1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 17
Текст из файла (страница 17)
имлульса относительна оси, Законы сохраиеиия импульса, энергии и мол 'одл м резтотсуо мента импульса представляют собой точные за- коны природы. До сих пор пе было обнаружено ии одного случая отступления от этих законов. Применение законов сохранения к рассмотрению взаимодействия тел позволяет получить ряд сведений о явлениях, происходящих при взаимодействии. Рассмотрим в качестве примера и. олпу залачу. На Землю налетает поток метеоритов со скоростью у отиосительио Земли. Плотность метеоритов в потоке п, т.е.
в кубическом сантиметре просграиства находится и метеоритов. Подсчитаем, сколько метеоритов будет выпалать на поверкность Земли ежесекундно. сЗ. раектории ух мвтсарито, леттнихкземлесодииаковояскорсстьюиз Движеиие каждого метеорита продвсконенности, насра ~милринельимми ИСХОДЯТ под действием свдм Грааплараметрамим тациоиного притяжения к Земле, и траектория представляет собой довольно сложиую кривую, которую можно определить, преодолев значительные трулиости вычислительиого характера. Однако, подсчет числа выпадающих иа Землю метеоритов произвести несложно.
Ясно, что ие все метеориты потока упадут иа Землю. Часть пролетит мимо. Нарисуем траектории метеоритов, касаюшихся поверкиости Земли. Эти траектории образуют некоторую поверхность врашеиия с осью, параллельиой У„и проходящей через центр Земли (рис.З, 4). Все метеориты, попавшие внутрь этой поверхности, упадут па Землю. Все иаходяшиеся снаружи пролетят мимо. На бесконечности рассматриваемая поверхность представляет собой круговой цилиндр радиусом р. Через поперечное сечеиие этого цилиидра за 1 сек пролетят метеориты, находящиеся иа расстоянии ие далее о„от этого сечения.
Поэтому искомое число выпадающих иа Землю метеоритов будет «7 = пяр~с„. (4) Для нахождения р запишем уравнения энергии и момента импульса захватываемого метеорита для двух точек его траектории: бесконечно удаленной и точки соприкосновения с Землей ти„тоо ов'зт з — ти Р = тоояз. 2 2 Я, 15) тт Здесь т - масса метеорита, ое - скорость его у поверхности Земли, М, масса Земли. Решая систему уравнений (5), получим Рас 4 К расчету потока .петеоритое, еьаюдоюааел аа Землю егл з Р=)(з,1+Π— ' —.=)аз 1а з * где ие- вторая космическая скорость для Земли (кГ, 27). Окончательно (б) г зт ,7 = япо Яз( 1~-+~.
(7) МОМЕНТ ИМПУЛЪСА ТЕЛА 78 Материальная точка массой Ьт, врашаюшаяся с угловой скоростью ю вокруг неподвижной оси, обладает моментом импульса АЬ = юггдт. (8) Определим момент импульса тела как сумму моментов импульса материальных точек Ьт„из которых состоит это тело, т.е. Ь = ю2,, глот,, (9) Величину 7=);,гздт, (10) называют моментом вперили тела. Он зависит от распределения масс в теле и тем больше, чем датьше от оси врашения отстоят массы, составляющие тело. Момент инерции обруча массой М и радиусом Я относительно оси, проходяшей через его центр перпендикулярно плоскости обруча )1У)7г (11) Определив момент инерции, можно записать момент импульса тела в ниле 7.
= (ю . (12) Опыт показывает, что момент импульса замкнутой системы сохраняется. Приведем несколько примеров. с х 1. Человек поскользнулся и падает назад. Повседневная практика заставляет его резко выбросить руки назад. Почему? При падении тело человека поворачивается так, что голова, плечи, руки его движутся назад. Выброс рук навал сообщает им некоторый момент импульса. Такой же по величине момент импульса получает тело человека, но направление вращения тела противоположно направлению вращения рук. Тем самым тело человека поворачивается вперед и падение удается предупредить. 2.
Фигурист на льду делает очень красивый элемент своей комбинации: раскинув руки, он вращается вокруг оси а затем, прижимая руки к груди, сильно увеличивает скорость вращения. Можно обьяснить, почему зто происходит, исходя из закона сохранения момента импульса. Запишем условие сохранения момента импульса для начала - индекс 0 - и конца комбинации - индекс г" ггвг =тово. (13) Учитывая, что при перемещении рук спортсмена к груди момент инерции теда уменьшается, т.е. Гг с1о, из закона сокранения момента импульса (13) получаем ~с вг - "во ь во. (14) Список примеров, иллюстрирующик сохранение момента импульса, можно продолжить, включив в него описание движения акробата при исполнении сальто, движений гимнаста при исполнении упражнений на перекладине, брусьях и других снарялах и т.д. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ Пусть масса длг, движется по окружности радиуса г, с угловой скоростью в.
Ее кинетическая энергия и,'дгл, в (15) Кинетическая энергия системы масс дт,, вращающихся с одинаковой уг. лозой скоростью вокруг некоторой оси, равна сумме их кинетических энергий, т.е. иодль, в Т = ~, ' * = — ~, голль,, (16) откуда, используя определение момента инерции системы масс (10), уво 7= —. (17) Исключив угловую скорость из (12) и (17), приходим к То Т = —. (18) УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
МОМЕНТ СИЛЫ. Пусть за время дг угловая скорость изменилась на дв. Нетрудно вычислить, что АТ = Тодв. (19) глАВА и~ С другой стороны, изменение кинетической энергии равно работе сил, приложенных к телу (Ч. 15) дТ = АА = удв = 1,дх + у !Зу. (20) Воспользовавшись соотношениями между линейной и угловой скоростямн (1!. 31), получаем ДА=(-(.у- У,х)ДВ=(-У,у.У, ) дт, (21) после чего из (19) - (21) следует Гдм =(-у,у +у х)от, или (22) (24) Риед Работа гиль! ири лоеороте тела.
(28) ггА гЧ = — = тоз с(г В РА1ЦАТЕЛЬИ ОЕ ДВ ИЖЕИИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ Основное уравнение динамики вращательного движения может быть записано для любой материальной точки вращавшегося тела а7„ (29) Если просуммировать все эти уравнения, то с((, (й (30) где Б = 2.,2з - момент импульса системы тел, т момент внешних сил, т.к. моменты внутренних сил при сложении взаимно уничтожаются иэ-за ра- 80 — = (- у у э у х) . !!(Его) <Й Величину т = (- у,у е ! х) (23) называют моментом силы.
Как и момент импульса, момент силы определен своим плечом !2 по отношению к осн вращения. После определения момента силы уравнение (22) записывают в виде о((гго) г(2, Вг Ж Это основное уравнение динамики вращательного движения. Если на тело действуют несколько сил, то дА = 2,, АА, откуда т=2и!,, (25) Здесь т, - момент ! -той силы. Для уяснения смысла момента силы рассмотрим еше раз работу, производимую силой г' при повороте тела на угол АВ.
Нетрудно видеть (рис. 5), что ДА =(лав) =(ге юла)дВ = тДВ, (26) откупа момент силы ВА т = — = гг яа а = уВ, г!В (27) и мощность СОХРА .ННЕ МОМЕН венства действия и противодействия, если парные взаимодействия центральны. Из (30) следует сохранение момента импульса системы тел в случае равенства нулю момента внешних сил. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ. Для равновесия тел необходимо, чтобы при малом перемещении системы произведенная работа была равна нулю. В случае произвольной системы сил работа перемещения может быть записана в виде ЬА = Йьв + т'ЬО . (31) Условие равенства атой величины нулю прн любых перемещениях Ьв и поворотах ЬО приводит к условиям равновесия любой системы тел К=О, (32) т' =О.
Решая зту систему уравнений, можно определить величины сил, уравновешивающих друг друга. за1ььддд ~ларек ю 1. Тонкий обруч радиусом 2? раскрутили вокруг его оси до угловой скорости аа и положили на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом н обручем равен н? Сколько оборотов сделает обруч до остановки? 2. На наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а, кладется сплошной цилиндр радиусом Я, вращающийся вокруг своей осн с угловой скоростью еь Определите, на какую высоту поднимется цилиндр, если коэффициент трения между цилиндром и плоскостью дьтйщ 3.
Докажите, что ускорение однородного шара, скатывающегося с наклонной плоскости, равна б/?дюна, где а-угол наклона плоскости к горизонту. 4. Гантель с шариками массами тг и та соединенными невесомым стержнем длиной 1, вращается с угловой скоростью н вокруг вертикальной оси 00', проходящей через середину стержня.
Под каким углом к оси вращения наклонен стержень? 5. Найдите ускорение, с которым будет скатываться без проскальзывания по наклонной плоскости с углом сс 1. тонкостенный цилиндр, 2. сплошной цилиндр. Найдите силу трения между цилиндром и плоскостью в обоих случаях. 6. Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой штангой.
Пилиндры скатываются без проскальзывания по наклоннои плоскости с углом а Рааиусы цилиндров олинаковы, масса каждого из нихлг. Найдите натяжение штанги. Зависит ли оно от порядка, в котором расположены цилиндры на плоскости, и если зависит, то как? 82 Ат !Ьное Вн ен момен импу 7. На ступенчатый цилиндрический блок намотанные в противоположных направлениях две легкие нити с прикрепленными к ним массами т~ и ть Найдите ускорения грузов и натяжения нитей.
Момент инерции блока й 8. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток массой лг и с моментом инерции у относительно ее оси. Катушку тянут за нить силой Е Прн каких углах а между нитью и горизонтом катушка будет двигаться ускоренно в сторону натянутой нити? Какова должна быть сила г', чтобы отсутствовало скольжение? Коэффициент трения между катушкой и плоскостью ш 9. Тонкая однородная доска длиной 1 и массой т лежит симметрично на двух опорах, расстояние между которыми равно Ы. Одну из опор мгновенно убирают. Найдите силу реакции оставшейся опоры в начальный момент времени. 10. Невесомый стержень с массами лз и лз на концах опирается своей серединой на подставку, в начальный момент расположен горизонтально и неподвижен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
