1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ракета - тело переменной массы, т.к. часть ее массы постоянно выбрасывается в виде продуктов сгорания. Пусть ракета массой т, выбросив массу газов Ьт, со скоростью и относительно ракеты, увеличивает свою скорость на ди. Сохранение импульса приводит к уравнению тли — дт,ц = О. Так как истечение дт, означает изменение массы ракеты на величину Ьт=- дт„то уравнение движения ракеты имеет вид Лт ди (5) Рассмотрим процесс ускорения ракеты, предполагая, что выброс газов происходит небольшими порциями, всякий раз составляюшими 1/л долю массы ракеты в момент выброса, т.е. Лт=-т/л. Тогда после каждого выброса скорость ракеты возрастает на величину диет/л, а масса ее уменьшается в (1-1/л) раз.
Спустя некоторое время, в течение которого произошло й таких выбросов, скорость ракеты будет и=/сц/л, а масса те(1- 1/л)", где те - стартовая масса ракеты с топливом, пассажирами и последней ступенью. Исключив из полученных соотношений /с, можно получить, что к моменту времени, когда скорость ракеты равна и, ее масса будет () )) () )) () )) ~ )6) В действительности истечение газов происходит не порциями, а непрерывно, и ракета ускоряется плавно, а не толчками. К этому случаю можно перейти, предположив порцию выбрасываемых газов малой, т.е. совершив в (6) предельный переход прн л-нс. Математики доказали, что (7) 35 л <н л< < где е=2.71828...- некоторое число, выражаюшееся бес- 2.2 конечной непериодической десятичной дробью.
Из (6) предельным переходом получаем 2.4 =т е™ (8) Зависимость и/то от и/и 2.2 приведена на рис.б. Для достижения ракетной скорости, равной скорости газов, необходимо чтобы Рис б. Зовисииост в отяо щения ноя сгной нагрузки Раз<ел<в< к сои<Ртовой з< зссе от олово<огнив скоррсгз<и масса ракеты на старте преРи кеты в к скор<к ти истевеиия газов и. восходила полезную нагрузку в е раз, т.е.
в 2,7 раза. Для достижения 2н необходимо на старте иметь массу ракеты то 7,4 раза большую полезной нагрузки ракеты. Прн оыЗи то=в'=20. Дйймей. Полезный груз спутника 100 кг. Найти стартовую массу ракеты, если и = 1 кн/сек. Так как скорость спутника вблизи поверхности Земли о=8 км/сен, то из (6) то=100е'=100е'е'евн100.20 20 7.4и300 тонн. Если о = 2 км/сек, то гло=100е<т100езеи100 20 2.7а5 й тонн Из этого примера видно, что совершенствование ракетного топлива, приволяшее к удвоению скорости истечения газов, сушественно уменьшает стартовый вес ракеты.
36 ЗГЦ1ачй Ктлдва ащ и-+1.1б 3 1. Какую массу топлива нужно выбросить со скоростью Зи относительно ракеты массой М, чтобы ее скорость увеличилась от и до 1.!и? 2. Определите отношение масс соударяющихся тел, одно иэ которых ло столкновения покоилось, если после ло- бового удара они разлетаются с одинаковыми по вели- чине скоростями. 3. Движущееся тело распадается на два осколка с им- пульсами рг и рг, направленными пад углом й друг к другу. Определите импульс распавшегося тела 4.
Тело массой М, летящее со скоростью и, распалось на два осколка, массы которых равны т и М-т. Скорость тела массой т равна и и направлена перпендикулярно скорости и. Чему равна скорость второго тела? 5. На гладком полу стоит сосуд, часть объема которого величиной >ге заполнена водой с плотностью ра На дне находится жук, тело которого слелано из материала с плотностью зз и занимает объем >г. С какой скоростью будет двигаться сосуд, если жук начнет бежать по дну со скоростью и относительно сосуда? Массой сосуда пренебречь. б.
Человек находится на конце доски, лежащей на абсолютно гладком льду. Под каким углом он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец доски. Масса прыг>на М, его скорость при прыжке с места на грунте и, масса доски т, длина 1. Во сколько раз изменится дальность прыжка по сравнению с прыжком с места на грунте? 7. Деревянный шар массой М яежит на тонкой подставке. Снизу в шар попадает вертикально летящая пуля массой т и пробивает его, после чего шар подскакивает на высоту Ь. На какую высоту поднимется пуля нал подставкой с шаром, если ее скорость перед ударам о шар была иа? Считать, что скорость пули при прохождении ее сквозь подставку не изменяется. 3т КйдР~Ану3 идяывульсд 8. Артиллерист стреляет из пушки ядром массой гл так, чтобы оно упало в неприятельской крепости на расстоянии В от пушки.
В момент выстрела на ядро вскакивает барон Мюнхгаузен, масса которого 1ЬУ=бт. Определите, какую часть пути до неприятеля ему придется идти пешком. 9, В сферической оболочке пролеланы две расположенные противоположно друг другу дырки, видимые нз центра сферы под малыми телесными углами бй, и Я2,. В центре оболочки разрывается на мелкие осколки ядро. Взрыв сфернчески симметричен. Осколки, попавшие на внутреннюю поверхность оболочки прилипают к ней. Определите скорость сферы после взрыва, если масса ее равна массе ядра, а скорость осколков и. Как изменится ответ, если дырки расположены не противоположно друг другу? Какие изменения в него следует внести, если телесные углы нельзя считать малымиу 10. На дне маленькой пробирки длиной 1 сидит муха, масса которой равна массе пробирки.
Пробирка подвешена над столом на нити, расстояние от дна пробирки до стола 1. Нить пережигают и во время падения муха перелетает со дна в самый верх пробирки. Определить время, через которое нижний конец пробирки стукнется о стол. 1Ч. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ Силл Опикдкдкник и злкон динлмики Изолированное тело движется по инерции, т.е. с постоянной по величине и направлению скоростью, импульс его постоянен. Он изменяется только при взаимодействии с другими телами.
В этом случае говорят, что на тело подействовала сила. И. Ньютон предложил назвать силой вектор Г, определяемый соотношением сгр (1) Г= —. Й' Изучая взаимодействие тел, можно определить скорость изменения импульса р одного из тел и, использовав (1), установить, какая сила подействовала на это тело со стороны других тел. Так, наблюдая движение планет вокруг Солнца, можно изучить гравитационную силу и установить, какими характеристиками тел она опрелеляется и как зависит от взаимного расположения этих тел.
Наблюдая взаимодействие движущихся электрических зарядов, можно определить силы, действующие мелшу ними. Опыты по взаимолействию частиц с атомом или ядром дают информацию об атомных или ядерных силах. Оказывается, в природе существует совсем немного основных типов взаимолействий и соответствующих нм так называемых фундаментальных сил. Опыт показал, что кроме названных ранее гравитационного и электромагнитного к фундаментальным следует отнести взаимодействие массивных элементарных частиц типа протона или нейтрона, являющихся основными "кирпичиками", из которых построены ядра атомов, и взаимодействие, ответственное за превращение изолированного нейтрона в протон с одновременным образованием в этой реакции электрона и легкой нейтральной частицы - так называемого нейтрино.
Первое нз этих взаимодействий назвали сильным, второе - слабым. Природа распорядилась так, что абсолютно все взаимодействия в нашем Мире можно представить как комбинацию перечисленных фундаментальных. Тем самым оказалось, что вылелив и изучив фунламентальные взаимодействия, можно из самой физической природы тел заранее сказать, какая сила будет действовать между ними.
После этого возникает новая ситуация: теперь, когда сила заранее известна, определение Ньютона (1) можно прочитать справа налево, обратив его в уравнение пр (2) Проинтегрировав это уравнение по времени один раз (пело сводится к вычислению площади криволинейной фигуры на графике зависимости силы от времени), можно получить импульс тела в зависимости от времени. Затем нетрудно определить скорость и еше одним интегрированием определить положение тела в пространстве в любой момент времени, решив задачу о движении тела до конца.
Тем самым предложенное И. Ньютоном соотношение (1) из определения силы превратилось в закон динамики (2). Исторически сложилось, что этот закон называют основным законом динамики, нлн по имени автора вторым законом Ньютона. 39 гайШЗМ2пгнлмн КД При малых скоростях движения уравнение (2) упрощается до лса =Г.
(3) Свойсгдл Сил Проанализируем, к каким послелствиям приводит определение силы и перечислим основные свойства, которыми должна обладать эта новая мера физического взаимодействия ме!кду телами в природе. !. Так как импульс и его производная по времени - вектора, то сила тоже вектор. 2. Из закона сохранения импульса при взаимодействии только двух тел Сср! ссрг (4) — — И сзг = -Уг!. с(с ~й т.е. сила гтг, действующая на первое тело со стороны второго, равна по величине и противоположна по направлению силе гг! действия на второе тело со стороны первого. Соотношение (4) выражает так называемый закон равенства действия и противодействия, тоже установленный Ньютоном (третий закон Ньютона).
Надо подчеркнуть, что силы ггз и гг! - разные силы и приложены к разным телам, а факт их равенства - один из удивительных законов мира, в котором мы живем, и следует этот факт нз закона сохранения импульса, который, в свою очередь, связан со свойствами пространства. 3. Из закона сохранения импульса для системы тел следует =О ну Гг +Г =Ху! О сгр! с(рг 4> (5) сс! с!с сй Здесь г! - сила„действующая на Ртое тело со стороны всех остальных тел, Полную систему всех взаимодействующих тел будем называть замкнутой. Силы, действующие между телами, входящими в рассматриваемую систему, назовем внутренними. Соотношение (5) выражает закон равенства нулю суммы внутренних снл замкнутой системы.
4. Применение закона о сумме внутренних сил к системе из трех тел дает Уз(2+з> агг<ь,з>+Ез<ьг! =О где $~(2„2)- сила, действующая на первое тело со стороны второго и третьего тел, и т.д. Безусловно, сила гз(2, з! определяется силами ттг и тзз попарного взаимодействия первого тела со вторым и третьим. Но каку Заранее это неизвестно. Эксперимент показывает, что взаимодействие двух тел не зависит от наличия третьего ( во всяком случае при не чересчур сильных взаимодействиях) и УЦ2 З! =гзг "гтг (б) Это свойство выражает очень важный закон силового взаимодействия, называемый принципом суперпозиниц сил.
Справедливость принципа суперпозиции приводит к тому, что взаимодействие любого тела с другими телами можно представить как геометрическую сумму сил по парного взаимодействия, каждая из которых не зависит от того, взаимодействует ли рассматриваемое тело только с одним телом или сразу с большим количеством тел. Закон равенства действия и 40 ГЛАВА Ш противодействия приводит при этом сразу к равенству нулю суммы внутренних снл любой системы тел. Покажем это на примере взаимодействия трех тел !1<гав>+УЗ!Ь-З> '(ЗГ1 г> =!и ь!1З (и+Уха 'УЗ1 Уаг = = (!тг ь (Ш)+ (Ута + УЗ1) ' (Угг + УЗЗ) = 9 ВНЕШНИЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ Рассматривать только замкнутые системы оказывается не всегда возможным, т.к. количество взаимолействуюших тел мо.кет быть столь большим, что практически нельзя учесть все возможные взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
