1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Наиболее просто провести рассмотрение из системы отсчета, движущейся с волновой скоростью с вместе с одним из гребней волны. В этой системе отсчета форма поверхности жидкости не будет изменяться, т.е. движение жидкости станет стационарным, а жидкие частицы будут скользить вдоль изогнутых линий тока. Одной из таких линий така окажется свободная поверхности жидкости, другой - дно бассейна. Обдумаем, как направлены силы, действующие на некоторую движущуюся:кидкую частицу. С силой веса просто: она направлена по вертикали. Будем считать вязкость жилкостн ничтожной, так что касательные напряжения вдоль линии тока из-за вязкости можно не принимать в расчет.
Казалось бы, можно принять, что силы давления действуют строго по нормали к линии тока. Но движение жидкости определяется ие давлением, а разниией давлений в соседних точках жидкости. А вот с ней-то дело обстоит значительно сложнее н, вообще говоря, можно представить себе такое распределение давления в жидкости, которое создает как нормальную, 14б г,каДА хг так и касательную компоненту результирующей силы, действующей на частицу:кидкости. Поступим в зтои ситуации, как обычно поступают в физике: не затрудняя себя поисками точного решения сложной проблемы, попробуем сформулировать какое-та приближенное утверждение, справедливое для некоторого предельного случая.
Таким случаем является движение бесконечно мало отличающееся от невозмущенного потока жидкости. Если волны нет, то в потоке невязкой жидкости действует только гидростатика и давление постоянно на каждой линии тока. Перепад давления в слоях жидкости при этом направлен по вертикали, т.е.
перпендикулярен к скорости частицы. Можно думать, что для достаточно пологой волны с малой амплитудой, результирующее силовое поле, создаваемое распределением давления в жидкости и силой веса, будет мало отличаться от равновесного потока, н принять в качестве первого приближения для решения задачи предположение, что давление папрежнему остается постоянным на всякой линии тока и результирующая сила, действующая на любую частицу жидкости перпендикулярна к скорости частицы.
После такого предполо:кения кинематика массовой скорости становится очевидной: частица движется со скоростью с и совершает движение по онружиосги радиуса и с угловой скоростью аь ВОЛНЫ НА ГЛУЕОКОЯ ВОДЕ Продолжим рассмотрение задачи, предположив глубину бассейна неограниченной. В этом случае можно не принимать в расчет ограничения, возникающие из-за необходимости конструировать решение задачи, в котором вертикальная скорость жидкой частицы на дне обращается в нуль, так как кажется почти очевидным, что любое возмущение на поверхности жидкости затухает с глубиной и в бассейне неограниченной глубины вертикальная компонента скорости жидкости сама по себе должна обратиться в нуль при удалении от поверхности.
Запишем уравнение траектории движения некоторой частицы жидкости, находившейся в невозмушенном потоке на глубине 1з и в точке с горизонтальной координатой Х, х = Х е сз + а()ь) совой у = й е а(Ь) зш юг. (38) Начало координат поместим на свободной поверхности, т.е. примем, по ей соответствуют В=О и а(0)=а,. Форму свободной поверхности жидкости можно получить, рассмотрев траекторию одной единственной частицы. Возьмем частицу с Х-О, после чего уравнение поверхности жидкости следует записать в анде: х=сг+арсозвС, у=а юпси (-м<ссх).
(39) Построив точки с координатами, заданными этими уравнениями, для большого набора достаточно близких моментов времени и соединив их плавной кривой, получим изображение поверхности жидкости. Кривые, описываемые уравнениями (39), в математике хорошо известны и называ-, ются циклоидами. Их форма зависит от огношения параметров с н а,. На рис.13 приведены графики семейства этих кривых при увеличении амплитуды волны а,. Каждый из графиков во избежание наложения друг на друга несколько сдвинут по вертикали.
Обратим внимание, что волна об- 147 ги а и иклу ь о и падает вертикальной симметрией и не симметрична относительно горизонтали. Далее, при достаточно большом значении амплитуды волны появляются физически бессмысленные кривые с самопересекаюшейся петлей вблизи вершины. д Я~ с = — ~с=)( —, Ь )(2п ' (4!) Главный вопрос, на который следует получить ответ в первую очередь, состоит в том, насколько сконструированное нами решение соответствует уравнениям гидро- динамики и сделанному при его построении предположению, что давление просто постоянно на линии тока.
Проверим зта, рассмотрев удовлетворяют ли уравнения Ряс.гд Ргзлмяелие Фарам слсладяея (38) закону Бернулли, дифференцируя лслелхлссгл" жаскссма' Реала" (33) па времени, получим компоненты алалитудм сохни, скорости частицы жидкости в патоке и„= с -а(Ь)м аш ыд и„= а(Ь)мсоааъг. (38) В соответствии с уравнением Бернулли давление на линии тока, заданной параметром Ь, Р а,ес„ 3 2 — = салаг- — -лт = р 2 сз 2са(Ь)ыюпмз е аз(ЬРлт шпг мз л-аз(Ь)щз сова сзт = соилг— УУ 2 с +а (Ь)сз = салаг - е са(Ь)мвпозг - лЬ вЂ” йа(Ь)шпаг = 2 сз а'(Ь)глз ( д1 = сопл г — - РЬ ь ~с — — ~ а(Ь) зз шп юг . 2 ых (39) Нетрудно видеть, что последнее слагаемое в полученном выражении для давления исчезнет, если е (40) паоле чего в правой части (39) исчезнет какая-либо зависимость от времени и останутся лишь величины, зависяшие от параметра линии тока Ь.
Тем самым мы пришли к интересному результату: давление действительно может быть постоянным на каждой линии така, если скорость волны удовлетворяет соотношению (40), т.е. при выполнении (40) построенное нами решение залачи удовлетворяет уравнениям гидродинамики при любых амплитудах волны. Посмотрим, к чему приводит уравнение для скорости волны (40). Из (37) можно получить аз = сА и после подстановки в (40) получить, что скорость волны зависит только ат ее длины ГЛ ВА и не зависит от амплитуды и плотности жидкости.
Скорость волны длиной 60 м достаточно велика - 10 мгс, а волна длиной ЗОО м мчится со скоростью поезда. +уь Последнее, что следует рассмотретгч это как движение я частиц жидкости изменяется с б.=бдила глубиной, т.е. найти зависимость амплитуды враШательнога движения частицы жидкости от глубины. Чтобы выяс- Б тга-ба нить, какова эта зависимость Рис.14, к выводу уравнения для зависимости ам- о(уь), рассмотрим трубку тока, ляитуды движения жидкой ижтицы в зависимо составленную двумя близкими сти от глубины. Рассматриваетс~ иелрерыв линиями тока, середины котоносзль потока, ограниченного двумя соседними киншищ тока.
Скариот~ определяется как резулынат сложения скорости волны со отраслью Ь)з по вертикали. При этом вращения частицы ло окружности с радиусом, РалнУС окружности, равным амплитуде мзлны. описываемой частицей на нижней линии тока примеч равным а, на верхней - (а + Ьа) (рис.14). Нетрудно установить, что во впадине, где скорость жидкости равна (с + то), расстояние между рассматриваемыми линиями тока составляет (Ьуь ° Ьа), а на гребне скорость жидкости (с ° ыа) и ширина трубки тока (Ьуь +Ьо). Записав уравнение неразрывности, можно получить (с+оса)(Ьуз — Ьо) =(с-асо)(ЬуьвЬа) н далее придти к уравнению Йз от — = — = ой, (42) интегрирование которого приводит к искомой зависимости амплитуды волны от глубины а=о еьь.
(41) Рцс!5. Свободная поверкноств и линии Рис 1б. Траектории движение часзпицы тока жидкости лри заглублении 0.032, жидкоспщ на свободной ловеркнослзи и на Обб4, 012В и 025б от двины волны. глубине четверть и половина длины волны. Здесь и, - амплитула волны на свободной поверхности. Учитывая, что в жидкости )ьаО, получили очень быстрое - зкспонеициальное - затухание поверхностной волны с глубиной.
Характерный масштаб этого затухания по вертикали определяется длиной волны и равен 1ОГ. На глубине, равной одной длине волны, амплитуда колебаний уменьшается очень сильна - в е'" =535 раз! 149 А и АльиОи жи Ости Проиллюстрируем полученные результаты графиками. На рис.15 приведены форма свободной поверхности и линии тока на разной глубине. На рис.16 изображены траектории собственного движения частиц жидкости на свободной поверхности, на глубине четверти н половины длины волны при прохождении волны мимо ник Оказывается, при набеганин волны частица жидкости просто совершает один оборот по окружности с радиусом, равным амплитуде волны, и возвращается в исхолную точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
