ройаиа, т.е. в рассматриваемом объеме жидкости импульс не сохраняется.
'Полученное противоречие показывает, что в рассматриваемой задаче обойтись одной струей нельзя: надо ввести обратную струю ОС. Так как а силу уравнения Бернулли скорость на ее поверхности изменяет только направление, но не величину, в этом случае из уравнения непрерывности для струй ОА, ОВ и ОС следует л =)ь ~Ьз, (16) а из сохранения потока импульса па горизонтали Роа)геоа сов м = Роо1оо РсеАоо, или 137 ь ж ости А И Ье соа о = Ь~ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
