1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Приходит следующая волна, и частица делает следующий оборот. ВОЛНЫ И ИАССИЯНЕ ЛОНИЧНОЯ ГЛГИННЫ Решим в заключение задачу о волнах на поверхности:кидкостн конечной глубины. В отличие от предыдущей, в этом случае надо сконструировать решение так, чтобы на дне вертикальное перемещение частиц обращалось в нуль. Сделать это можно, если обратить внимание на то, что во всех предыдущих рассуждениях нигде не требовалось предполагать, как мы, ни говоря об этом ни слова, сделали во всех предыдуших выкладках, что вращение жидкой частицы происходит так, чтобы на гребне волны скорость вращательного движения была направлена против набегающего потока жидкости, т.е. чтобы скорость иа гребне была меньше, а во впадине больше скорости патока.
С равным правом можно предположить н Обратное направление вращения, из-за чего скорость частицы на гребне станет больше скорости ее во впадине. С энергетической точки зрения это выглядит странновата, но если предполагать, что поток создан за счет работы какого-то источника энергии, то нетрудно понять, что ничто не мешает некоторой части этой работы быть использованной на то, чтобы поднять жидкую частицу со впалины на гребень и прн этом еше н увеличить ее скорость.
Повторив выкладки предыдущего раздела, а проще всего просто изменив в иих знак угловой скорости, нетрудно получить, что в волне с таким направлением вращения амплитуда обязана экспоненцнально возрастать с глубиной. Значит, на глубине и должен находиться источник, заставляющий частицы жидкости двигаться столь странно. По существу, появление дна в задаче сопровождается появлением сил, действующих со стороны дна на поток жидкости. После сделанных замечаний попробуем отыскать решение задачи, представив кинематику движения жидкой частицы на свободной поверхности в виде суммы поступательного движения со скоростью с, вращения в положительном направлении с угловой скоростью р«и амплитудой а, и вращения в отрицательном направлении с той же по величине угловой скоростью р«, но с амплитудой Ьг Именно в таком виде можно с наибольшей общностью прелставить весь класс лвижения частиц в силовом поле перпендикулярном к их траекториям.
Параметрическое уравнение свободной поверхности в этом случае имеет внл х =си«(ар . Ьр)соиетз, У =(ар — Ьр)азпе«Г. (44) Учитывая закон изменения амплитуд а и Ь с глубиной, можно записать уравнение линии тока, соответствующей дну, в виде х = с«+(аре«А +Ьре ««)совыГ, у = -Ь+(аре«" — Ьре ««)ащмр. (451 150 Глл ввдэп условию, что на дне нет движения по вертикали, можно удовлетворить, потребовав, чтобы (аое"" -Ь,е "") = О, откуда слелует, что а /Ьо = е г'и, и после подстановки в (44) получить уравнение свободной поверхности жидкости х = ссра 11вег~")соеюд у = ао11-е~~~)в1пюг.
(бб) Рис.! 7. Поверлнгжтг жидкости и линии люка на глубине 0.25, 0.5, 0.75 длл волн, длина которыл равна двум, однойи тнювине глубины бассейна. Отноюение ам- плитуды волны на поверлности к длине ео всел слуналк одинаково. Основное отличие от предыдущей задачи состоит в том, что траектория частицы на поверхности из окружности цреврашается в эллипс. Не представляет особых затруднений, записав необходимые формулы с экспонентами для амплитуд а и Ь на некоторой глубине у, получить уравнение для линии тока на этой глубине. Чтобы не перегружать изложение избыточными леталямн, не станем приводить эти несколько громоздкие формулы, а просто изобразим результатм расчетов на графиках на рис.17.
При углублении в жидкость вертикальные перемещения частиц для длинной волны затухают значительно быстрее, чем горизонтальные, и на дне перемещения по вертикали вообще обращаются в нуль. Короткие волны, длина которых меньше глубины бассейна, быстро затухают на глубине порядка длины волны и разница между перемещениями по горизонтали и вертикали для них исчезает. Более отчетливо это видно на рис.18, гле приведены графики траекторий отдельной жидкой частицы на с.:::> поверхности, на 1/4, 1/2 и 3/4 глубины бассейна и на лне. Чем длиннее волна, тем более вытянута траектория частицы и тем сильнее эта вытянутость проявляется при углублении в жидкость. На лне траектория частицы - горизонтальный отрезок, вдоль которого Рис.!В.тргыкпгории настин жидкости частица совершает гармонические кона повгрмгости, на глубине 0.25Л„0.5Л, лебания. 075лннаднедллволидлиной2л,ли для короткой волны эллипс пре- вращается в окружность, радиус которой уменьшается в егкраз при заглублении всего на одну ллину волны.
Тот факт, что собственные траектории частиц жидкости перестали быть окружностями имеет глубокие последствия, главное из которых заключается в том, что давление перестало быть постоянным на линии тока и влоль нее появились перепады давления, вызывающие в длинной волне преимущественное движение частиц по горизонтали при малых переме- РО ни«МИ И О И ОСТИ щениях в вертикальноы направлении. Действуя аналогично с предыдущим разделам, можно увидеть, чта исключить зависимость давления ат времени можно лишь, положив абе амплитуды О и Ь в сконструированном решении просто равными нулю.
Это значит, что все результаты настоящего раздела можно с очень большой осмотрительностью отнести лишь к волнам оченьмалой амплитуды. Чтобы найти зависимость скорости волны от длины волны и глубины бассейна, поступим следующим образом. Продифференциравав координаты частицы на свободной поверхности па времени, можно найти компоненты скорости этой частицы в некоторый момент времени и„= с - Ол (1 + е '«)ваш юг, и„= ал(1 - е ~~)м сов мт. (47) Удобно во всех дальнейших формулах явно записать знак минус перед глубиной бассейна, т.е. с настоящего момента символ Ь воспринимать как абсолютное значение глубины. Воспользуемся формулами (47), чтобы найти скорость потока жидкости на гребне волны и во впадине.
Вертикальная компонента скорости в этих точках обращается в нуль. Горизонтальная на гребне меньше скорости потока и оказывается равной и, =с-ае(1«е ), во впадине - больше скорости потока и равна имлт и = с+О«(1 «е ). Перемещение по вертикали ат гребня до впадины сочмлт ставит 2О,(1-е=лл). Из уравнения Бернулли для этих двух точек на свободной поверхности следует и -и, = 4яа«(1-е 2 2 2 -Ю«Л и для волны малой амплитуды можно получить 1 -2«Л 4яа«(1-е 2«л) = ил-и,' 2а«(1+2=и)м22 ~ ее ля =я1ьяь. 1 «е-мл Далее с помощью соотношения (37) находим скорость волны в бассейне конечной глубины дгЬЬЬ Г~СЬЬЬ ТЬЬЬ (48) Здесь используется обозначение 1ЬЬЬдля функции ы -«л 1ЬЬЬ= лл л. (49) е ее« На рис.!9 приведен график зависимости отношения скорости волны к чгйЬ от произведения ЬЬ, которое по сути представляет отношение глубины бассейна к длине волны, умноженное на 2к.
152 с ~, л)с Используя представление о.в е* =(1з-л) при малых е, нетрудно полу- чить галиа,еслиа«1, и установить, 0.4 о.з что скорость распространения ллинных Ям (А-зв) волн с = . — =,ЯК. Она не за- д висит ни от амплитуды„ни от длины волны и определяется исключительно Рисдй Скорость лолны л зависимости тндлинылолиьзиглтаииыеосссйно. глубиной бассейна.
Для океанов со средней глубиной 2 ки зто огромная величина около 500 кы/час, сравнимая со скоростью полета самолета среднего класса. Так как тпа-+1 при л-+со, то для коротких волн формула 148) обращается в известный для глубокого бассейна результат 141), что абсолютно естественно. звдадп к дддвк х~ 1.
Под каким углом к горизонту расположится поверхность:кидкости в сосуде, соскальзывающим с коэффициентом трения Н с наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом? 2. Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении р. Радиусы отверстий г и Я. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. 3. Сферический баллон радиусом В со стенками толщиной Ь «В разрывается внутренним давлением Р. Определите предел прочности материала стенок.
4. На дне сосуда, наклоненного под углом а к горизонту, стоит куб с ребром а, сделанный из материала с плотностью р. Найдите силу, с которой куб действует на дно, если в сосуд налита жидкость плотностью рь. Верхнее ребро куба находится на глубине 6 от поверхности жидкости. Между дном сосуда и кубом жидкости нет. 5. В полусферический колокол, плотно стояший на горизонтальном столе, через отверстие сверху наливают жидкость. Когда жидкость доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает из-под него вытекать. Найдите вес колокола, если радиус его внутренней поверхности равен Я, плотность жидкости- р.
б. Решите предыдушую залачу для случая, если протекание жидкости началось прн заполнении полости колокола до высоты Й. Обобщите задачу для колокола произвольной формы. 154 л клик ьо 7. Докажите, что в двух сообщающихся сосулах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах совпадают.
8. В цилиндрическом сосуде радиусом В, наполненном жидкостью плотностью р, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину 1? Пробка представляет собой цилиндр радиусом г. Центр отверстия находится на глубине й. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трения нет. 9.
Найдите давление на расстоянии г от центра жидкой планеты, если плотность жидкости р. Планету считайте шаром радиусом Я. Подсчитайте давление в центре Солнца и в центре Земли. 10. Найдите форму поверхности жидкости в вертикальном стакане, вращающемся вокруг оси с угловой скоростью кс 11. На границе раздела двух жилкостей плотностями р, и плавает шайба плотностью р (р,<р<р.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
