1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 39
Текст из файла (страница 39)
а, Ввиду установленного соответствия между полилинейными функциями и тензорами мы можем сформулировать полученный результат для тензоров: Если а,""' тензор, построенный в евклидовом пространстве, р роз ковараанстный и у раз контравариантный, то по нему можно построить новый тензор Ью „,, являющийся р+ д раз ковариантным. Эта операция называется операцией опускания индексов. Она определяется формулой ад... о! „, = У,дв,...а,.
"'. у,я является дважды ковариантным тензором. Действительно, д!ь = (е,;, ея) представляют собой в данной системе координат коэффициенты некоторой билинейной формы, а именно скалярного произведения. Ввиду его связи со скалярным произведением (метрикой) прост- 8 24) 283 твнзогы ранства тензор дгя называется метпричееким тензором. Совершенно аналогично операции опускания индексов можно ввести операцию поднимания индексов с помощью формулы йгх..а ... * дз ов... г где дг~ имеет смысл., указанный в 823, п.5.
мираж нанна. Показать, что д'~ дважды коварнантный тонзор. 5. Операции над тензорами. Ввиду установленной связи между тензорами и полилинейными функциями мы будем определять операции над полилинейными функциями. Запись полученных результатов в произвольном базисе даст нам соответствующукг операцию над тензорами. Сложение тензоров. Пусть г (х,гдг...;~,д,...), г (х,д,...;~,д,...) две полилинейные функции от одного и того же числа, векторов из Л и одного и того же числа векторов из Лг. ОпРеделим их сУммУ Цхг д,...; ~,д,... ) фоРмУлой ~(х,д,";Л,д, ) = =~'(х,д,".;1,д,".)+~"(х,д,".;1гд, ). .Ясно, что эта сумма есть снова полилинейная функция от того же числа векторов из Л и из Л~. Сложение тензоров определяется поэтому формулой: тг... /Ргг.. + гггг...
гз... гг... 'гв.. Умножение тензоров. Пусть 1'(х, у,...; ~, д,... ) и гн(я,...; 6г... ) две полилинейные функции, из которых первая зависит от р' векторов из Л и д' векторов из Л'г а вторая.— (гл. Ру 284 понятие о тензоРАх от р" векторов из В и д" векторов из В!. Определим функцию 1(х! у,..., з,...; ), д,..., и,... ) формулой 1(х,у!... !я,...; ),д,...,б,... ) = = 1~(х,у!...; (!д,... )1л(з,...; 6,...). Функция 1 называется произведением полилинейных функций У и Г.
Покажем, что 1 есть полилинейная функция, зависящая от р' + р" векторов из В и д' + дл векторов из Л!. Действительно, при проверке того, что 1(х! у,..., г,...; 1, д!..., 1!,... ) есть полилинейная функция, мы фиксируем, по очереди, все векторы, кроме одного; при этом ясно, что 1 есть линейная функция от вектора, оставшегося незафиксированным. Выразим компоненты тензора, отвечающего произ- веденин> полилинейных функций 1 и 1, через компоненты тензоров, отвечающих самим этим полилинейным функциям. Так как а, ".'"' = ! (е„е,; у", 1',... ) ! то Р88я...
Ря... !и... 'гуы... и... ы,.. Эта формула определяет., таким образом, произведение двух тензоров. С в е р т к а т е н з о р а. Пусть 1(х, у,...: 1, д,... ) полилинейная функция, зависящая от р векторов х, у,... из В (р ) 1) и д векторов у, д,... из В' (д > 1). Мы построим по ней полилинейную функцию, зависящую от р — 1 векторов из В и д — 1 векторов из В'. Выберем для этого какой-либо базис е!, ев,...,е„ з 241 28о твнзогы в Л и взаимный с ним базис й"1, й'2,...,7"и в В'. Будем теперь вместо и и 7 подставлять соответственно еы ('; еэ, );...:, е„, 7о и рассмотрим сумму *) )(у,...;д,...) = Цео,д,...; (~,д,...). (7) Ясно, что каждое слагаемое, а значит и вся сумма, есть полилинейная функция от д,...
и д,... Покажем, что, хотя каждое слагаемое зависит от выбора базиса, построенная нами сумма от выбора базиса уже не зависит. Перейдем для этого к другому базису е~,е~2,...,е'„ и соответственно к взаимному с ним базису ~", ~'2,... ..., ~'о. Так как мы не меняем при этом векторов у,... и д,..., то мы можем их фиксировать и доказывать наше утверждение для билинейной формы А(х; 7'). Итак, нам нужно доказать, что если А(и; 7") билинейная форма, то А(е„; 7~) = А(е'„; ~'"). Если переход от базиса еме2,...,е„к базису ейые!~, ..., е~п задается формулой (,й ей — — с, ей, то переход от базиса 7'», 7'2,..., 7"о к базису ~", ~'2, ..., 7~" задается формулой (й йун Поэтому А(е'; ~'о) = А(ей ей; ~со) = сйА(ей, й"о) = = А(ей; сй ~'о) = А(ей; 7~), *) Напоминаем, что если в некотором выражении один и тот же индекс (в данном случаен)встречается вверху и внизу,топо нему производится суммирование.
(гл. ~ч 286 ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ т. е. А(е„; 2"О) действительно не зависит от системы координат. Найдем по коэффициентам формы Цл, у,...; у, д,... ) коэффициенты формы (7). Так как а',"" = д(е,ч...; (',... ) 1 (ем...,~,...) = Цеа.,ез,...;2,2,...), то (8) Тензор а"'", полученный из а,' " по формуле (8), называется свертной тензора а," "'. Ясно, что свертку мы можем провести не обязательно по первому верхнему и первому нижнему индексам. Обязательно лишь, чтобы суммирование производилось по одному ковариантному и одному контравариантному индексу. Если бы мы суммировали, например, по двум нижним индексам, то полученная система чисел не образовывала бы тснзора (так как )три переходе от одной системы координат к другой эти числа не преобразовывались бы по предписанному тензору закону преобразования).
Заметим, что в случае свертки тензора ранга два мы получаем тензор нулевого ранга (скаляр), т. е, число, не зависящее от системы координат. рассмотренная нами в п.4 операция опускания индексов есть не что иное, как свертка произведения данного тензора и метрического тензора деь (взятого сомножителем соответствующее число раз). Аналогично, поднимание индексов есть свертка произведения данного тензора и тензора д' . Приведем еще пример.
Пусть а; тензор ранга три, у а 6~" тензор ранга два. Их произведение есть тензор ОА~~~ — — ОА Ь~~ ранга пять. Если теперь свернуть этот в 24) 287 тензогы тензор,например, по индексам з и пз,то мы получим тензор ранга три. Если мы полученный тензор еще раз свернем, например, по индексам з и Й, то мы получим тензор ранга один (вектор).
Пусть а, и б . два тензора ранга два. Умножением у и свертыванием можно построить по ним новый тензор ранга два: с, = сз, б~. Если тензоры а~ и )з~~ трактовать как матрицы линейных преобразований, то полученный тензор есть матрица произведения этих преобразований. Мы можем также построить по данному тензору ранга два а~ ряд инвариантов (т.
е. чисел, не зависящих от системы координат,-- скаляров), а именно: о В о «: аоаВ Введенные нами операции над тензорами дают нам возможность по данным тензорам строить ряд новых, инвариантно связанных с ними, тензоров. Приведем некоторые примеры. Операцией умножения мы можем из векторов построить тензоры сколь угодно высокого ранга. Пусть, например, С' координаты контравариантного, а ц. координаты ковариантного вектора.
Тогда ~'гй есть тензор ранга два. Аналогично, взяв большее число векторов, можно получить тензоры более высокого ранга. Заметим, что не всякий тензор можно получить умножением векторов. Можно, однако, доказать, что всякий тензор может быть получен из векторов (тензоров ранга один) операциями сложения и умножения. Целым рациональным инвариантом от данной системы тензоров называется многочлен от компонент тензора, который не меняется при замене компонент тонзоров в какой-нибудь системе координат их компонентами в другой системе координат.
(гл. !ъ 288 понятие о тензоРАх Имеет место следуюшая теорелта, которую мы не будем доказыватес Если задана некоторая систелш тонзоров, то всякий цапай рациональный инвариант, построенный по данным тензорам, можно получить из них операциями перемножения тензоров, сложения и умножения на числа и полного свертывания (т. е. свертывания по всем индексам).
6. Симметрические и знакопеременные (антисимметрические) тензоры. О п р е д е л е н и е 3. Твнзор называется симметприческам по данным индексам, если при любой перестановке этих индексов компоненты тензора не менякппся *). Например, симметричность тензора по первым двум индексам означает, что имеет место равенство . !... атк... Если т(х, у,...; у", .д,, .. ) соответствующая тензору а,.т;" полилинейнал форма 1(х, у,...; у", д,... ) = а,'~ "('т(~... Ляр!...., (9) то симметричность тензора по некоторой группе индексов! как это непосредственно видно из формулы (9), эквивалентна симметричности полилинейной формы по соответствующей группе векторов. Так как для симметричности полилинейной формы по некоторой группе векторов достаточно, чтобы и.!'" были симметричны по соответствующим индексам лишь в одной какой-нибудь системе координат, то отсюда следует, что если компоненты тензора симметричны в одной системе координат, то такая зке симметрия будет иметпь место и в любой другой системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
