1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (824994), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Само собой разумеется, что речь идет лишь об индексах одной и той же группы (верхний или нижней). 8 24) 289 твнзогы 0 п р е д е л е н и е 4. Знакопеременным (антисимметрическим) называется тензор, 77оторый меняет знак при перемене любых двух индексов местами. При этом предполагается, конечно, что у этого тензора все индексы одинакового характера, т. е. либо все ковариантные,либо все контравариантные. Из определения знакопеременного тензора непосредственно следует, что при любой перестановке индексов компоненты тснзора не меняются, если перестановка четная, и меняют знак, если перестановка нечетная.
Знакопеременным тснзорам соответствуют знакопеременные полилинейные функции. Полилинейная функция 1(х,у,...), зависящая от р векторов х,у,... из Л, называется знакопеременной, если при перестановке любой пары из векторов х, у,... знак функции меняется.
Для проверки знакопеременности полилинейной функции достаточно проверить знакопеременность компононт соответствующего ей тензора в какой- либо одной системе координат, как это непосредственно следует из формулы (9). С другой стороны, из знакопеременности полилинейной функции следует знакопеременность соответствующего ей тензора (в любой системе координат). Следовательно, если компоненты тензора знакопсременны в какой-либо одной системе координат, то это же имеет место и в любой другой системе координат, и, значит, тензор является знакопеременным (антисимметрическим). Выясним число независимых компонент антисимметричсского тензора. Пусть, например, а;ь есть знакопеременный тензор ранга 2.
Тогда а,в = — оы и, следо- 77(77, — 1) вательно число различных компонент равно 2 Аналогично, для знакопеременного тензора а7 сс число (ГЛ. 11 290 НОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ п(п — Ц(п — 2) различных компонент равно 3! так как компоненты с одинаковыми индексами равны нулю, а компоненты, отличающиеся лишь порядком индексов, определяются одна через другую. Аналогично, число независимых компонент знакопеременного тензора с й индексами (й < п) равно с'С.
(Отличных от нуля знакопеременных тензоров с числом индексов больше, чем п, не существует, так как у знакопеременного тензора компоненты хотя бы с двумя одинаковыми индексами равны нулю, а если число индексов превышает и, то у каждой компоненты совпадают, по крайней мере, два индекса.) Рассмотрим более подробно знакопеременный тензор с п индексами. Так как все группы по н различных индексов, принимающих значение от 1 до и, отличаются лишь порядком, то у такого тензора есть лишь одна независимая компонента и он имеет. таким образом, следующий вид. Пусть г1,г2,...,г„некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., и.
Положим и12 „= а. Тогда (10) аммз,„= жа, где «+е отвечает четной подстановке, а « — э нечетной. У п раж пение. Показать, что при переходе к другой системе координат число ам „= а умножится на определитель матрицы перехода. Е1апишем полилинейную функцию, соответствующую знакопеременному тензору с п индексами. В силу формулы (10) она имеет вид: 1(и, Р,, з) = ам,, й,~пчм .. ~ы = а 'ь1 ь2 ьп 2 24) 291 твнзогы Мы доказали, таким образом, что определитель из координат векторов есть, с точностьк> до множителя, единственная знакопеременная полилинейнзя функция от п векторов в и-мерном линейном пространстве.
Операция симметрирования. Мы можем по всякому тензору построить новый тензор, симметричоский по некоторой наперед заданной группе индексов. Эта операция называется симметрированием и состоит в следующсм. Пусть задан некоторый тензор, например, ап„ симметрирование его, например, по первым Й индексам, состоит в построении тензора пбпь..а11аь.. Д ~ о2мь.п1,.а<г..~ где сумма распространяется по всем перестановкам 1п 12,...,1ь индексов г~, 12,..., гь.
Например, 1 п(пд 1 (пйг2 + %2й) ° Операция симметрирования тензора по группе из й индексов гы 12,..., гь обозначается следующим образом: ппЯ" щб1гь. му-' Операция альтернирования вводится аналогично операции симметрирования и даст возможность по данному тензору построить тензор, знакопеременный по данной группе индексов.
Она определяется следующим образом: 1 ~- пй ~ ..ль) ьь ... = ~~ ~ тпЫ .на+ . где сумма распространяется по всем перестановкам ум 12,..., и индексов гпгз, ..,, гь, а знак определяется честностью или нечетностью этой персстановки. Например, 1 п919 ) 2(а2 и %2б)' (ГЛ. 1Ъ 292 НОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ Операция альтернирования обозначается скобками [):, в них заключаются те индексы, по которым тензор альтернируется. По всяким Й векторам ~",11",...,1'," можно построить антисимметрический тензор ,11м..м ~)11, 11 ~а) (11) где через 1ф111"... ~'") обозначен тензор, полученный зльтернированием тензора ~п11"... 1,". Как нетрудно усмотреть из написанной формулы, компонентами этого тензора являются миноры Й-го порядка следующей матрицы из и столбцов: ~1 ~2 ~н Ч Ч Ч ~1 ~2 ~п Построенный тензор (11) обладает тем свойством, что если к какому-либо из векторов ~", 11Е1,...
добавить линейную комбинацию остальных, то тензор ап"" от этого не изменится. Рассмотрим Й-мерное надпространство п-мерного пространства Л. Поставим вопрос о том, чтобы охарактеризовать это Й-мерное подпространство системой чисел, т.е. ввести координаты надпространства. Й-мерное подпространство порождается Й линейно независимыми векторами ~",11",..., 1",11ч При этом разные системы из Й векторов могут породить одно и то же подпространство. Однако нетрудно поквзатье и мы предоставляем это читателю, что если две системы векторов порождак1т одно и то же подпространство, то построенные по каждой из них тензоры 1111...11 ~111 Р1 ~11] совпадают с точностью до множителя. 1 25) 293 ткнзогнов игоизввдвнин Таким образом., тензор а"'-' ", построенный по векторам с", ц",..., ~", порождающим некоторое подпространство, определяет это подпространство. 9 25.
Тензорное произведение 1. Тензорное произведение Я К 1х. В первой главе мы изучали билинейные функции в аффинном пространстве Л. Здесь мы покажем, что билинейные функции можно трактовать и как линейные функции в некотором новом пространстве. Это пространство, играющее очень важнук> роль, называется тензорным произведением Ре и Л (по-другому, тензорым квадратом Л) и обо- 2 значается Л З 2е или ® Л.
Дадим его определение. Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары х, у элементов из 11. Каждую такую пару будем называть ьчензорным произведением х и у и обозначать х З у. Образуем формальные конечные суммы таких пар: Х = х1 Зу~ +... + хя Зум При этом формальные суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, мы не будем различать между собой. Запись (1) означает, таким образом, только то, что нам задано множество Й пар хы уб..., хь, уы Введем для выражений вида (1) операции сложения и умножения на число. Сумму двух таких выражений определим как результат формального дописывания к первому выражению второго: (х131д1+...+хьЗуь)+(хьв13уь >~+...+хьюз Зуьвз) = = х1 З у1+... + хь-~~ З уь ь (2) Произведение на число Л определим так: Л(х1 Зу1+...+хьЗуя) = (Лх1)Зуд+...+(Лхь)Зуь.
(3) (гл. !ъ 294 НОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ Элемент О З О будем называть нулем тензорного произведения и обозначать коротко через О. Мы должны еще объяснить, какие выражения вида (1) считаются равными. Будем предполагатьз что 1) (х1+ х2) З у — х1 З у — х2 З у = О *); 2) ХЗ(у1+у2) хЗу1 ТЗу2=0; 3) (Лх) З у — х З (Лу) = О. Кроме того, приравнясм нулю любое выражение, получающееся из выражений 1), 2), и 3) сложением а умножением на число.
Теперь два выражения Х и Х' вида (1) будем считать равными, если их можно превратип!ь в одинаковые, прибавляя к Х и Х' выражения, равные нулю, т. е. если существуют, толвие выражения л = О и х ~ = О, что Х+ х совпадает с Х'+ л~. Очевидно. что введенное отношение равенства рефлексивно (т. с. Х = Х) и симметрично (т.е. из Х = У следует У = Х); легко проверить, что оно обладает также и свойством транзитивности (т. е. из Х = У и У = л следует Х = л). В результате мы получаем пространство, элементы которого классы равных между собой выражений вида (1), а сложение и умножение на число определены по формулам (2) и (3). Заметим, что операции сложения и умножения на число мы ввели до того, как было бы определено отношение равенства двух выражений (1).
Поэтому нам нужно было убедиться в корректности определений этих операпий; именно нужно показать, что сумма выражений (1) и произведение на число не меняются при замене этих выражений на равные. Эта простая проверка предоставляется читателю. Нетрудно убедиться, что построенное пространство является линейным пространством.
Покажем, напри- Более подробно, это означает, что (х! +х!) З у+ ( — хс) Зу+ +( — х!)Зу=О. ~ 29) 295 ТБН.'1ОРНОБ НРОИЗВЕДКНИН мер,что для каждого Х существует элемент., ему противоположный. Это достаточно проверить для элементов вида Х = х З у. Из условия 3) при Л = 1 получаем х З у+ ( — х) З у = О, т.
е. 1' = ( — х) З у является элементом, противоположным Х. Построенное линейное пространство называется тензорным произведением Л на Л и обозначается через ЛЗЛ. Итак,мы определили тензорное произведение ЛЗЛ как линейное пространство, элементами которого являются формальные выражения види х1 З У1 + ... ... + хь З уы где х;,;у; --- элементы из Л. Точнее, элементами пространства ЛЗЛ, являются классы равных между собой выражений вида х1ЗУ1+... +хьЗуь (условие равенства дано выше). Сложение в Л З Л и умножение на число определяются по формулам (2) и (3).
Отметим, что из условий 1)-3) следует: (х1 + х2) З у = х1 З у+: 2 З у; х З (У1 + У2) = х З У1 + х З У2; Л(х З у) = (Лх) Зу = хЗ (Лу). Поэтому в тензорном произведении можно раскрывать скобки по обычному правилу: (Л1х1 + + Лтхт) З (Р1у1 + ° ° ° + риуи) т и ~, ~ Лйсз (хс З Уй) 1=1 1=1 2. Связь между билинейными формами в пространстве Я и линейными функциями в Л 8 Л.
Покажем теперь, как по билинейной форме на Л можно построить линейную функцию на тензорном произведении Л З Л. Пусть задана билинейная форма 1"(х,у) на Л. Сопоставим ей линейнук> функцию Г(Х) на Л З Л. Для (гл. п ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЛХ элементов Х =:г З д положим Л(. Зд) =Пх,у); для произвольного Х = х1 З У1 +... + хь З дь полагаем Г(Х) = 1" (хм У1) +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
