1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Равновесие грузов можно рассматривать как одно из состояний некоторой обратимой машины. При перемещении грузов из состояния равновесия мо:кно записать закон сохранения энергии и получить тем самым уравнение, связывающее веса грузов. Рассмотрим пару примеров. Пусть на наклонной плоскости находится груз р, удерживаемый в покое грузом гг, привязанным к веревке, перекинутой через блок (рис.З). Каков должен быть этот груз о? Представим, что система грузов совершила маное перемещение, и груз о сдвинулся на Б вник Если веревка нерастяжимая, то груз р переместился вдоль наклонной плоскости на то же расстояние б (рис. 3).
При этом он поднялся вверх на высоту Риаз.ровтмесиеглрзовтз БЯп се. Закон сохранения энергии привалит наклонной плоскости к об=рб %па, откуда (б) В качестве второго примера рассмотрим, какую силу р надо приложить к правому концу балки длиной (, чтобы уравновесить грузы рг и рь находящиеся на расстояниях й и ег от ее спертого конца (рис.й).
Допустим опять, что произошло смещение грузов в результате поворота балки на малый угол бп. Тогда груз р опустился на бба, а грузы рг и ре поднялись на ц = раша. Рис.В.Рра вновесие грузов на опертой одним канио,н месткой балке Полученное соотношение показывает, что потенциальная энергия тел при работе идеальных грузоподьемных машин сохраняется: (5) независимо от того, каковы грузы, каковы их перемещения и как устроены машины. Сохранение потенциальной энергии при работе грузоподъемных машин является законом природы. Нетрудно видеть, что потенциальная энергия взаимодействующих тел определяется взаимным расположением этих тел, а изменение ее равно произведению силы на перемещение в направлении, противоположном действию силы, т.е.
п(7 = -1,ло. (6) Это определение позволяет записать потенциальную энергию тел, сила взаимодействия которых зависит от расстояния между телами, в виде 3 (7) и =(У,-)'УдУ, а где интеграл берется по пути тела из точки О в точку Я, а (гв - значение потенциальной энергии в начальной точке О траектории. Перемещение в направлении действия силы считается положительным.
Рлвновксик ГЛАВА Ч й бсс н 1гбп. Закон сохранения энергии дает р(бп = рг),ба+ РВЧЬа, откуда после сокращения на ба Р(=Р) +РВЧ, (р) Аналогично можно рассчитать равновесие произвольной системы гру- зов. Программа такого расчета: 1. предполагаем, что один из грузов совершил сколь угодно малое перемещение; 2. рассчитываем вызванные этим перемещения остальных грузов и, 3. составляя уравнение энергии, приходим к уравнению, определявшему равновесие снл. Изложенный алгоритм расчета механического равновесия называется ме- тодом виртуальных Работ. КИНЕТИЧЕСВАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА откуда ти- тцз Рп-РУ = 2 2 т.е. изменение потенциальной энергии тела при падении равно приросту величины тсг/2.
Назовем тиг/2 кинетической энергией тела и будем обозначать ее Т. Соотношение (10) можно теперь переписать в виде щз щ„з (11) ргь+ = + Ру, 2 2 н толковать его как закон сохранения кинетической и потенциальной энергий тела при переходе одного вида энергии в другой. РАБОТА СИЛЫ.
МОЩНОСТЬ (10) Пусть тело массой т движется по некоторой криволинейной траектории н под действием силы Х изменяет свою скорость как по ф величине, так и по направлению. Разложим силу на А,(Ь ,~ ер СОСтаапяЮщнс Г', ПО КаСатЕЛЬНОЙ К траЕКтсрИИ И Г'. ПО нормали к траектории. Под действием силы г', изменяется величина скорости, под лействием Г'. изменяется только направление. Рассмотрим два соседник 61 Рассмотрев работу грузоподъемных машин, мы установили, что груз р, поднятый на высоту й, обладает запасом потенциальной энергии Ог=рй.
Можно использовать этот запас для подъема другого груза. При этом потенциальная энергия двух грузов окажется неизменной, если производить работу на обратимой машине. А куда денется потенциальная энергия поднятого груза, если этот груз бросить со скоростью ио внизУ Из опыта известно, что вблизи Земли груз будет падать вниз с ускорением Е. Переместившись за время г с высоты и до высоты у груз приобретет скорость и=сч+ЕГ и пройдет путьй-у=ЕГВ/2+и,з.
Исключением г из этих двух формул нетрудно получить с -ие и — ие з з з з )ь-у =— 2Е 2р/т * сохгьнг э ег положения тела на траектории, разделенных очень малым промежутком времени Аь (рис.5). Пусть в первом положении скорость тела была и. Во втором она будет и+а,.ЬЬ причем в соответствии со вторым законом Нью- тона а,=гг'т. Рассмотрим изменение кинетической энергии тела Т при пе- реходе нз точки 1 в точку 2 траектории т(и+ Аи) ти' (пи) 1 а, АТ= — — = тидизт — = типо(1к — 'АЬ), 2 2 2 ( 2и При малом АГ вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравне- нию с 1. Поэтому аТ = тиби = г,идг, Для бесконечно малых перемещений иль=Аз и АТ =,~,лз. (12) Произведение перемещения на проекцию силы на направление переме- щения называют работой силы и обозначают 6А.
АА = г',Дз = глз сов а. (13) Величину Ю = г,и = ус сова (14) называют мощностью. Здесь а - угол межлу векторами Г и и. Из (12) следует, что изменение кинетической энергии тела равно ра- боте силы на том пути, на котором рассматривается изменение Т, т.е. АТ = АА. (15) СкАлЯРнОе НРОизВедение ВектОРОВ Рассмотрим два вектора а = а„е, - а„е, ~ а,е„и Ь = б,е„е 6„е„е 6,еь . Составим для ннх величину а6 сова, где а - угол между векторами а и Ь. Эта величина называется скалярным произведением векторов а и Ь и обозначается (аЬ). Нетрудно вилеть, что (аЬ) =а6, =ба, =(Ьа). (1б) где 6, - проекция вектора Ь на направление вектора а, аь - проекция а на направление Ь. Из опрелеления скалярного произведения следуют два его свойства: 1.
Если а =а, - аз,тоаь=аьь+они (аЬ) = ((а, + а,)Ь) = (а,Ь) . (азЬ). (17) 2. Если а =Ха,, тоаь=Хаь и (аЬ) = ((у.а,)Ь) = Х(а,Ь). (18) Полученные свойства скалярного произведения (17)-(18) позволяют применять прн вычислении его известные алгебраические правила раскрытия скобок и получить для скалярного произведения (аЪ) =(а,е„~.а,е„+а,е )(6„е„ьб„е„+6 е,) = = а„6„(е, е„) ь а„6„(е, е„) ~ а,6, (е, е,) + 62 л Аг -а Ь„(е„е„) на„Ьл(е„ег) еа Ь,(е„е,) . -а.Ь,(е,е,) на Ь„(е,е„)+ а,Ь.(е,е,) = =а,Ь„+а Ь а,Ь, потому что (е,е„) =(е,е,) =(е„е,) = О, (20) из-за перпендикулярности векторов и (е„е„) = (е„е„) = (е,е,) = 1, (21) как произведения параллельных векторов единичной длины.
Формула (19) дает выражение скалярного произведения векторов а и Ь через их декартовы координаты. Теперь можно записать, что мощность И=1, =(ую) (22) и работа перемещения тела по бесконечно малому пути ЬА = у,дз = (удя) . (2З) Нетрудно видеть, что работа при произвольном движении тела будет А = ) (йв), (24) где интеграл берется вдоль пути перемещения тела. Заметим, что сила, перпендикулярная пути, рабаты не производит. Конскгвлтивнык силы и поткнцилльнля энкггия Работа силы, вообще говоря, зависит от пути . Это понятно всякому, кто захочет один раз протащить санки от своей школы до дому по кратчайшему пути, а другой раз проделать то же самое, заехав по дороге на противоположный конец города. Однако есть силы, работа которых не зависит от пути, а определяется лишь положением начальной и конечной точек пути.
Силн такого сорта называют консервативными. Признаком консервативных сил является то, что работа этих сил по замкнутому пути равна нулю. Действительно, пусть работа перемещения тела нз точки А по замкнутому пути равна нулю. Это значит, что работа перемещения тела из точки А в какую-то точку В на пути 1 (рнс б) равна с обратным знаком работе перемеще- 1 ния того же тела из В в А по пути П. Так хак прохождение одного и того же пути в противоположном направлении сводится к изменению знака перемещения, то Ав.л=- Ал.в, нз чего следует, что работа перемещения тела из А точки А в точку В одинакова для верхнего и 11нге Рапота нанслрлатнвюлл нижнего путей, т,е. силы, работа которых по снл нн л«нннун~нн ну'"няалнн замкнутому пути нуль, оказываются консернулю вативными.
63 (ЮдР~еьдгид 'дчдггнн П римером консервативных сил является сила тяжести. Действительна при подъеме вверх вдоль наклонной плоскости (рис.7) сила тяжести совершает работу Ат-р(свесе=-рй. При опускании вниз Ая=рй, и при перемещении по горизонтали Ае=рЬсов90'тО. Таким образом, работа силы тяжести по замкнутому пути А=А-ьАя+Ае =О, и сила тяжести консервативна.
е Консервативные силы, их величина и направление не зависят от скорости движения А ТАтО тела, т.к. в противном случае мы могли бы разные участки замкнутого пути проходить с раза ной скоростью и получать в результате не нуль Риск каисереаитеиастесияи для работы по замкнугому пути. Неконсерватяжести тивной является сила трения: стоит изменить направление скорости, как она изменит свое направление, и работа по замкнутому пути при наличии трения всегда ненулевая. Определим для консервативных сил величину У„ юменение которой опт-ЬА.
Тогда изменение кинетической энергии (15) записывается в виде АТ = дА = -Ь(7, или д(Т с(7)=0, (25) т.е. прн движении тела сохраняется сумма Т+(7. Определенная таким образом величина У получила название потенциальной энергии тела. В поле тяжести вблизи поверхности Земли работа силы тяжести по подъему тела весом р на высоту й равна эрй и С'=рй=тйй в соответствии с данным определением потенциальной энергии. Вычисление работы и потенциальной энергии просто, если сила постоянна. Если же сила меняется в пространстве от точки к точке, то надо вычислить работу дА, = Ггйв, на малом отрезке пути де.„где сила изменяется мало н суммировать все эти работы д,,угзя,, а затем переходить к пределу при (-е х Графически задача сводится к нахождению плошали под графиком зависимости силы от положения тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
