1611143552-c3ed591b411092ad1bd4ae28e513c63e (825011), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Этот вектор, вообще гоРясл Гггггл'аияя' Варя, НЕ СОВПадаст С уЧаСтКОМ траЕКтОрИИ, КОтОрЫй прошло тело в своем движении. Но достаточно малые перемещения могут быть сколь угодно близки к криволинейной дужке АВ траектории, причем, чем меньше перемещение, тем ближе хорда АВ к лужке АВ. В прелеле бесконечно мзлмх перемещений направление вектора перемещения совпадет с направлением касательной к траектории.
Таким образом, задание траектории движения позволяет путем построения касательной определять направление движения в каждой точке траектории. 16 в ни Траектория - зто след движения тела, н как всякий след она дает информацию о направлении движения, но ничего не говорит о времени, когда тело находилось в той или иной точке траектории. Характер движения во времени будем описывать длиной участка траектории, пройденного телом от начального момента времени к моменту й и будем называть его путем тела. Скорость Движение материальной точки характеризует скорость. При равномерном движении скорость просто равна пути, пройденному телом за единицу времени.
В общем случае скорость есть предельное значение отношения малого перемещения Лг к соответствующему малому отрезку времени йй в течение которого произошло перемещение дх, при й-эо. Записывают это в виле Ьт с(т и= Ьш — = — иг 6) ае одг й (с и называют такой предел производной от г по а Нетрудно видеть, что скорость - векторная величина, направление которой совпадает с направ- лением касательной к траектории тела Для уяснения смысла величины скорости рассмотрим часть графика пути, соответствующую движению от момента времени г до г+ дг (рис.7).
Величина перемещения за промежуток времени дг изображается от- резком дЯ, а отношение дЯ/дг представляет собой тангенс угла наклона секущей, проведенной через рассматриваемые точки графика пути. При дà — гб секущая вырождается в касательную к графику пути в момент вре- мени г, н величина скорости и=зла, (6) где а - угол наклона касательной к графику пути. Так как Ьг =1дх+>Лучив, то аг, Ых Ыу гзз — = и = г — ) — )е —, й е(г й й ' и составляющие вектора скорости по осям координат гзх с(у гй (В) и —, и = —, и,= —, й' й' ' й' (7) е Зависимость пути от времени можно изобразить на графике, откладывая по осн абсцисс время, а по оси ординат путь. На рнс.б приведен пример грае фика пути. В начальный момент тело находилось на расстоянии Бе от начальной точки на траектории н двигалось по направлению к ней.
К моменту врег мени гг тело приблизилось к начальной точке на ~г й минимаяьное расстояние и сменило направление движения. В момент ы тело находилось на том же Рис.б Зивисимпспи пути пт еремеем расстоянии от начальной точки траектории, что и в момент начала лвижения, и продал кало укачаться от нее. Знание траектории и пути тела дает полную информацию о его движении.
Гл А Итак, если движение задано, т.е. если задана траектория и путь в зависимости от времени, то, построив касательную к траектории, можно узнать направление скорости, а по тангенсу угла наклона касательной к графику пути найти величину скорости. Следует подчеркнуть, что направления векторов о и г не совпадают. Поставим Обратную задачу: по известной зависимости скорости от времени найти путь, пройденный телом, и определить траекторию, Рассмотрим сначала прямолинейное движение тела. Пусть зависимость и(Г) залана графиком (рис.8).
Разобьем интерваз времени от О до 1 на и малых интервалов йй и предположим, что на каждом из этих интервалов скорость постоянная, т.е. заменим график скорости показанной на рисунке ломаной. Легко видеть, что за интервал времени оз, тело пройдет отрезок пути Пзьыо(г)дгь Геометрически это произведение представляет плошадь заштрихованного на рис.8 прямоугольника. Путь, пройденный телом к моменту г при скорости, изменение которой задано ломаной линией, представится как сумма путей, проходимых телом на каждом интервале времени: Расой Онределенне еелнчины скорости но Ерафнкр ьаенсиностн щтн от еременн.
Рнсд. Вычисление нрозленноео нрнт ОО нмсстььой змткноонн сьсОРО снт от еркнтн. 18 а а Пз= Х ь = Есьдгь (9) ь 1 ь=,' Геометрически зл - плошадь фигуры, ограниченной ломаным графиком скорости, осью времени, осью скорости и ординатой в конечный момент времени.
При неограниченном увеличении числа звеньев ломаного графика скорости и одновременном уменьшении длины самого большого звена ломаный график скорости как угодно близко подойдет к истинному графику скорости, и сумма (9) будет стремиться к прелелу, равному плошади криволинейной фигуры, ограниченной графиком скорости, осью абсцисс и ординатами начала и конца движения. Этот предел называют определенным интегралом и обозначают н и ЬЗ = (ЦП „"Ь ЛЗ1 = ЫШ ~сьПГ; = ) О(1)С(Г (10) " ь ь=1 'ь ~те=1 З Так как дзтз-зе, гле зь - начальное положение тела, то з = зс ') ь(г)ьзг о ° ° в в кнк В случае движения не по прямой линии задание вектора скорости означает, что известны ее декартовы составляющие.
Вычисляя перемещение тела вдоль осей координат, нетрудно получить; с с с (12) х = хо в) ия(с)с(с; У =Уо в) иу(с)с(с; г = хо+) ив(с)с(с, о о о или Ускорение Скорость тела, вообще говоря, изменяется во времени. Это изменение характеризует вектор ускорения с(и с(гг а= — = — иг, ,11,,2 = (14) Компоненты вектора ускорения в декартовых координатах дия с( х .. с(иу с( у .. Ви д х ая= * иин = их; а — = — иУ; а, — = — мх.
(15) ~й "=,512 ' '= Вс =(2сг ' '= Вс =((сг Вектор ускорения не совпадает по на- .4 ' В правлению с вектором скорости, т.к. прите ращение скорости ди, вообще, не параллельно самой скорости и . Удобно разлая да гать вектор ускорения на две составляю. шие: а, - вдоль вектора скорости и а - по О нормали к скорости. Так как скоростьи рис9. нормальное и нщигениианним направлена по касательной к траектории, усноренияисозамаасие имищнв- то а, - составляющая ускорения влоль ращения скорости траектории, а. - по нормали к траектории, Для уяснения смысла касательной (тангенциальной) составляющей ускорения вычислим изменение величины скорости, происшедшее за малый интервал времени дс. Легко видеть, что скорость получит приращения: аезг влоль траектории и а дг в нормальном направлении (рис.9).
За рассматриваемый интервал времени величина скорости изменится на г (и«-а дС) «-(а дг) и 1~ с, с и(дг) 1 (1б) 2 г га,ДС а, 'а„ Пренебрегая при достаточно малых дс квадратичными членами пол кор- .....,.«.......,.....,6-,2.,*~.. ",нС. = го+ (с)ссс О Тем самым определено положение тела в любой момент времени, и поставленная задача решена до конца. Исключив время нз уравнений (12), т.е.
выразив, допустим, из первого из них время С как функцию х и подставляя в два остальных, получим в явном виде уравнение траектории (у = у(х), х = 2(х)). (18) Построив перпендикуляры к векторам скорости в двух соседних точках траектории А и В, получим, что они пересекутся в какой-то точке О, причем, угол АОВ оказывается равным углу поворота вектора скорости при переходе иэ точки А траектории в точку В (рис.10). Если ЬГ - малая величина„то ОВ ОА В, Ьа АВ/В оьг/В и в пределе при Ьг-в0 (19) переходит в точное равенство В ие Л Ьи 0 Рис10.
Радиус ариеизии и иеиавр «риеилви траеиаварии. 2 а„=— (19) Величину В называют радиусом кривизны траектории в точке А. Таким образом, нормальная компонента ускорения описывает изменение нагвравлення скорости (10) н зависит от радиуса кривизны траектории и величины скорости. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ Рассмотрим два частных случая движения с постоянным ускорением. 1. Пусть при движении н скорость и ускорение постоянны по величине. Такое движение возможно лишь в случае, когда ускорение перпендикулярно скорости. Из (19) следует, что в таком случае радиус кривизны траектории постоянен, т.е.
движение происходит по окружности. Это довольно распространенный случай движения. 2. Рассмотрим движение тела из начального положения с начальной скоростью и под действием постоянного ускорения Е. Введем декартову систему координат на плоскости, прохоляшей через вектора ув и Е, выбрав в качестве направления осн ОУ направление, противоположное направлению Е, и поместив начало системы координат в точку, из которой начало двигаться тело. В этой системе отсчета движение по оси ОХ(в дальнейшем будем называть его движением по горизонтали) (это равенство легко проверить взведением в квадрат правой и левой частей его), получаем Ьо» а,дг.
В препеле при ЬГ-в0 Ьо с(о и, =1пп — = —, и одг в11' (17) т.е. тангенпиальная компонента ускорения описывает изменение только величины скорости. ОТНОШЕНИЕ аиЬГ К иЕО„ЬГ ОПРЕДЕЛЯЕТ ИЗМЕНЕНИЕ НаПРаВЛЕНИЯ СКОРО- сти. Если Ьа - угол, на который повернулся вектор скорости за время ЬГ, то ааЬГ гл(ьа) = и+а Ьг При малых Ьп гл(ЬО)ада и слагаемым а,дг в знаменателе можно пренебречь по сравнению с и. Тогда паЬГ Ьа Ьа= —" и а„=п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
