1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 25
Текст из файла (страница 25)
0 =)(1 (13) Рассмотрим колебания физического маятника, представляющего собой тело с моментом инерции е', вращающееся вокруг оси, проходящей через точку О. Центр тяжести тела находится в точке С, расстояние которой от осн вращения ОС=с( (рис.5). При малых отклонениях от положения равновесия энергии физического маятника может быть записана в виде зВи з з еф тйс( — +У(чз) = — е — чз =сопег, 2 2 2 тле( откуда получаем уравнение колебаний ф = — — чз, а из Рисд, Физический 1 миитиик него частоту и период ~тле( 2п — Т= — =2п ( — „. (14) Фс 1 Величину 1 = — называют приведенной длиной физического маятника. тгз ЭнеРГия ГАРмоническОГО ОсциллятОРА Воспользовавшись решением (9) задачи о движении гармонического осциллятора, можно получить, что его энергия 2 чк 2 2= 2 2 (15) 2 1 0 РО) 2 1 0 + Ре) 0 Кинетическая энергия осцнллятора пропорциональна впз(аег+ве), потенциальная пропорциональна соз (вез+020).
Когда олна из них увеличивается, другая убывает. Нетрудно сообразить, что среднее значение кине- 121 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ При перемещении Ьх из-за трения теряется энергия. Рассмотрим малые скорости движения. Тогда (1У, 27) Д, = — ки и 2к лгс Ьс = -киздг = — — дг, (17) из 2 Усредняя (19) по периоду н полагая, что движение слабо затухает за один период, можно использовать соотношение (16) и получить уравнение, 2к е описывающее медленно затухающие колебания (Ье) = — — Лт — 2уаат, гл 2 (18) или Ае — = — 2улг, к (19) 2лг коэффициент затухания.
С уравнением типа (18) мы встречались, рассматривая движение ракеты (П1, 5). Его решение имеет вид с=с е '"'. О (20) Так как энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, то из (20) следует, что амплитуда а=осе ' . (21) За время т = 1/у амплитуда колебаний убывает в е раз, а энергия в еа 8, т.е. почти на порядок. Поэтому время т называют временем затухания колебаний. Нетрудно подсчитать, что за время т осциллятор совершит 1 1 не (22) Т 2к е я2у колебаний. Величину мо б)=— 2у называют добротностью колебательной системы.
Из (22) следует, что по порядку величины она равна количеству колебаний, которые совершит осциллятор за время затухания. Рассматривая затухание колебаний, мы предполагали, что оно достаточна мало, т.е. предполагали, что т> > Т, или Гяэ>1. При сильном затухании движение изменяет свой характер и полученные в настоящем параграфе результаты не могут быть применены х случаю сильного затухания. где (22) тической энергии за период равно среднему значению потенциальной и каждое из них равно половине полной энергии гармонического осциллятора, т.е.
(Т) = ((7) =-2' . (16) Ломаные скобки ( ) обозначают среднее значение физической величины. 122 5'ланд (26) Здесь (29) 07 =г(~о У собственная частота осциллятора с трением. Нетрудно видеть, что затухаюшие колебания происходят, если м~ > у, т.е. если добротность системы (1 =а /(27) >Об. при малой лобротности ч)<06 разность (ее~ -уг) меняет знак, и вместо гармонических функций решением уравнения (27) становятся показательные функции - движение становится апернодическим. Чтобы точно рассмотреть зату- 1 хание колебаний любого осцилля- 0.75 тора с трением, запишем уравнение еа движения его, полагая, что на ко- 0.75 леблюшееся тело действует упругая сила и сила трения 7.
71.5 -0.75 тх = — ях — кх. -0.5 Разделив это уравнение на т и -0.75 вводя собственную частоту мг и 1! затухание в соответствии с (8) и Риса зетуюгющие югеедееиа ГРаФи"" "е (19), приводим уравнение двнже- ' Р еиееяееите "" " 'т" "" ния осцнллягора с трением к станееаия и дсбротесстео 70.25,0,5,1,2,4,8 дартному виду х+2ух е ме~х = О. (24) Учитывая полученный результат для осциллятора с малым затуханием, попробуем отыскать решение этого уравнения в виде х =аее "и(г), (25) где и(1) - неизвестная функция времени. Дифференцируя предполагаемое решение (25), получаем х = — уаее ™и(г)+аее 7'й х = уга,е "и(1)-2уаее "иеаее пй, и после подстановки полученных выражений для х,хих в уравнение движения (24) приходим к уравнению ие(ые'-у') =0 (27) для неизвестной функции и(г).
Нетрудно заметить, что уравнение (27) совпадает с уравнением движения гармонического осциллятора (7), если в последнем заменить х на и и ме на (ые — у ). Это значит, что искомая г г г функция имеет вид и(г) = соа(ыг т 1рг), а обшее решение задачи о затухании колебаний в соответствии с (25) может быть записано в виде х(С) =осе "соз(м1418 ) (28) о А ия Затухание колебаний показано на рис.б, где приведены графики зависимости отклонения от времени при движении после начального отклонения х,= 1 для колебательных систем с добротностью 0.25, 0.5, 1„2, 4, 5. При Яаб.б движение апериодическое.
С возрастанием добротности происходят колебания н всего за время "жизни" колебаний происходит примерно Я периодов колебаний. Наиболее наглядную картину затухания колебаний дает трехмерный график положения колеблющегося тела в зависимости от времени и добротности, представленный на рис.7. Рис 7 Затухание конеданий ео ереиени На третьей координатной оси нредстаекена додротность ВЬГНУЖДЕННКЯЕ ЕОЛЕБАННЯ 124 Для поддержания колебаний в системе с трением необходимо воздействовать на нее внешней силой. Колебания, происходящие при этом называют вынужденными. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид тх = -(ех - кх + у(Г) .
(30) Здесь — йх - возвращающая сила, — кх - сила трения, г(г) - внешняя сила. Естественным движением осциллятора являются колебания. Рассмотрим поэтому вынужденное движение при действии на осциллятор периодической силы у =ус соагог. Понятно, что вынужденные колебания должны происходить с частотой вынуждающей силы, которая в общем случае отлична от собственной частоты осциллятора юр, и решение уравнения движения (30) должно иметь вид х = асов~газ о Фо).
(31) Здесь неизвестны амплитуда ао и начальная фаза ор вынужденных колебаний. Поделив (30) на т, получим уравнения движения в виде у(г) х а Еух ь ыох = —. (32) По своей структуре это уравнение представляет ускорение тела как сумму ускорений, порождаемых вынуждающей, упругой и силой трения, а именно: сумма ускорения тела и компонент ускорения, создаваемых упругой и силой трения должна быть равна ускорению от внешней силы. Так как все четыре ускорения в уравнении (32) - гармонические функции с частотой выну:кдаюшей силы, их можно представить на одной векторной диаграмме и свести тем самым решение дифференциального уравнения (32) к некоторой геометрической проблеме сложения векторов.
Две такие лиаграммы приведены на рис.8. На них ускорение, созданное вынуждающей силой изображено горизонтальным вектором длиной /о/т, а ускорение, порожлаемое упругой силой, - вектором длиной аооа, повернутым относительно вынуждающей силы на угол Ооо. Сила трения пропорциональна скорости и потому создаваемое ей ускорение опережает по фазе упругое на луя. Ускорение тела в свою очередь опережает скорость на лг2 по фазе и оказывается противоположным по направлению упругой силе. е.а Рш В. Векторные диаграммы еошумденнык колебаний Решение уравнения (32) на диаграмме преврагнается е геометрическую медику построения суммы векторов В соответствии с уравнением (32) амплитуда ускорения, создаваемого силой трения 2уаа, амплитуда ускорения аоа.
Рассматривая в соответствии с (32) векторную сумму представленных на диаграмме ускорений, нетрудно получить из теореыы Пифагора (ао — аз) о +4Уоаео =(/о/т), откуда следует, что амплитуда вынужденных колебаний (/./ ) М'Г.*у ж' и начальная фаза 2уа гБЧго = о о (34) ао Амплитуда вынужденных колебаний (33) пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы а, собственной частоты колебательной системы ао и затухания у При малом затухании (2у «ао) максимальная амплитуда колебаний достигается, если частота внешней силы равна собственной частоте осциллятора а = ао о (/,/ ) (35) 2усоо При приложении постоянной силы /о осциллятор отклонится от положения равновесия на /2 гго Оо = (36) и отношение максимального отклонения при совпадении частот к статическому при заданной величине вынуждающей силы (37) 125 кйллиаидй В случае манаго затухания чем>1, и отношение а,„к ао мо:кет быть очень большим.
Рассмотренное явление сильной раскачки колебаний прн совпадении частот называется резонансом. Прн резонансе оо =л/2 и вынуждаюшая сила всегда работает в такт с колебаниями, совпадая по фазе со скоростью, а коэффициент усиления колебаний а„ /ао оказывается равным добротности осниллятора 9. Вблизи резонанса, когда (во — в) «во соо — в =(во — в)(во ив) 2во(во — в) и 4у во «4у во Поэтому вблизи резонанса /о во а 2тво (( )о,е откуда а во (38) 05 1 15 2 25 о Рис.о.
Амнкитуда вынужденныл колебаний Рисйй. Амнлитуда вынумдвннчск колебав заеисимоскчи от онивщенин часнвнив Ний е эоеисимосиш от отношении часвынухдающсй авы к собственной. вуоб- тоищ вынумдающей силы к собсоыенной ротносиы осииллнторов: б 2, 4, д часовню и от добротности На рнс.9 и рис.10 изображены резонансные кривые, соответствуюшие формуле (38). Увеличение затухания у приводит к уширению резонансной кривой.
Введем ширину резонансной кривой Ьв, определив ее условием уменьшения амплитуды вынужденных колебаний в /2 рвз по сравнению с резонансным значением а „. Положив в (38) а/ао «Я/ч/2, можно получить ов=2у (39) н затем из (39) и (37) вычислить, что произведение коэффициента усиления а „„/ао «Я резонансного осциллятора на ширину полосы ов = 2у постоянно: четв «в . 126 гл в Это обшее свойство резонансных систем: чем выше усмление, тем уже полоса частот, пропускаемых осннллятором. Прн уходе от резонанса в сторону высоких частот амплитуда вынужденных колебаний уменьшается к нулю гь ап —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
